2025届北京首都师范大学第二附属中学高一下数学期末达标检测模拟试题含解析

2025届北京首都师范大学第二附属中学高一下数学期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．2．用区间表示不超过的最大整数，如，设，若方程有且只有3个实数根，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（）A．80% B．85% C．90% D．92%4．在中，若，则是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．已知是偶函数，且时.若时，的最大值为，最小值为，则（）A．2 B．1 C．3 D．6．单位圆中，的圆心角所对的弧长为()A． B． C． D．7．已知数列的前项和为，且，若，，则的值为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知向量，.且，则（）A．2 B． C． D．9．若，，，，则等于（）A． B． C． D．10．如图，平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，则异面直线BD与CE所成的角为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.12．辗转相除法，又名欧几里得算法，是求两个正整数之最大公约数的算法，它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．下图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法．若输入、的值分别为、，则执行程序后输出的的值为______．13．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______.14．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.15．数列中，若，，则______；16．已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥中，垂直于平面，.求证：平面.18．已知的顶点都在单位圆上，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.19．设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.20．已知．（1）化简；（2）若是第二象限角，且，求的值．21．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在内），按成绩分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在和内的学生多少人；（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

先由正弦定理，将化为，结合余弦定理，求出，再结合正弦定理与三角形面积公式，可得，化简整理，即可得出结果.【详解】因为，所以可化为，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，当且仅当时，取得最大值.故选C【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.2、A【解析】

由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.【详解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点，当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推如上图所示，实数k的取值范围为：k，即实数k的取值范围为：（，]，故选A．【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．3、A【解析】

先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．【详解】解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，不喜欢数学课的学生有：，喜欢数学课的有80个，估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．故选：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4、A【解析】

首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据把换成与的关系，进一步化简即可．【详解】，，,选A.【点睛】本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题．5、B【解析】

根据函数的对称性得到原题转化为直接求的最大和最小值即可.【详解】因为函数是偶函数，函数图像关于y轴对称，故得到时，的最大值和最小值，与时的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；根据对勾函数的单调性得到函数的最小值为，，故最大值为，此时故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题。对于函数的奇偶性，主要是体现函数的对称性，这样可以根据对称性得到函数在对称区间上的函数值的关系，使得问题简化.6、B【解析】

将转化为弧度，即可得出答案.【详解】，因此，单位圆中，的圆心角所对的弧长为.故选B.【点睛】本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.7、B【解析】

推导出数列是等差数列，由解得，由此利用能求出的值.【详解】数列的前项和为，且数列是等差数列解得解得故选：【点睛】本题考查等差数列的判定和基本量的求解，属于基础题.8、B【解析】

通过得到，再利用和差公式得到答案.【详解】向量，.且故答案为B【点睛】本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.9、C【解析】

利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值．【详解】，，则，，则，所以，，因此，，故选C．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．10、C【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与CE所成的角．【详解】∵平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），E（0，0，1），（﹣1，﹣1，0），（0，﹣1，1），设异面直线BD与CE所成的角为θ，则cosθ，∴θ．∴异面直线BD与CE所成的角为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.12、【解析】

程序的运行功能是求，的最大公约数，根据辗转相除法可得的值．【详解】由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求、的最大公约数，当输入的，，；，，可得输出的．【点睛】本题主要考查了辗转相除法的程序框图的理解，掌握辗转相除法的操作流程是解题关键．13、【解析】

根据三角函数图象依次求得的值.【详解】由图象可知，，所以，故，将点代入上式得，因为，所以.故.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题.14、【解析】

令，可得，从而将问题转化为和的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案.【详解】由题意，令，则，则和的图象有两个不同交点，作出的图象，如下图，是过点的直线，当直线斜率时，和的图象有两个交点.故答案为：.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15、【解析】

先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，，……，，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.16、9【解析】

两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.【详解】，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有（当且仅当取等号），因此的最小值为9.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解析】

分析：由线面垂直的性质可得，结合，利用线面垂直的判定定理可得平面.详解：∵面，在面内，∴，又∵，，∴面.点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.18、（1）；（2）【解析】分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又，即可求得的值；（2）由同角三角函数基本关系式可求的值，由于的顶点都在单位圆上，利用正弦定理可得，可求，利用余弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可得解.详解：（1）∵，由正弦定理得：，，又∵，，∴，所以.（2）由得，，因为的顶点在单位圆上，所以,所以，由余弦定理,..点睛：本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题.19、（I）；（II）.【解析】

（I）设公差为，根据题意可列关于的方程组,求解，代入通项公式可得；（II）由（I）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.20、（1）（2）【解析】

（1）利用三角函数的诱导公式即可求解.（2）利用诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】（1）由题意得．（2）∵，∴．又为第二象限角，∴，∴．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.21、（1）有4人，有2人；（2）【解析】

（1）由频率分布直方图，求出成绩在和内的频率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的不同取法，再求解即可.【详解】解：（1）因为，所