5.2.1 三角函数的概念（第1课时）导学案-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.2.1三角函数的概念（第1课时）导学案【学习目标】1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)【自主学习】1.单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以为半径的圆为单位圆．【答案】单位长度2.三角函数定义前提在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与交于点P(x，y)，那么：定义正弦把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作，即y＝余弦把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作，即x＝正切单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)为函数值的函数叫做α的正切函数，记作，即eq\f(y,x)＝(x≠0)【答案】单位圆sinαsinαcosαcosαtanαtanα3.三角函数在弧度制下的定义域正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．正弦函数y＝sinx，定义域为；余弦函数y＝cosx，定义域为；正切函数y＝tanx，定义域为.【答案】RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))4.利用角α的终边上任意一点的坐标定义三角函数推广到一般情况：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)，其坐标为(x，y)，且OP＝r＝eq\r(x2＋y2)(r＞0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0).注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．【答案】eq\f(y,r)eq\f(x,r)eq\f(y,x)【当堂达标基础练】1.求5π解：在直角坐标系中，作∠AOB=5π3sin2.如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r.求证：sin

α=证明：如图，设角α的终边与单位圆交于交点P0(x0,y0).分别过点P，|P0M0|=|y0∆OMP∼∆O于是，|P0M0|1=|PM|r，即sin

α=yr5.已知角θ的终边过点P(-12，5)，求θ的三角函数值.6.已知点P在半径为2的圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时点P的位置.解：设位置A为点P的起点.∵点P的角速度为顺时针1rad/s,∴2s时OP转过的角α=-2rad/s.现以圆心O为坐标原点，射线OA为x轴的非负半轴建立直角坐标系。则【当堂达标提升练】单选题1．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∴，∴，故选B.2．的值（）A．大于B．小于C．等于D．不确定【答案】A【解析】因为所以，所以，故选A.3．当为第二象限角时，的值是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为第二象限角，∴，，∴，故选C．4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是()A．sin B．cos C．tan D．cos2θ【答案】C【解析】因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan＞0，故选：C．5．已知角的终边过点，且，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为角的终边过点，所以，，解得，故选B.二、填空题6．已知角的终边落到射线（）上，求________【答案】【解析】在射线（）取一点，由三角函数的定义可得故答案为：7.已知角的终边上有一点P（），且，则______．【答案】【解析】因为角的终边上有一点P（）所以可得，而，故，解得，所以点，所以8．已知“角的终边在第一象限”，“”，则是的________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分非必要【解析】若，则角的终边在第一象限、轴正半轴或第二象限，所以，是的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.【当堂达标素养练】一、单选题1．已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（

）A． B． C．或 D．1【答案】B【分析】由题设可得且，求解即可.【详解】由题设，且，即，∴，则，解得或，综上，.故选：B.二、多选题2．下列四个选项，正确的有（

）A．在第三象限，则是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为C．若角的终边经过点，则D．【答案】ABD【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，则，，解得，又，即，解得，B正确；对C：根据题意可得，故C错误；对D：因为，，故，故，D正确.故选：ABD.3.下列结论正确的是（

）A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C．若角的终边上有一点，则D．若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【分析】A中，由象限角的定义即可判断；B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；C中，根据三角函数的定义即可判断；D中，取即可判断.【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；选项C中，，，故C正确；选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．故选：BC．4．已知点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.【详解】因点是角终边上一点，则，于是得，A正确；，当时，，当时，，B不正确；又，则，C正确，D不正确.故选：AC5．下列说法正确的是（

）A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角B．如果，是第一象限的角，且，则C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C，D作答.【详解】对于A，是第一象限的角，即，则，是第四象限的角，A正确；对于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正确；对于C，设扇形所在圆半径为r，则有，解得，扇形面积，C不正确；对于D，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长，D正确.故选：AD6．已知，那么下列命题正确的是（

）A．若角、是第一象限角，则B．若角、是第二象限角，则C．若角、是第三象限角，则D．若角、是第四象限角，则【答案】BCD【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项.【详解】设角、的终边分别为射线、．对于A，如图1，，此时，，，所以，故A错误；对于B，如图2，，此时，，且，所以，故B正确；对于C，如图3，，此时，，且，所以，故C正确；对于D，如图4，，，即，故D正确．故选：BCD.三、填空题7．求值：________．【答案】2【分析】根据对数的运算法则性质及指数幂的运算化简求值即可.【详解】原式=故答案为：2四、解答题8．已知角终边经过点，且，求，，.【答案】，【解析】∵，∴，，解得，