中山市重点名校2017-2018学年高二下学期期末监测数学试题

中山市重点名校2017-2018学年高二下学期期末监测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数尤~N(H,22),若某班共有54名学生，则这

个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为()

(附：P(〃—cr<X<〃+cr)=0.68)

A.6B.7C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

分析：现利用正态分布的意义和2b原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于13的概率，即可求解得到

其人数.

详解：因为其中数学考试成绩X服从XN(11,22)正态分布，

因为尸(〃一cr<XK〃+cr)=0.6827,即P(ll—2<X<H+2)=0.6827

根据正态分布图象的对称性，可得P(X211+2)=J=0.15865,

所以这个班级中数学考试成绩在13分以上的人数大约为54x0.15865。9人，故选C.

点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是

解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题.

2.设集合A={1,2,3,4},5={—1,0,2,3},C={x^R\-l<x<2\,则(AB)C=

A.{-1,1}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由并集的定义可得：AoB={-1,0,1,2,3,4},

结合交集的定义可知：{—1,0,1}.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

3.已知随机变量X的取值为L2,3,若P(X=3)=LE(X)=-,则。(X)=()

【答案】C

【解析】

【分析】

设p(x=l)="，P(X=2)=q,则由P(X=3)=L,E(X)=3,列出方程组，求出。，q,即可求

63

得。(X).

【详解】

设p(x=l)=。，P(X=2)=q,

E(X)=p+2q+3x-=------①，

63

又-+p+q=l-----②

6

由①②得，P=3,q=1,

D(X)=-(I--)2+-(2--)2+-(3--)2=-

2333639

故选：C.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考

查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

4.复数2=匕电在复平面内所对应的点位于()

l+3z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的运算法则化简，再利用复数的几何意义即可求出.

【详解】

7-4z(7—4,)(1—3，)—5—25715.7-4z

2=g=一丁7,所以在复平面内，复数2=^”对应的点的坐标是

l+3z=：(l+3z)(l-3z)1022l+3z

2，-2,位于第三象限，故选C.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的几何意义.

5.期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩

甲：我不能及格.

乙：丁肯定能及格.

丙：我们四人都能及格.

丁：要是我能及格，大家都能及格.

成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾.

详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.

丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，

故甲预测错误.

故选A.

点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键.

6.已知函数/(x)=ksinx+2x+l(keH),当左©(一»,-2)(2,收)时，/(X)在(0,2乃)内的极值点的

个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

22

求导令导函数等于0,得出cosx=——，将问题转化为函数g(x)=cosx,(0,2p),h(x)=——，

kX

xw(—8,—2)。(2,+8)的交点问题，画出图象即可判断.

【详解】

2

令/(%)=丘05%+2=。得出85*=——

k

2

令函数g(无)=cosx,(0,2p),h(x)=——,XW(T»,-2)D(2,+8)

它们的图象如下图所示

2

由图可知，函数g(X)=COSX,(0,4>),h(x)=——，X€(—00,-2)。(2,+8)有两个不同的交点，则/(X)

在(0,2。)内的极值点的个数为2个

故选：C

【点睛】

本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.

7.设随机变量X〜N(u,。2)且「低<1)=1,P(X>2)=p,则P(O<X<1)的值为()

2

11

A.—pB.1—pC.1—2pD.——p

22

【答案】D

【解析】

【分析】

由P(X<l)=g,得正态分布概率密度曲线关于〃=1对称，又由P(X>2)=。，根据对称性，可得

P(X<0)=p,进而可得P(O<X<1)=；—p,即可求解.

【详解】

由随机变量xN(A，b),可知随机变量服从正态分布，其中x=〃是图象的对称轴，

又由P(X<1)=L,所以〃=1,

2

又因为P(X>2)=p,根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得尸(X<0)=p,

所以P(0<X<l)=g—p,故选D.

【点睛】

本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理推算是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，

用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()

A.400,40B.200,10C,400,80D.200,20

【答案】A

【解析】

【分析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.

【详解】

用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，

样本容量为：(3500+4500+2000)*4%=400,

抽取的高中生近视人数为：2000x4%x50%=40,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注

意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.

*T<0

9.已知函数/'(X)=J,则/⑵=()

/(%-3),%>0

11

A.32B.-C.16D.——

232

【答案】B

【解析】

【分析】

根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.

【详解】

/(2)=/(2-3)=/(-1)=2-*=1

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.

10.荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片

荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A荷叶上，则

跳三次之后停在A荷叶上的概率是()

【答案】c

【解析】

【分析】

根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A,则应满足3次逆时针或者3次顺时针,

根据概率公式即可得到结论.

【详解】

设按照顺时针跳的概率为P，则逆时针方向跳的概率为2p,则p+2P=3p=l,

11?

解得P=-,即按照顺时针跳的概率为-，则逆时针方向跳的概率为一，

333

若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，

则满足3次逆时针或者3次顺时针，

222g

①若先按逆时针开始从A1B,则对应的概率为—x—x—=一,

33327

②若先按顺时针开始从A9C,则对应的概率为』x'X'=」-,

33327

则概率为§+'=2」，

2727273

故选：C.

【点睛】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

11.设实数。>匕>0,。>0,则下列不等式二定正硕的是（）

A.0<-<1B.ca>Cb

b

C.ac-bc<0D.In—>0

b

【答案】D

【解析】

【分析】

对4个选项分别进行判断，即可得出结论.

【详解】

解：由于a>b>0,—>1,A错；

b

当O<C<1时，Ca<Cb;当C=1时，Ca=Cb;当C>1时，Ca>Cb,故ca>cb不一定正确，B错；

a>b>0,c>0,故ac-bc>0,C错.

In—>Ini=0,D对；

b

故选D.

【点睛】

本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

12.已知正项等差数列｛%｝满足：/<+。“_1=/25»2）,等比数列｛2｝满足:bn+1-bn_^2bn（n>2）,

则1082（。2018+62018）=（）

A.T或2B.0或2C.2D.1

【答案】C

【解析】

分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论.

详解：由%+1+%_]=%2("之2),得*=4+]+%],

•••｛风｝是正项等差数列，

an~an+l+an-l=2。“，

.•.a,=2,(n>2),bn+x-bn_x-2bn=0(n>2),bn+i-bn_x=2^(n>2),

•.•也｝是等比数列，，bn+l-%=b：=2“〃22),••也=2,(n>2),

4

则log，an+b,)=log/2+2)="24=2,即log2(陶^+%i8)=

故选：D.

点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题

的关键.

二、填空题：本题共4小题

13.已知〃=「3公，则的展开式中常数项为

【答案】-32

【解析】

4rr

n=尸质=不4|；=4,二项式的展开式的通项为心=C；x-(-^)=(一2)「C：x「叱

43

令4—3厂=0,则r=3,展开式中常数项为(一2)3。；=-8x4=-32.

故答案为-32.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第厂+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+1项，由特定项得出厂

值，最后求出其参数.

42

14.用数学归纳法证明1+2+3++“2=与2(〃〉1),在第二步证明从〃=左到〃=左+1成立时，左

边增加的项数是项.

【答案】2k+l

【解析】

【分析】

根据等式1+2+3++/="；〃一(“〉1)时,考虑〃=左和〃=攵+1时，等式左边的项，再把〃=攵+1

时等式的左端减去〃=左时等式的左端，即可得到答案.

【详解】

解：当”=左时，等式左端=1+2++左之，

当〃=左+1时，等式左端=1+2++G+俨+1)+(/+2)+,2+3)++(左+1)2,

所以增加的项数为：伏+1)2-/=2k+1

即增加了2左+1项.

故答案为：2左+1.

【点睛】

此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把〃=左+1时等式的左端减去

“=左时等式的左端，属于基础题.

15.设4~N(5,22),则尸(3＜。＜7)=

【答案】0.6826

【解析】

由正态分布中三个特殊区间上的概率知尸(〃—b<X<〃+。)=0.6826,

P(3<X<7)=P(5-2<X<5+2)=0.6826.

答案：0.6826

16.某篮球运动员在三分线投球的命中率是,,他投球10次，恰好投进3个球的概率为

.(用数值

2

作答「

【答案】黑

128

【解析】

【分析】

直接运用独立重复试验九次，有人次发生的事件的概率公式进行求解.

【详解】

投球10次，恰好投进3个球的概率为5审=备故答案为寻

【点睛】

本题考查了独立重复试验”次，有上次发生的事件的概率公式，考查了数学运算能力.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知％=会是函数/(%)=/“sinox-cosox((y>0)的一条对称轴，且/(%)的最小正周期为万.

(1)求，〃值和/(X)的单调递增区间；

(2)设角A,5c为AABC的三个内角，对应边分别为a/,c,若/⑻=2,b=6求1■的取

值范围.

【答案】(1)m=6,左乃一£,左乃+£(2)

L63JL2J

【解析】

【分析】

(1)由三角函数的辅助角公式，得/(力=府Wsin(ox—夕)，求得。=2,又由Xo=g为对称轴，

求得夕=—左乃+工，进而得到则工=tane=Wnm=6,得出函数的解析式，即可求解函数的单调

6m5/3

递增区间；

(2)由(1)和/(5)=2,求得8=3,在利用正弦定理，化简得a—T=6sin]A—看],利用角A的

范围，即可求解答案.

【详解】

(1)f(x)=msmcox-coscox=y/m2+lsin(^cox-(p^,所以T=[=»nG=2.

TTTTTTTC

因为％o=—为对称轴，所以2x——(p=kn+—，即0=一左〃+—，

3326

则工=tane=[r,则相=百，所以〃x)=6sin2x-cos2x=2sin[2x-f.

TTTTTTTTTC

令2k7t<2x---<2k7iH——nk7i<x<k7i-\——eZ),

26263

jrjr

所以/(x)的单调递增区间为k7U--,k7L+-(左eZ).

(2)/(3)=2sin25—J=2,所以28—工=工，则6=工，

<6J623

hnc

由正弦定理得2R=「；=2=「=「；，R为A6C外接圆半径，

siansinAsinC

所以〃一£二2sinA-sinA+—=—sinA----cosA—^3sinA--,

2V3J22v6J

【点睛】

本题主要考查了三角函数的综合应用，以及正弦定理的应用，其中解答中根据题设条件求解函数的解析式,

熟记三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档

试题.

is.已知函数/(%)=|2x—3|+k+1.

（1）解不等式/（无）＜9；

⑵设/心）=田—a|+|3x+3],若对任意存在々eR,使得力（%）=成立，求。的取

值范围.

I111

【答案】（1）%£-py;(2)I-co,--——,+oo

2

【解析】

【分析】

⑴令g（x）=|2x-3|+|x+l|-9,通过零点分段法可得g（x）解析式，进而将不等式变为g（x）＜0,

在每一段上分别构造不等式即可求得结果;

（2）将问题转化为/《X）的值域是"％）值域的子集的问题；利用零点分段法可确定/（九）解析式，进而

得到/（%）值域；利用绝对值三角不等式可求得从九）的最小值，由此可构造不等式求得结果.

【详解】

3x—11,x>一

2

(1)令g(x)=|2x-3|+|x+l/9=<-x-5,-l<x<—,

2

—3x—7,x<—1

3x-ll<0-x-5<0

f-3x-7<0711

由g（x）＜0得：得＜

3或<13或<x<-l，解得:——<x<—>

X>一-1<%<—33

22

711

即不等式/'（可＜9的解集为一不丁

⑵对任意都有使得〃（玉卜/卜）成立，则外力的值域是/（九）值域的子集.

3x—2,%>一

2

，二/（X）值域为|■，+

/(x)=|2x-3|+|x+l|=<-x+4,-l<x<-

2

—3x+2,%<—1

/2(x)=|3x-a|+|3x+3|>|3x-«-3x-3|=|a+3|,

I«+3l>—,解得：a>—或a<---,即。的取值范围为1―00,—："—,+00|.

112222jL2）

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、与绝对值不等式有关的恒成立和能成立问题的求解，涉及到零点分段法和

绝对值三角不等式的应用；关键是能够将恒、能成立问题转化为两函数的值域之间的关系，进而通过最值

确定不等式.

19.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点_作圆0=y立a的切线，则切线的极坐标方

（2、充）

程是.

【答案】pCosO=2

【解析】

分析：由圆）=二一、化为、.二+产—由极坐标系中，点_，求出其直角坐标，可求过点

（2、药）

4（2,2）的圆N+产―=0的切线极坐标方程。

详解：•圆p=4sm8,；.p:=ipsind,：.x2+y;-4y=0,

•••极坐标系中，点_,_._

2、②;x=2\>2-cos=2,y=2y/2sin^=2,vA（2,2）

在X。—4j=0上'产-4j=0的圆心Br0,2

二J=言=。，

・••过点/（2,2）的圆产+M_4丁=0的切线方程为：（=。・

即pcos。=2.

故答案为"osH=2..

点睛：本题考查简单曲线的极坐标方程，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价

转化.

20.已知AABC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且百bsinA—acosB—2a=0.

（I）求角3的大小；

（H）若。=J7,AABC的面积为走，求。，c的值.

2

27rci=l,a=2,

【答案】（I）B=—（II）{c或{1

3c=2,c=I.

【解析】

试题分析：(I)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行求解；(II)利用三角

形的面积公式和余弦定理进行求解.

试题解析：(I)Vy/3bsinA一acosB-2a=0,

由正弦定理得^sinBsinA—sinAcosB—2sinA=0，

又人£(0,万)，sinAW0,・••豆sinB—cosB=2,sinfB--

=1,AJB=T

11•妙

acsm-

RS^BC=-acsinB,737'<ac=2,

(II)V{*2A{232即{22_s

b~=a~+-2accosB,a1+c1—2accos^~=7,'

3

21.已知曲线C的极坐标方程是Q=4COS，.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建

x=l+tcosa

立平面直角坐标系，直线I的参数方程是(t为参数).

y=tsma

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若直线I与曲线C相交于A、B两点，且求直线I的倾斜角a的值.

【答案】⑴(无一2)2+丁2=4；(2)。=工或学.

【解析】

【分析】

(1)利用好+/=22,x=pcos0,y=〃sin。将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用直线/参数的几何意义表示出|A到,列方

程求解即可.

【详解】

(1)由O=4cos6得P2=4夕cos®.

X2+y2-p2,x=pcosO,y=psin0

二曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=Q,

即(x-2)?+y2=4

x=l+tcosacc

(2)将直线/的方程代入/+y2—4%=0的方程,

y=tsma

化简为：产—2fcosa—3=0.(A3对应的参数为乙和)

t,+t=2coscr

故：7.

62=-3

|=,］—胃=J(4+々J-例)=J4cos之a+12=y/15

/.4cos2c)f=3,贝！lcosa=±9,

2

ae［0,万)

71fsil

a——或—.

66

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程参数的几何意义，圆的弦长问题的

计算，考查了学生的运算求解能力.

22.已知函数/(X)=加-(a+6)x+31nx,其中aeR.

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)当a>0时，若函数/(%)在区间［l,3e］上的最小值为-6,求。的取值范围.

【答案】(1)2x+y+4=0；⑴［3,+8).

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，计算f(1),*(1)的值，求出切线方程即可；

(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可.

【详解】

(1)当a=l时，f(x)=x-7x+31nx(x>2),

3

**./'(九)=2%一7H—,f(1)--6,f'(1)--1.

X-

・••切线方程为y+6=-1(x-1),即lx+y+4=2.

(1)函数f(x)=ax1-(a+6)x+31nx的定义域为(2,+°°),

当a>2时，/(x)=2ax-(a+6)+g=2a/一(a+6)x+3=(2x-l)(ax-3),

13

令f'(x)=2得％=—或％=—，

2a

3

①当OV—<1,即a23时，f(x)在［L3e］上递增，

a

・・・f(x)在［L3e］上的最小值为f(1)=-6,符合题意；

3133

②当IV—V3e,即—<oV3时，f(x)在L-上递减，在一，3e上递增,

aeaa

.,.f(x)在［1,3e］上的最小值为(1)=—6,不合题意；

31

③当一23e,即0＜。＜—时，f(x)在［1,3e］上递减，

ae

Af(x)在［1,3e］上的最小值为f(3e)＜f(1)=-6,不合题意.

综上，a的取值范围是［3,+8).

【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题.

中山市重点名校2018-2019学年高二下学期期末监测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知/（力=/+%-。（一IWXWI）且|。归1,则|/（到的最大值为（）

53°

A.—B.—C.3D.1

44

【答案】A

【解析】

【分析】

根据绝对值三角不等式可知归|a||x2-l|+|x|；根据同W1可得|/（x）归k2-1|+|%|,根据x的范围

可得V（x）归-1国-+1,根据二次函数的性质可求得结果.

【详解】

由题意得：=,（必—1）+工|三问卜2—1+国力2—1+国

—1<%<1+国=1—/+国=一,「+国+]=一（国―^]+：

二当|x|=L即x=±工时，（lx2-1|+|A:|）=—

1122V11'/max4

即：即|/（尤）|的最大值为：!

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查函数最值的求解，难点在于对于绝对值的处理，关键是能够将函数放缩为关于忖的二次函数的

形式，从而根据二次函数性质求解得到最值.

2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）

⑶(4)

A.rz<r4<0<r3<riB.r4<rz<0<ri<r3

C.r4<rz<0<r3<riD.rz<r4<0<ri<r3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项.

【详解】

由散点图可知图⑴与图⑶是正相关，故ri>0,n>0,图⑵与图(4)是负相关，故*0,且图⑴与图(2)

的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.

故选:A.

【点睛】

本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题.

3.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如表数据.由表中数据求得y关

于X的回归方程为£=0.65x+4,则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为()

X4681012

y12356

【答案】A

【解析】

分析:求出样本点的中心，求出a的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3),

共2个，求出概率即可.

详解：元=8,歹=3.4，

故3.4=0.65x8+4,解得：＜5=-1.8,

则y=0.65x-1.8

故5个点中落在回归直线下方的有6,2),(8,3),共2个，

2

故所求概率是p=g,

故选A.

点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题.

4.在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为()

A.216B.288C.312D.360

【答案】C

【解析】

【分析】

根据能被2整除，可知为偶数.最高位不能为0,可分类讨论末位数字，即可得总个数.

【详解】

由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论：

当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有国种;

当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有心以丝,

综上可知，共有若+4反对=5x4x3x2x1+2x4x4x3x2x1=120+192=312个.

故选：C.

【点睛】

本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.

5.复数二一(，是虚数单位)的虚部是()

l+2z

11.11.

A.—B.—iC.——D.——i

3355

【答案】C

【解析】

-j(l-2z)-2-i211

试题分析：---------i,虚部为—°

1+27(l+2z)(l-2z)5555

考点：复数的运算。

6.如图，阴影部分的面积是（）

1c1

C.ed-----2D.e——

【答案】C

【解析】

11

由定积分的定义可得，阴影部分的面积为J-二）公=（/+二）|；=e+--2.

oe

本题选择C选项.

点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：（1）画出图形；（2）确定被积函数；（3）确定积分的上、下

限，并求出交点坐标；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.

求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值（极限值），

可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.

xr=3x,

7.将曲线y=sin13x—按照伸缩变换＜

,1后得到的曲线方程为（）

A.y=2sin/_：］,1.（，吟

B.y=—sinx——

214）

C.y'=^-sin^9x,

D./=2sin

【答案】B

【解析】

【分析】

根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标,代入已知函数的表示式得解.

【详解】

x=—x'（-］得R=sin|/-0

由伸缩变换，得｛3,代入_y=sin|3x

y=^y''

即V=gsin［x'—；］.选B

【点睛】

本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.

12

8.利用数学归纳法证明"l+a+a2+...+an+i=：^-(a*l,nwN)〃时，在验证n=l成立时，左边应该是()

\-a

A.1B.1+aC.1+a+a2D.l+a+a2+a3

【答案】C

【解析】

考点：数学归纳法.

l-a"2

分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：’'l+a+ai+..・+an+i=-----------(axl)”在验证n=l时，左端计算

1-a

所得的项.把n=l代入等式左边即可得到答案

“♦2

解：用数学归纳法证明："l+a+ai+...+a"i=±X

—(a*l)”

［一a

在验证n=l时，把当n=l代入，左端=l+a+ai.

故选C.

9.下列命题正确的是（）

A.若b>c,则>a2c

B.“无=—1”是“丁—3%一4=o”的必要不充分条件

C.命题“。vq”、，，。Aq"、“r?”中至少有一个为假命题

D.“若Y+/nO,则“，〃全为0”的逆否命题是“若a,匕全不为0,贝!!4+6/0”

【答案】C

【解析】

分析：根据命题条件逐一排除求解即可.

详解：A.若b>c,则储ZJA/C,当a为0时此时结论不成立，故错误；B."x=—1”是“7―3%—4=0”

的必要不充分条件，当x=4时3%—4=0成立，故正确结论应是充分不必要；D.“若“2+^=0,则

”,6全为0”的逆否命题是“若。，6全不为0,则片+廿/0”

应该是若匕不全为0,故错误，

所以综合可得选C

点睛：考查对命题的真假判定,此类题型逐一对答案进行排除即可,但注意思考的全面性不可以掉以轻心,

属于易错题.

10.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则

P（X<2）=（）

31347

A.-B.—C.-D.一

81458

【答案】D

【解析】

【分析】

首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出.

【详解】

因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为?4=1从中取3次，X为取得次品的次数,

o2

则x5l3,1

P(X<2)=P(X=2)+P(X=l)+P(X=0)=C；选择D答案.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的概率，解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题.

11.若函数/（x）=Ain（2x+。）+cos（2x+，）为奇函数,且在《⑼上为减函数，则0的一个值为（）

【答案】D

【解析】

由题意得/(x)=6sin(2x+e)+cos(2x+e)=2sin(2x+e+£),

:函数/(x)为奇函数，

TTTT

/.0-\—=ki,kGZ,故。=---Fki,keZ.

66

JTjr

当。=——时，/(x)=2sin2x,在-7,0上为增函数，不合题意.

6L4_

当，=g时，/(x)=-2sin2x,在-jo上为减函数，符合题意.选D.

12.若集合用=1|/)4},N={x[l<x<3},则Nc@M)=()

A.{x|-2<x<l}B.{x\-2<x<2]

C.{x|1<x<2}D.{x\x<2}

【答案】A

【解析】

分析：求出M及CRM,即可得到NC(C”/).

详解：M={Nx2>4}={x|x〈—2,或x”},则CRM={X[—2<x<2},

NC(CR")={X|1<X<3}C{X|-2Wx<2}={x[1<XW2}.

故选c.

点睛：本题考查集合的综合运算，属基础题.

二、填空题：本题共4小题

13.已知抛物线V=4x,过焦点R作直线与抛物线交于点A,3两点，若IA户|=4,则点3的坐标为

【答案】4，半)或((-挈)

【解析】

【分析】

如图所示，求得尸(L0),由IA户1=4,可得5+1=4,解得/，可得直线的方程，与抛物线方程

联立，即可求解.

【详解】

如图所示，可得尸(1,0),

由|A户|=4,由抛物线的定义，可得5+1=4,解得5=3,

代入抛物线的方程可得力=26或%=-273，

2

当A(3,26)时，kAB=^~°=43.

3—1

则直线的方程为y—0=6(x—1),即>=氐—6,

代入y2=4x,解得5(g

同理当A(3,-2石)时，解得5(5—¥),

故答案为叫半)或叫-半).

本题主要考查了抛物线的定义，标准方程及其性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，着重考查了推

理能力与计算能力，属于中档试题.

14.定义“规范01数列”｛g｝如下：｛4｝共有2777项，其中加项为0,加项为1,且对任意左W2

%,外,，%中0的个数不少于1的个数.若机=4,则不同的“规范01数列”共有一个.

【答案】14

【解析】

由题意，得必有4=0,q=l,则具体的排法列表如下：