5.2.1 三角函数的概念（3种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.2.1三角函数的概念（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：三角函数的定义及应用1.已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，则sinθ＋tanθ的值为________．【答案】eq\f(3\r(10)＋30,10)或eq\f(3\r(10)－30,10)【解析】因为r＝eq\r(x2＋9)，cosθ＝eq\f(x,r)，所以eq\f(\r(10),10)x＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq\r(10).又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)＋30,10).当θ为第二象限角时，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝－3，则sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)－30,10).]2.已知角α的终边落在直线eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解]直线eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq\r(3))，则r＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；在第四象限取直线上的点(1，－eq\r(3))，则r＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).题型二：三角函数值符号的运用3.已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为点P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判断角α终边在第三象限．4．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．【答案】－2＜a≤3【解析】因为cosα≤0，sinα＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.5．设角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第________象限角．【答案】四【解析】角α是第三象限角，则角eq\f(α,2)是第二、四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，∴角eq\f(α,2)是第四象限角．6.判断下列各式的符号：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.[解]①∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.②∵eq\f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.题型三：诱导公式一的应用7.求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).8．化简下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(2,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2).【能力提升】一、单选题1．已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（

）A． B． C．或 D．1【答案】B【分析】由题设可得且，求解即可.【详解】由题设，且，即，∴，则，解得或，综上，.故选：B.2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由可以得到，但是反向推导不成立，故可以得到答案.【详解】由可以得到，但是由，得或.故选：A.3．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（

）A． B．0 C．7 D．【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令得,故定点为,所以由三角函数定义得，所以故选：D4．已知长方形的四个顶点是，，，，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的后，依次反射到，和上的，，和（入射角等于反射角）.设的坐标是，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由，利用对称性得到角的关系为，，再利用三角函数来解答，可以设，得到这些角的三角函数值关于的关系式，再由的坐标以及，求得的取值范围。【详解】设，则，所以又，所以；而

所以；又

所以根据题设，即所以即故选：C【点睛】本题主要考查三角函数特别是正切函数定义的应用、解不等式等基本知识，以及对称法、解析法等基本数学方法的应用。二、多选题5．下列四个选项，正确的有（

）A．在第三象限，则是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为C．若角的终边经过点，则D．【答案】ABD【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，则，，解得，又，即，解得，B正确；对C：根据题意可得，故C错误；对D：因为，，故，故，D正确.故选：ABD.6．已知是第一象限角，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据角所在象限，判断三角函数值的符号。【详解】已知是第一象限角，∴由，角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，成立，A正确；不一定成立，B错误；由，角的终边在第一象限或第三象限，不一定成立，C错误；成立，D正确.故选：AD．7.下列结论正确的是（

）A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C．若角的终边上有一点，则D．若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【分析】A中，由象限角的定义即可判断；B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；C中，根据三角函数的定义即可判断；D中，取即可判断.【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；选项C中，，，故C正确；选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．故选：BC．8．已知点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.【详解】因点是角终边上一点，则，于是得，A正确；，当时，，当时，，B不正确；又，则，C正确，D不正确.故选：AC9．下列说法正确的是（

）A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角B．如果，是第一象限的角，且，则C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C，D作答.【详解】对于A，是第一象限的角，即，则，是第四象限的角，A正确；对于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正确；对于C，设扇形所在圆半径为r，则有，解得，扇形面积，C不正确；对于D，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长，D正确.故选：AD10．已知，那么下列命题正确的是（

）A．若角、是第一象限角，则B．若角、是第二象限角，则C．若角、是第三象限角，则D．若角、是第四象限角，则【答案】BCD【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项.【详解】设角、的终边分别为射线、．对于A，如图1，，此时，，，所以，故A错误；对于B，如图2，，此时，，且，所以，故B正确；对于C，如图3，，此时，，且，所以，故C正确；对于D，如图4，，，即，故D正确．故选：BCD.三、填空题11．求值：________．【答案】2【分析】根据对数的运算法则性质及指数幂的运算化简求值即可.【详解】原式=故答案为：212．已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．【答案】1【分析】根据对数的运算及性质化简可得，再由三角函数的定义求解即可.【详解】由题意知，，即，化简得，则故答案为：113．函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则________．【答案】【分析】由已知条件可得函数的周期，再由周期性和偶函数的性质求值．【详解】由题意，所以是周期函数，周期是，又是偶函数，所以．故答案为：．四、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求sin的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）利用三角函数的定义直接求解；（2）先求出角，即可写出与角终边相同的角的集合；（3）过O作于H，表示出，，分别表示出扇形面积和三角形面积，即可求出弓形AB的面积.（1）因为角的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－，因为B在x轴上方，所以.由三角函数的定义，可得：.（2）当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则，即，所以，即与角终边相同的角的集合.（3）弓形AB的面积:.扇形的圆心角为，所以.过O作于H，则，，所以.所以.15．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.(1)若点B的横坐标为，求的值和与角终边相同的角的集合；(2)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）.附：.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）若点的横坐标为，根据题意求出的纵坐标，从而求得的值．确定角，写出与角终边相同的角的集合．（2）若，根据弓形的面积，计算求得结果．(1)在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点，它的终边与单位圆