山东省春季高考2024年二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省春季高考2024年二模考试数学试题卷一（选择题）一、选择题1.已知集合，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由集合，根据交集的定义可知.故选：A．2.若成等比数列，则实数的值是（）A.5 B.或5 C.4 D.或4〖答案〗D〖解析〗因为成等比数列，可得，解得.故选：D．3.已知且，则角的终边所在的象限是A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.4.已知向量，则等于（）．A B.6 C. D.18〖答案〗C〖解析〗因为向量，所以，且，则，故选:C．5.已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为直线平行于直线，所以直线可设为，因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，解得，所以直线的方程是.故选：C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（）．A.三棱柱 B.圆柱 C.三棱锥 D.圆锥〖答案〗D〖解析〗由圆锥的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥.故选：D．7.已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（）．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点，所以，D正确，其他选项不对.故选：D8.以点（-2,4）为圆心的圆，若有一条直径的两端分别在两坐标轴上，则该圆的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意设直径两端点坐标分别为，因为点（-2,4）为圆心，由中点坐标公式可得，所以，则半径，所以圆的方程为.故选B.9.已知命题：若是自然数，则是整数，则是（）．A.若不是自然数，则不是整数 B.若是自然数，则不是整数C.若是整数，则是自然数 D.若不是整数，则不是自然数〖答案〗B〖解析〗是“若是自然数，则不是整数”.故选：B.10.已知函数，则下列结论正确的是（）．A.函数的最大值是B.函数在上单调递增C.该函数的最小正周期是D.该函数向左平移个单位后图象关于原点对称〖答案〗B〖解析〗由函数，可得最大值是2，最小正周期是，所以选项A，C错误；当，可得，根据正弦函数的性质，可得函数在上单调递增，所以B正确；将函数图象向左平移得到函数，此时函数的图象不关于原点对称，所以D错误.故选：B．11.已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（）．A2或4 B.4或6 C.6或8 D.2或8〖答案〗D〖解析〗如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为，因为点在抛物线上，所以由得横坐标为，又因为到准线的距离为5，即，解得或．故选：D.12.如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，是一条过原点的线段；当时，，是一段平行于轴的线段；当时，，图象为一条线段.故选：A．13.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．14.如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（）A.直线 B.直线 C.直线 D.直线〖答案〗D〖解析〗当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误；当P与重合时，此时、面，故B错误；当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误；由正方体的特征可知四边形为平行四边形，而平面，平面，、平面，，故与始终异面，即D正确.故选：D15.三位男同学和两位女同学随机站成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗五位同学排成一列的排法有种，其中两位女同学相邻的排法有种，所以两位女同学相邻的概率是．故选：B16.已知，若集合，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，则或，所以，由推不出.故选:A．17.甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下：甲：；乙：，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（）A.，甲比乙成绩稳定 B.，乙比甲成绩稳定C.，甲比乙成绩稳定 D.，乙比甲成绩稳定〖答案〗B〖解析〗；；，所以，乙比甲成绩稳定.故选：B.18.下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（）.A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由图知，直线为实线，可行域位于直线下方，所以，直线为虚线，且点不在区域内，代入，可得.所以不等式组可表示阴影部分.故选：B19.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得.故选：B.20.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设四个班分别是、、、，对应的数学老师分别是、、、．让老师先选，可从、、班中选一个，有种选法，不妨假设老师选的是，则老师从剩下的三个班级中任选一个，有种选法，剩下的两位老师都只有种选法．由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法．故选：B.卷二（非选择题）二、填空题21.计算：______．〖答案〗1〖解析〗根据对数的性质，底的对数是1，1的对数是0，因此．故〖答案〗为：122.已知圆柱底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于______．〖答案〗2〖解析〗由题意可知圆柱的底面周长，所以根据圆柱的侧面面积公式可知，该圆柱的母线长，故〖答案〗为：23.已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______．〖答案〗10〖解析〗因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质可得．故〖答案〗为：10.24.已知，且，那么______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，.故〖答案〗为：.25.如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______．〖答案〗.〖解析〗因为是等边三角形，点是的中点，则，又，所以，因为点在双曲线上，所以，所以．故〖答案〗为：三、解答题26.已知是二次函数，且．（1）求的〖解析〗式；（2）若，求函数的最小值和最大值．（1）解：设二次函数为，因为，可得，解得，所以函数的〖解析〗式．（2）解：函数，开口向下，对称轴方程为，即函数在单调递增，在单调递减，所以，．27.已知数列．求：（1）数列的通项公式；（2）数列的前项和的最大值．解：（1）由，可知，所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，所以；（2）由（1）可知，令，解得，令，解得，即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，最大值为．28.如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求：（1）的距离；（2）该救援船到达点所需要的时间．解：（1）由题意可知，，，则，而，在中，，由正弦定理可得，即，即，解得（海里）．（2）在中，，由余弦定理可得，所以，则时间为（小时），所以该救援船到达点需要的时间为1小时.29.已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．（1）求证：平面；（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．（1）证明：由平面平面，平面，得平面平面，而平面，所以平面．（2）解：连接，由平面平面，得，则是直线在平面内的射影，