北师大版版（2019）必修第一册全册检测卷（二）

北师大版版(2019)必修第一册全册检测卷(二)

一、单选题

1.已知虚数Z是关于X的方程x2-4x+a=0(aeR)的一个根，且|Z|=6，则。=

()

A.1B.2C.4D.5

4

2.若sin(兀-tz)=g,则cos2«=()

247724

A.B.—C.——D.—

25252525

3.已知向量々=(1,0),彼=(-1,1),贝I以下与,+25垂直的向量坐标为()

A.(1,2)B.(2,1)C.(1,-2)D.(2,-1)

4.掷铁饼是一项体育竞技活动.如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间,

张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓经测量，此时两手掌心之间的弧长是

苗77r，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为(参

考数据：正=1.414,>/3»1.732)()

A.1.819米B.1.485米

C.1.649米D.1.945米

5.在AABC中，NB=45°,c=4,只需添加一个条件，即可使△A8C存在且唯一.条件:

①a=3&；②匕=2右；③cosC=-《中，所有可以选择的条件的序号为()

A.①B,①②C.②③D.①②③

6.一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞力，E,F,且SO：DA^SE；EB=CF：FS=3：

1,则这个容器最多可盛放原来容器的()

A-1B-?C.IID-1

7.若tansta”=2,则嗡■的值为()

A.B-401D.3

函数/Q)=sin[s+小3>0)在(肛2m上恰好有两个零点，则。的取值范围是

8.

11715191125

B.u

、8848

9115191125

uu

D.TT-4T

9.如图所示的是函数y=/(x)的图像，则函数/(x)可能是()

A.y=xsinxB.y=xcosxC.y=xsinx+xcosx

D.y=xsinx-xcosx

10.已知正方形ABC。的边长为4,点/、N分别在边4。、8c上，且40=1,BN=2,

若点尸在正方形ABC。的边上，则丽•丽的取值范围是()

A.[-6,6]B.[-6,2]C.[-2,6]D.[-2,2]

11.如图，平面四边形ACB0中，ZABC=90°,ZABD=ZBAD=30°,AB=6,BC=2,

现将沿A8翻折，使点。移动至点P,且PB_LBC,则三棱锥P-ABC的外接球

D.建万

A.87B.6兀C.4万

3

12.在4回。中，角4以。的对边分别是4",6若々853=3区抽4-。8$4,则包电-

ab

的取值范围是()

A.[3,5]B.[4,6]C.[4,2+呵D.[4,2+啊

二、填空题

JT

13.已知函数y=cosx与函数y=sin(2x+0)(O<0<m,它们的图像有一个横坐标为§的

交点，则夕的值是.

14.已知非零向量心B满足闷=2忖，且(1+5)M万一3万)，则向量1,R夹角的余弦

值为.

Q万

15.在锐角△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,4c,sin2A?=—sinA,h=4a,

2

a+c=5,则△ABC的面积为.

16.已知函数〃x)=4coss-sin(0x-?)®>O)的最小正周期为4,若存在fe[0,2],

使得机40,则实数〃?的取值范围为.

三、解答题

17.设函数f(x)=sinx->/3cosx(xGR).

⑴求函数丫=[/(》+?)]的最小正周期；

⑵求函数Kx)小+])在0,|上的最小值.

18.在AABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,"sin'十。=asinB,

2

⑴求角A；

(2)^AB-AC=2,求a的最小值.

19.如图：四棱锥尸-ABC。

中，P4J.ADAB=AC=2PA=2,PC=瓜AD//BC,NBAD=150一

(1)证明：%，平面48c。；

(2)求点B到平面P4C的距离.

7T1

20.函数/(x)=Asin(7Lx+g),xeR(其中)部分图象如图所示，P(-,A)

是该图象的最高点，M,N是图象与x轴的交点.

⑴求/(x)的最小正周期及夕的值；

TT

(2)若NPMN+Z.PNM=-,求A的值.

4

21.如图，四棱锥中，底面A8C。为直角梯形，AB//CD,ZABC=90°,AB=2,

BC=CD=\,△幺。为等边三角形，平面PAD_L平面ABCD

(1)证明：BD工PA；

(2)求三棱锥C-PBD的体积.

22.△A8C中，角48,C所对边分别是。，8c,幽1+也1=2,bcosC+ccosB=l.

tanBtanChe

⑴求角A及边〃；

(2)求4+c的最大值.

参考答案:

1.D

【解析】

【分析】

设Z=〃?+〃i,代入原方程，根据复数相等和|2|=5^^亏了可得答案.

【详解】

设z=n?+〃i(/w,"wR且〃=0),

代入原方程可得*-4m+a+(2mn-4«)i=0,

....,im2-n2-4m+a=0f-/?2-4+«=0

所以c〃八，解得c，

[2〃"?-4〃=0[m=2

因为|z|=Jm2+it。=#,所以a?=l,a=5.

故选：D.

2.C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.

【详解】

依题意，sina=—,所以cos2a=l-2sin%=l-2x(d]=-■—.

5⑸25

故选：C

3.B

【解析】

【分析】

首先求出1+25的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得；

【详解】

解：因为々=(1,0),5=(-1,1),所以"万=(1,0)+2(-1,1)=(—1,2),

所以(l,2>(-l,2)=lx(-l)+2x2=3,(2,l>(-l,2)=2x(-l)+lx2=0,

(l,-2)-(-l,2)=lx(-l)+(-2)x2=-5,(2,-1)•(-1,2)=2x(-1)+(-l)x2=-A-

答案第1页，共15页

故选：B

4.A

【解析】

【分析】

由扇形弧长公式可求得圆心角乙4OC，根据AB=2AC可求得结果.

【详解】

根据题意作图如下，

77r主

由题意知：ADB的长为布•,。为ADB的中点,.NA0C=_2Q_=工,

U"-1.05-3

AB=2AC=2xl.05sin-=2.1x—«1.819»即所求距离约为1.819米.

32

故选：A.

5.B

【解析】

【分析】

根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.

【详解】

对于①，c=4,Z.B=45°,«=3\/2,所以，h2=a2+c2-2«ccosB=10,得〃=所以，此

时，△ABC存在且唯一，符合题意；

对于②，。=4,/8=45。,6=26，所以，三=工，解得sinC=20=叵，因为c<8,

sinCsinBb5

所以，ZC<ZB,所以NC为锐角，此时，△43C存在且唯一，符合题意；

47r3ch

对于③，c=4,/8=45o,cosC=-=，所以，-<C<7t,得sinC==,进而

525sinCsinB

,csinB_2>/2_10>/2..mn:

可得飞记一丁一丁，明显可见，c=—<^=b,与矛盾，故③不符

-33

答案第2页，共15页

题意.

故可以选择的条件序号为：①②

故选：B

6.C

【解析】

【分析】

易得这个容器最多可盛放时，平面。EF与地面平行即可，故只需求不规则几何体

DEF-ABC占总体积的比例即可

【详解】

yy-V

由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为=3个――,设C到平面S43

^S-ABC^S-ABC

的距离为/，，则匕一丽=匕一般=1S./.又

9199

Vs-DEF=^F-SDE=77X"7=7TXS.SABh=TTVc-ABS，故

1646464

i.2

匕〉_匕-八0c-匕-/»泪_64_&

^S-ABC^S-ABC1m

故选：C

7.A

【解析】

【分析】

分别用余弦的两角和差公式展开分母和分子，分子和分母再同时除以cosacos/弦化切，代

入tanatan£的值计算求解即可.

【详解】

答案第3页，共15页

cos(a-£)_cosacos尸+sinasin尸_1+tanatan°_1+2

由题意得,

cos(a+/7)cosacos0-smasinp1-tanatanp1-2

故选:A

8.A

【解析】

【分析】

由xeS,2万）得0X+J/加9+£,2出+父，结合正弦函数的性质得不等关系，得出。的范

围.

【详解】

/C、兀（冗'7l\

•.•工£（4,2万）,:.a）x+—e\侬+―,2m+一,

4（44）

fM在（兀,2%）上恰好有两个零点,

冗

(攵一1)%,71CD+—<k兀,

4得，

k3k7

(2+1))<23+?,,(攵+2))一+一<%

.2828

.5k1

"了'/京，口5t17

所以k3,1'得，鼠

一十-vk——

284

又攵£Z,/.k—2,3,4.

11715191123

k=2时,—<a)<—；%=3时,—〈①,,—%=4时，一领血--

848848

11715191123

故。w

¥J4了'T

故选：A.

9.C

【解析】

【分析】

由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可.

【详解】

由图可知：/（X）是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负.

若/(x)=xsinx,则/(-x)=(-x)sin(—x)=xsinx,所以函数y=xsinx为偶函数,

答案第4页，共15页

与条件矛盾，A错,

若/(x)=xcosx,则/(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx,所以函数y=xcosx为奇函数，与条件

矛盾,B错,

若/(x)=xsinx-xcosx,则/(x)=V2xsin71

当时，f(x)=0xsin[x-?J<O,与所给函数图象不一致，D错,

若f(x)=xsinx+—则〃x)=&in"»

当xe(0,,卜寸，/(%)>0,

又/(%)=¥乃，f(_?)=0,所以函数丫=心m工+现0$》为非奇非偶函数，与所给函数图

象基本一致,

故选：C.

10.C

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.

【详解】

如图，建立平面直角坐标系,

则M(0,l),N(4,2),

当P在A。上时，设尸(0,y)(0Wy44),P看=(0」_y),加=(4,2-y)，

T->3]

:.PMPN=y2-3y+2=(y-^)2--,

3Tf1->_>

当产万时，(P"PN)1nhi=-“当y=4时，(PM-PN)3=6，

答案第5页，共15页

即河46,

当尸在3C上时,设P(4,y)(0<y<4),则后/=(-4j_y),丽=(0,2-y)，

->->_3cl1

:.PMPN=y2-3y+2=(y――)2――,知一一<PMPN<6,

244

当尸在A3上时，设P(x,0)(0<x44)，PM=(-x,l),PN=(4-x,2)>

PM-PN=x2-4x+2=(x-2)2-2，

当x=2时，(PMPN)min=-2>当x=4时，(前•俞)3=2，

即-24可乙丽42，

当尸在8上时，设P(x,4)(0<x44)，前=(_%_3),俞=(4-x,-2)，

->—*

PM-PN=x2-4x+6=(x-2)2+2，

当x=2时，(PMPN)min=2-当x=4时，(尸".「“)”,”=6，

即24pM"犷46.

综上可得，-24两•丽46，

故选：C

11.D

【解析】

【分析】

由题知8CJ>平面上4B,再设△PAB外接圆的圆心为。।,三棱锥P-ABC外接球球心为O,

三棱锥尸—43C外接球的半径为R,OO、=h,连接。。，BO},过。作。。人8C,垂足为D,

进而根据几何关系求得/?=1,R=0,再计算体积即可.

【详解】

解：因为NABC=90。，所以AB_LBC,

因为P8J.BC,PBLAB=B,所以，8c，平面R43,

如图，设△2相外接圆的圆心为。-三棱锥P-A8C外接球球心为O,

连接OO-BO、,过。作8八BC,垂足为。，则。。=。/,

所以，在△PA8中，ZA3P=N8AP=30。，ZAPB=12O°,AB=6

答案第6页，共15页

AR

所以，△PA8外接圆的直径为.=即半径为1,8。=1,

sinaAPB

设三棱锥P-43C外接球的半径为R,00,=h,则CD=2i,

所以，AOQB中，08?=。出2+002,即叱=[+力2,

在AOCD中,CO-=CD2+0D1.即炉=1+(2-/?)2,

所以，R2=1+(2—/z)~=\+h2,解得〃=1,R=>/2,

所以，三棱锥P-A8C的外接球的体积为丫=9万内=逑万.

33

故选：D

12.C

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得，sinC=3sinAsin由基本不等式可求出包吆匚的最小值，再根据余

ab

弦定理以及正弦定理可将心史化成关于角C的函数，利用三角函数的性质即可求出最大

ab

值，从而得到取值范围.

【详解】

因为acosB=3Z?sinA-Z?cosA,由正弦定理得sinAcosB-3sinBsinA-sinBcosA,即

sinC=3sinAsinB.

答案第7页，共15页

/+/N+2%处=4,当且仅当a=b时取等号.

ababab

因为,②一+/功儿酒，所以（"比=♦+〃+2.=2+02+2口cosC=2+2COSC+土

ababahab

=2+2cosC+^^^=3sinC+2cosc+2=V^sin（C+°）+2,其中tane=|，ee（0,；）,

而0＜（7＜兀，所以当c+e=q时，（"+”）一取最大值2+屈.即（"+"）-的取值范围是

2abab

[4,2+5/13].

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思

想将所求式子转化成关于角C的函数，再结合辅助角公式求出其最大值.

13.-

6

【解析】

【详解】

jr1

试题分析：由y=8SX可得交点坐标为（兰，士）.由函数y=媪（2x+。）可得

32

-=虫2乂2+0，因0«9＜女,故名+9=史=＞=2.

23366

考点：三角函数值

14.-##0.25

4

【解析】

【分析】

利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.

【详解】

由题意得伍+万）,（日―3日）=同~-2万石_3网=4忖・2万—3忖=|/?|—2a-^=0,所以

无5=躯，

答案第8页，共15页

一方-\bfI

所以cos(a,b\=〃i―=-

\'即W2时4

故答案为：；

15.近

4

【解析】

【分析】

根据sin?8=3自sinA,结合6=4”，利用正弦定理得到sin8,进而求得cosB=：,再利用

28

余弦定理，结合a+c=5,求得mb,c求解.

【详解】

解：因为sin?B=X^sinA,

2

所以sinB.b=a又b=4a,

2

所以sin8=3且，因为AABC是锐角三角形，

8

所以cos3=J,

由余弦定理得〃2=々2+《2-2accosB,

即11/+9。_20=0,解得。=1,

又Q+C=5,则C=4/=4,

所以ziABC的面积为S"c=14csin8=』xlx4x&^=±^,

“阮2284

故答案为：也

4

16.[-2A/5,+OO）

【解析】

【分析】

先根据三角恒等变换得〃x）=2sin（2g-?）-夜，再根据周期性可得0=（,即

小）=2而（枭-?卜友，最后根据存在性问题，只需求函数〃力=2而（畀-£|-忘在

区间xe[0,2]上的最小值即可求解.

【详解】

答案第9页，共15页

、

costyx-sinf<yx7-1-l=4cosd>x-f—sin^yx--cos6yx

〃x)=4

422

=2夜cosGxsincox-2V2cos2s=夜sin2cox一&(1+cos2Gx)

=\/2sin2a)x-41cos2CDX-\[1=2sin^2tyx-^-V2

因为函数小)=43丽0缶"-(｝。>0)的最小正周期为4,

所以7=?=4,解得°=£,所以/(x)=2sin佟

当xe[0,2]B寸，J与，所以"畀一?)e-^-,1

所以“x)e[-20,2-0],

因为存在f«0,2］,使得〃。一如40,

所以“式/⑺L，问0,2］，

所以机N-2&

所以实数"?的取值范围为［-2&,田）

故答案为：［-2夜,+«））

【点睛】

本题考查三角恒等变换化简，不等式能成立问题，三角函数的值域，考查运算求解能力，化

归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据三角恒等变换化简整理得

/（x）=2sin^|x-^-V2,进而根据不等式能成立问题，转化为求函数最小值问题.

17.⑴万

⑵-2

【解析】

【分析】

（1）首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，利用函数的定义域求出函数的值域，即

可得解.

⑴

答案第10页，共15页

解：函数,/'（幻=如了-6<:（»工=2疝（》-5）,

1-cos2(x--)

所以y=4sin2(x-看)=4x----------------=2-2cos(2x-令,

故函数的最小正周期丁=§27r=万;

⑵

解：由于/(%)=sinx-^3cosx,所以小+微=sinX+y-^cosl=cosx+\/3sinx,

所以>=f(x)f(x+§=®nA-A/3COSX)(COSx+Gsinx)

=sinxcosx-43cos2x+Gsin?x-3sinxcosx

=-(\/3cos2x+sin2x)=-2sin(2x+—)

3

即y=-2sin(2x+?；

71

由于X€0,y,

ll,,-九71447r

所以2%+彳£

3

所以sin（2x+?卜-别

故ye[-2,句,

当2Tp71即x=A7t时，函数1/⑴/卜+金取得最小值为—2.

212

71

18.(1)4=5

(2)2

【解析】

【分析】

（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得;

（2）由数量积的定义求出Ac,再由余弦定理及基本不等式计算可得:

⑴

W：在△ABC,由bsin'+。=〃sin3,

2

所以h・sin^——=asinB,EPfecos—=<7sinB,

22

答案第11页，共15页

A

再由正弦定理得sinB-cos—=sinA•sin8,

2

AAAA

sinB•cos—=2sin—cos—•sin3,因为sin3>(),sin—>0

2222

..A]

・・sin—=-

22f

因为日jo,?),所以[=

ZIZ/20

A=-.

3

(2)

解：由丽・*=2，即bccosA=2,所以6c=4.

由a?=//+-2/?ccosA=b2+c2-be>be=4

当且仅当人=c=2时，所以。的最小值为2.

19.(1)证明见解析.

⑵G

【解析】

【分析】

(I)根据勾股定理可得垂直关系，进而根据线线垂直证明线面垂直.

(2)根据等体积法可求点到面的距离.

(1)在△弘C中,AC=2,PA=1,PC=y/5,^PC2=AC2+PA2,iAPAlAC,y.

PA，AD,ACcAD=A,所以%，平面ABCD

(2)vAD//BC,ZBAD=150/.ZABC=30,又因为AB=AC=2,:.ZACB=30,进而可知在

△BAC中,ABAC=180-ZABC-ZACB=120",所以

S=，A8,AC-sinNBAC=，x2x2x3=6,S,"c=!P4，AC=!X1X2=1设点8至lj

平面PAC的距离为h，则VB_PAC=L/Cn1S.PAc.h=；S1Mc-PA=h=G,所以点B到平面

PAC的距离为G

7T

20.(1)2；^=—；

o

(2)A=—-1.

2

【解析】

【分析】

答案第12页，共15页

(1)利用/(X)的解析式求出周期，再由给定的最高点尸求出9作答.

(2)由(1)求出点M,N的坐标，结合图形求出/PMN和N/WM的正切，再利用和角公

式计算作答.

(1)

27r

函数/(幻=Asin(心+夕)的最小正周期丁=—=2,

n

因吗,A)是函数/(x)图象的最高点，则$+e=2E+],止Z,fiijO<^<p有N=(),

兀

O

所以函数/(X)的最小正周期为2,(P三.

6

(2)

冗7rl1冗

由(1)知，/(%)=Asin(7Lr+-),由兀r+二=0得。二一一,即点M(--,0),由心+―=2兀得

66666

x=U，即点N(U，0)，

66

AA2

于是得tan4MN=lF=2A,^ZPNM=^—^=-A而“MN+NPNM=三,

3~(~6)6-34

2A+-A

tanZ.PMN+tanNPNM

则tan(/PMN+/PNM)=又A>0,解得

1-tan/PMN・tanNPNM

1-2A-A

3

4手,

A=----1,

2

所以4=立一1.