5.4.3 正切函数的性质与图象（3种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.4.3正切函数的性质与图象（分层作业）（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：有关正切函数的定义域、值域问题1.函数y＝eq\f(1,tanx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)【答案】B【解析】当－eq\f(π,4)＜x＜0时，－1＜tanx＜0，∴eq\f(1,tanx)≤－1；当0＜x＜eq\f(π,4)时，0＜tanx＜1，∴eq\f(1,tanx)≥1.即当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，函数y＝eq\f(1,tanx)的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．函数y＝logeq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))【答案】B[由题意taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＞0，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＜0，∴kπ－eq\f(π,2)＜x－eq\f(π,4)＜kπ，∴kπ－eq\f(π,4)＜x＜kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，故选B.3.函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定义域为________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－4kπ－\f(4π,3)，k∈Z))))【解析】要使函数有意义应满足eq\f(π,6)－eq\f(x,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠－4kπ－eq\f(4π,3)，k∈Z，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－4kπ－\f(4π,3)，k∈Z)))).4.函数y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定义域为________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))【解析】要使函数y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx＋1≥0，,1－tanx>0，))即－1≤tanx<1.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足上述不等式的x的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又因为y＝tanx的周期为π，所以所求x的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).5．求函数y＝tan2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋1的定义域和值域．[解]由3x＋eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,18)(k∈Z)，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,3)＋\f(π,18)k∈Z)))).设t＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))，则t∈R，y＝t2＋t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以原函数的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).题型二：正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性6.函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期为________．【答案】eq\f(π,2)【解析】法一：(定义法)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，即taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq\f(π,2).法二：(公式法)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期T＝eq\f(π,2).7.已知函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z【解析】由x－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z.]8.判断下列函数的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx.【解析】①定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，又f(－x)＝3(－x)tan2(－x)－2(－x)4＝3xtan2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．②定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，关于原点对称，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx＝sinx＋tanx，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函数．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(tan2x－tanx,tanx－1)；(2)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tanx≠1，))得f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，又f(－x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．题型三：正切函数单调性的应用10.tan1，tan2，tan3，tan4从小到大的排列顺序为________．【答案】tan2＜tan3＜tan4＜tan1【解析】y＝tanx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是单调增函数，且tan1＝tan(π＋1)，又eq\f(π,2)＜2＜3＜4＜π＋1＜eq\f(3π,2)，所以tan2＜tan3＜tan4＜tan1.11.求函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调区间．【解析】y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，由－eq\f(π,2)＋kπ＜2x－eq\f(π,4)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z得，－eq\f(π,8)＋eq\f(k,2)π＜x＜eq\f(3π,8)＋eq\f(k,2)π，k∈Z，所以y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的减区间为－eq\f(π,8)＋eq\f(k,2)π，eq\f(3π,8)＋eq\f(k,2)π，k∈Z.【能力提升】一、单选题1．已知满足，有下列四个结论：①A、B可能都是锐角；②A、B中一定存在钝角；③；④．正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】B【分析】利用选项对的大小情况进行分类讨论，根据三角形内角和以及正切函数的单调性得出结论，进一步再说明结论③④的正确与否.【详解】假设都是锐角，则当时，，，则，矛盾；当时，不存在，舍去；当时，，，且中至少有一个小于等于1，所以，综上所述，A、B不可能都是锐角，一定存在钝角，①错，②对；由上知为锐角，则，③错，④对.故选：B.2．下列关于函数说法正确的是（

）A．函数的定义域为R B．函数为奇函数C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为【答案】D【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，又，则函数为偶函数，故选项B错误;对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，根据图象变换作出函数草图如下：由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.3．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局若，则我方必胜的排序是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】根据的范围判断出，再由，，可得答案．【详解】因为当时，，，所以，，即．又，所以，，，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是．故选：D.4．已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件作出图象，利用平关关系及特殊值对应特殊角，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】画出函数与的图象如图所示，由，可得，得，得或（舍去），又，所以或．所以，．根据函数图象的对称性可得的中点，所以，故选：D．二、多选题5．下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为的函数有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】对各选项中三角函数的单调性、周期性、奇偶性进行验证，即可得到结果.【详解】因为是周期为，且是奇函数，又在上单调递增函数，可知在上是增函数，故选项A正确；因为是偶函数，故B不满足；因为是周期为的周期函数，故C不满足；因为是奇函数，且周期，令，所以，所以函数的递增区间为，所以函数在上是增函数，故D正确；故选：AD．6．下列命题为真命题的是（

）A．函数在定义域内是单调增函数B．函数的表达式可以改写为C．是最小正周期为的偶函数D．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】BD【分析】利用正切函数的单调性可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项，函数在定义域内不单调，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，设，因为，，则，所以，函数不是最小正周期为的函数，C错；对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，因此，该扇形的面积为，D对.故选：BD.7．下列命题正确的是（

）A．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为B．已知是第二象限角，则C．若扇形周长为20，则其面积最大值为25D．的内角、、的对边分别为、、，若，，，则符合条件的有2个【答案】BC【分析】结合三角函数的定义、三角函数的性质、扇形面积弧长公式以及正弦定理，对选项逐一分析，选出正确答案.【详解】因为角的终边上一点的坐标为，即，所以角在第四象限，所以角是第四象限角，，所以角的最小正值为，所以A项不正确；当是第二象限角时，，所以，，所以，所以B项正确；若扇形周长为20，设其半径为，则弧长为，扇形面积为，当时，取到最大值25，所以C项正确；因为，所以三角形无解，所以D项不正确；故选：BC.8．下列说法正确的是（

）A．若函数则B．函数的最小正周期为C．已知，若直线分别与的图像的交点为M，N，则的最大值为2D．不等式的解为【答案】AC【分析】根据三角函数有关性质对选项逐一判断【详解】对于A，由诱导公式知，即，故A正确对于B，的最小正周期为，故B错误对于C，，最大值为2，故C正确对于D，由正切函数图像可知不等式的解为，故D错误故选：AC三、填空题9．给出下列命题：①若角的终边过点（），则；②若，是第一象限角，且，则；③函数的图象关于点对称；④函数的最小正周期为；⑤函数在区间内是增函数；⑥若函数是奇函数，那么的最小值为．其中正确的命题的序号是_____．【答案】③④⑥【分析】①由三角函数的定义判断；②举例判断；③由是否为零判断；④由判断；⑤由，利用正弦函数的性质判断；⑥由求解判断.【详解】①若角的终边过点（），则，故错误；②若，是第一象限角，且，则，故错误；③因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；④因为，所以函数的最小正周期为，故正确；⑤，因为，所以，又在上递增，所以内是减函数，故错误；⑥若函数是奇函数，则，解得，那么的最小值为，故正确．故答案为：③④⑥10．如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数，，，的图象，图象的最高点为，曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为_______千米．【答案】【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再设，显然，，代入函数解析式求出，再根据两点间的距离公式计算可得；【详解】解：由函数图象可知，又，，．又当时，有，所以，，解得，，，．曲线段的解析式为，．因为到海岸线的距离为千米，设，显然，，所以，即，所以，或，，解得，或，，所以，即，所以故答案为：11．已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________.【答案】【分析】先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为.然后按在处或处取最大值分类讨论，数形结合，进而可得结果.【详解】依题意可知，在区间上有最大值必然为，且，所以在区间上的最大值为.（1）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意；（2）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意.综上可知，的取值集合是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于确定在区间上有最大值，且，进而可得在区间上的最大值为.12．将函数的图象向左平移个单位长度后得到（，，）的图象如图，则的解析式为_____．【答案】【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得的值，代入点，进而解得的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知，，函数的最小正周期为，所以，所以．又，所以，所以（），解得（）．因为，所以，所以．将函数的图象向右平移个单位长