沈阳市浑南区2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案

沈阳市浑南区2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案一、选择题下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分。1.下列哪个方程是一元二次方程（）A. B. C. D.【答案】B【详解】A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程属于分式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；D、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；故选：B．2.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A.AB2＝AP2+BP2 B.BP2＝AP•BAC. D.【答案】D【详解】P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或．故选：D．3.若点是反比例函数图象上一点，此函数图象必经过点（）A. B.C. D.【答案】A【详解】根据题意，若点是反比例函数图象上一点，则，结合反比例函数图象上的点的特点，分析选项：A、，故反比例函数的图象经过点，选项A符合题意，B、，故反比例函数的图象不经过点，选项B不符合题意，C、，故反比例函数的图象不经过点，故选项C不符合题意，D、，故反比例函数的图象不经过点，故选项D不符合题意；故选：A．4.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A.3，；9 B.3，，C.3，5，9 D.3，5，【答案】B【详解】去括号得，移项得，所以二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．

故选：B．5.若，且相似比为，则与的面积比为（）A. B.C. D.【答案】C【详解】，相似比为，与的面积比为．故选：C．6.关于一元二次方程的根的情况叙述正确的是（）A.方程有一个实数根 B.方程有两个不等实数根C.方程有两个相等实数根 D.方程没有实数根【答案】D【详解】，∵，∴，故一元二次方程没有实数根．故选：D．7.在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A.两条对角线互相垂直平分 B.两条对角线相等且互相垂直C.两条对角线互相垂直 D.两条对角线相等【答案】A【详解】A、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故正确；B、两条对角线相等且互相垂直的四边形是筝形，故不正确；C、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不正确；D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故不正确.故选A.8.利用配方法解方程x2﹣12x+13＝0，经过配方得到（）A.（x+6）2＝49 B.（x+6）2＝23C.（x﹣6）2＝23 D.（x﹣6）2＝49【答案】C【详解】x2﹣12x+13＝0，移项得：x2﹣12x＝﹣13，配方得：x2﹣12x+36＝23，即（x﹣6）2＝23．故选：C．9.在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．下列说法正确的是（）A.任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同B.有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次C.有放回的连续摸5次，则摸出五个球标号数字之和可能是30D.有放回的连续摸6次，则一定能摸出2号球【答案】A【详解】A.任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同，故该选项正确，符合题意；B.有放回的连续摸10次，不一定摸出2号球两次，故该选项不正确，不符合题意；C.有放回的连续摸5次，每个球的数字都小于6，则摸出五个球标号数字之和不可能是30，故该选项不正确，不符合题意；D.有放回的连续摸6次，不一定能摸出2号球，故该选项不正确，不符合题意．故选：A．10.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为米，则可列方程为()（注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形）A. B.C. D.【答案】C【详解】减去小路的部分依旧可以看作是一个矩形，该矩形的长是米，宽是米，列式：．故选：C．二、填空题每空3分，共18分。11.已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝5，则d＝___．【答案】7.5【详解】线段a，b，c，d是成比例线段，故答案为：．12.若点，在反比例函数图像上，，则，大小关系是_____．【答案】y1＞y2【详解】反比例函数中，，图像经过第一、三象限，函数值随自变量的值增大而减小，且，∴，故答案是为：．13.在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是_____．【答案】15【详解】∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，∴白球所占的比例为，设盒子中共有白球x个，则，解得：．故答案为：15．14.如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为_____．【答案】【详解】如图，连接，E，F分别是，的中点，，，，F是的中点，，G是的中点，，，F是的中点，，，，，E，F分别是，的中点，，故答案为：．15.已知正方形，点E在线段上，连接，过点E作，垂足为G，过点D作交延长线于点F，连接，则与的数量关系为_____．【答案】【详解】∵四边形是正方形，∴，∵∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴∵，∴。16.如图，在矩形中，，，P是射线上一动点，把沿直线翻折，顶点B对应点为G，当线段与相交时，设交点为E，连接，交于点F，连接，若，则的值为_____．【答案】或【详解】由题意得：，∴，，，，，∵，∴，，∴，∴，∴结合折叠的性质可得：，∴四边形为菱形．∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，设，则，∴，解得：或，经检验符合题意；∴或．∴或，∴或，故答案为：或．三、解答题17题5分，18题8分，19题9分，共计22分。17.用适当的方法解方程：．【答案】，【详解】∵，∴，则，即，∴，∴，．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在坐标系内画，使它与位似，且位似比为．（1）画出；（2）请直接写出△DEF的顶点坐标．【答案】（1）作图见详解（2）D的坐标为，E的坐标为，F的坐标为【小问1详解】原点为位似中心，位似比为，∴如图所示，和即为所求．【小问2详解】的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为，∴，，，，，．19.小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．（1）转动转盘一次，请直接写出转到红色的概率；（2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明．【答案】（1）（2）不公平，理由见详解【小问1详解】转动转盘一次，可能出现的结果有种，其中红色的有种，∴，故转到红色的概率为．【小问2详解】不公平．理由如下，用列表法将所有可能出现的结果表示如下，红蓝黄红（红，红）（蓝，红）（黄，红）蓝（红，蓝）（蓝，蓝）（黄，蓝）红（红，红）（蓝，红）（黄，红）黄（红，黄）（蓝，黄）（黄，黄）上面等可能出现的种结果中，有种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小芳获胜的概率是；但只有种情况才可能得到绿色，配成绿色的概率是，即小明获胜的概率是．而，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的．【点睛】本题主要考查用列表法或列举法求概率，理清题意，找出事件可能出现的结果，利用概率公式计算概率是解题的关键．四、（20题8分，21题8分，共计16分）20.如图，直线与反比例函数的图像相交于点，且与x轴相交于点B．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，且的面积是的面积的，求点P的坐标．【答案】（1）（2）或【小问1详解】∵直线与反比例函数的图像相交于点，∴，∴a＝﹣1．∴．把A的坐标代入得:，解得：．【小问2详解】∵直线与x轴相交于点B．∴，∵点P在x轴上，∴的面积是的面积的，∴，∴P的坐标为或．21.随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的越来越多．某产品今年开始做线上销售，二月份销售利润5万元，四月份销售利润万元，求三、四两个月份销售利润的月均增长率．【答案】三、四两个月份销售利润的月均增长率为【详解】设三、四两个月份销售利润的月均增长率为x，则三月份获得利润万元，四月份获得利润万元，依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：三、四两个月份销售利润的月均增长率为．22.如图，有一块面积为的待加工材料，将它加工成一个矩形零件，矩形一边上的两个顶点E，F落在上，另两个顶点H，G分别在上．（1）求证：；（2）当矩形的面积为的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？【答案】（1）见解析（2）矩形的长为6厘米，宽为4厘米【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∴；【小问2详解】过点A作于点D，交于点M，如图，∵的面积为，∴，∵厘米，∴厘米．∵，∴，∴．设厘米，厘米，则厘米，∴厘米，由（1）知：，∴，∴，∴．∵矩形的面积为的面积一半，∴．∴．解得：，∴，∴厘米，厘米．答：矩形的长为6厘米，宽为4厘米．23.如图，中，，动点E从点A出发沿方向运动，动点F从点C出发沿方向运动，点同时出发，且速度均为，设运动时间为．过E作线段，且，连接，解答下列问题：（1）当点F运动到中点时，求的长；（2）连接，当的面积为时，求t的值；（3）是否存在某一时刻t，使为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，或【小问1详解】∵，∴，∵F为的中点，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】过点E作于M，∵，，∴，∴，∴，∴，过点P作，交的延长线于G，∵，，四边形是矩形，∴（cm），∵，∴，解得，∴当时，的面积为；【小问3详解】存在．分两种情况：①若时，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，解得；②当时，过点E作，过点P作，交的延长线于G，由（2）可知，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），综上所述，或时，为直角三角形．24.已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接．（1）如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论；（2）如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题：①四边形的形状是否发生改变，请说明理由；②连接，交于点M，若，，请直接写出的长．【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析（2）①四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由见解析；②【小问1详解】四边形是菱形，理由：设与交与点M，如图，∵，∴，∴，∵，∴．∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵点E在中点，∴，∵四边形为正方形，∴，．在和中，，∴，∴，∵重合，∴，∵将绕点E顺时针旋转得到，∴．∵，∴．∴四边形是菱形；【小问2详解】四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由：延长交于点K，如图，由题意得：，∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形是菱形；②设与交于点N，如图，由①知：，∴，∴．在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，设，则，∵，，∴．在中，∵，∴，解得：（负数不合题意，舍去），∴，∴．∴．25.已知，菱形中，，，线段，分别与，两边相交，且．（1）如图1，设线段，分别交，两边于点，，连接，当时，请直接写出的长；（2）将绕着顶点旋转，射线，交于点．①如图2，连接，，若，求出，，之间的数量关系；②旋转过程中，四边形的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）①，理由见详解；②四边形的面积有最大值，最大值为【解析】【分析】（1）四边形是菱形，，，易证，可知是等边三角形，，，由此即可求解；（2）①将绕着顶点旋转，根据旋转的性质可证，，，从而得出，由此即可求解；②旋转过程中，判断四边形的面积何时为最大值即可，如图所示（见相机），连接，过点作于点，则可求出，四边形的面积，当的面积最大时，四边形的面积最大，由此找出的面积最大即可，当时，由，为边组成正方形时，的面积最大，且的最大面积，由此即可求解．【小问1详解】∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，