5.2.2 同角三角函数的基本关系（4种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.2.2同角三角函数的基本关系（4种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：直接应用同角三角函数关系求值1.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则cosα＝________.【答案】－eq\f(\r(5),5)【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα＜0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5).2.已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．[解]∵cosα＝－eq\f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).3．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解]∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；当角α的终边在第四象限时，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).题型二：灵活应用同角三角函数关系式求值4.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝________.【答案】－eq\f(12,5)【解析】法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).5.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值．①eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；②sin2α－2sinαcosα＋1.[解]由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(换元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).②原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).题型三：应用同角三角函数关系式化简6.化简eq\f(2sin2α－1,1－2cos2α)＝________.【答案】1【解析】原式＝eq\f(2sin2α－1,1－21－sin2α)＝eq\f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1.7.化简eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).(其中α是第三象限角)[解]原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|).又因为α是第三象限角，所以sinα＜0.所以原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,－sinα)＝－1.8．化简tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角．[解]因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.题型四：应用同角三角函数关系式证明9.求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[证明]法一：(切化弦)左边＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(sinα＋sinαcosα,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα).因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，10．求证：(1)eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα)；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[证明](1)左边＝eq\f(sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1,sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1)＝eq\f(sinα＋12－cos2α,sinα＋cosα2－1)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－1－sin2α,sin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sin2α＋2sinα,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinαsinα＋1,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右边，∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立．【能力提升】一、单选题1．已知，则＝（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【分析】巧用1将所求化为齐次式，然后根据基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为所以故选：A2．若，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，再利用平方关系和商数关系求解.【详解】解：由得，∴或，因为，，所以.由及得，∴，所以．故选：A二、多选题3．下列三角函数值中符号为负的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；故选：BCD．4．已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】已知式平方求得，从而可确定的范围，然后求得，再与已知结合求得，由商数关系得，从而可判断各选项．【详解】因为①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正确．，所以②，故D正确．由①②，得，，故B正确．，故C错误．故选：ABD．5．已知为整数，若函数在上有零点，则满足题意的可以是下列哪些数（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】ABC【分析】设，则函数在上有零点等价于方程在上有解，即可根据二次函数的性质求出的范围．【详解】因为,设，，则，即，亦即．故选：ABC．6．已知，则下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】对原式进行切化弦，整理可得：，结合因式分解代数式变形可得选项.【详解】∵，，整理得，∴，即，即，∴C、D正确.故选：CD【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.三、填空题7．若，，且，则的最大值为______．【答案】【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：由，得，因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.故答案为：.8．若实数，满足，则的最大值为______.【答案】【分析】根据条件，采用三角换元法，令，代入要求的式子化简整理成关于的二次函数即可求解.【详解】因为实数，满足，令，则当时，取最大值，故答案为：.9．已知，且，则____.【答案】【分析】利用完全平方公式，建立、与和的等量关系，并利用所求值确定，的符号，从而可求.【详解】解：，两边平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案为：.10．已知角的终边经过点，的值是____________．【答案】【分析】先利用三角函数的定义求出，再进行弦化切，代入求解.【详解】因为角的终边经过点，所以.所以.故答案为：11．设、是非零实数，，若，则________【答案】【分析】由已知化简可得，，代入已知式子可得，即可求解.【详解】化简得，即，∴，∴.故答案为:【点睛】本题考查三角指数幂的运算，合理利用已知条件，以及平方关系是解题的关键，属于较难题.四、解答题12．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求.（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.（1）解法一：∵，，∴，分子分母同时除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．13．（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】（1）由知

原式=（2）

又

原式===14．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维