江苏省苏锡常镇四市2024届高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏锡常镇四市2024届高三二模数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，即，解得，所以，又，所以故选：C2.已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为双曲线C：经过点，所以，渐近线方程为.故选：B.3.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若均为纯虚数，设且,则，所以“均为纯虚数”是是实数的充分条件，当，，所以“均为纯虚数”是是实数的不必要条件，综上所述：“均为纯虚数”是是实数的充分不必要条件.故选：A.4.已知随机变量，且，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为随机变量，且，则，可得，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.故选：B.5.羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是，第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是，第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是，由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为.故选：C.6.已知非零向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，为非零向量，所以，即因为，所以，则，即，即，由于，所以两边同除，可得：，解得：tanα=13或(所以.故选：D.7.已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设椭圆的方程为，所以，所以直线l的方程为，所以原点O到直线l的距离等于E的短轴长，即，得，又，所以，所以，故选:A.8.正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（）A. B. C.-1 D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得球心在，设与的交点为，于M，由题意可得，所以为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，所以，，设外接球的半径为,球心到平面的距离为,则，设的边长为，由正三角形的性质，所以，，,所以所以，所以，故当时，最大，此时.故选：D.二、选择题9.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A.若，，，则B.，，，则C.若，，，则D.若，，，则〖答案〗BCD〖解析〗A.若，，，不能推出或，则不能推出，故A错误；B.若，，则，又，所以，故B正确；C.若，，则，又，所以，故C正确；D.若，，，说明与和垂直的法向量互相垂直，则，故D正确.故选：BCD10.已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（）A.若2为的周期，则为奇函数B.若为奇函数，则2为的周期C.若4为的周期，则为偶函数D.若为偶函数，则4为的周期〖答案〗ABD〖解析〗对于A：若2是的周期，则，由，可得，所以，所以为奇函数；故A正确；对于B：若为奇函数，则，由，可得，所以2是的周期，故B正确；若4是的周期，则，由，可得，所以，所以为奇函数；故C不正确；对于D：若为偶函数，则，由，可得，所以，所以，所以4是的周期，故D正确.故选：ABD.11.在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（）A.， B.为定值C.的最小值50 D.的最大值为〖答案〗AC〖解析〗对于A，由题意知当E和B重合时，，此时取最小值，取到最大值1；当F和D重合时，，此时取最小值，取到最大值1，A正确；对于B，当E和B重合时，，；当分别位于的中点时，满足，此时，，由此可知不为定值，B错误；对于C，，由，得，即,即，即，设，，则，（为辅助角，），当时，取到最小值50，即的最小值50，C正确，对于D，当时，，则，故D错误，故选：AC.三、填空题12.已知圆O：，过点的直线l交圆O于A,B两点,且，则满足上述条件的一条直线l的方程为____________.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗由题意得圆心，半径，，故M点在圆O外，设点O到直线l的距离为d，由得，即，即，即，解得，设直线l的方程为，则或，所以直线l的方程为或.故〖答案〗：（或，〖答案〗不唯一）.13.设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c,若，，，则________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，，而由，得，因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，所以，解得或，当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，，故C为锐角，不符合题意；当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，，故B是钝角，符合题意，故〖答案〗为：14.如果函数在区间[a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为________；如果函数，且，，则实数________.〖答案〗41〖解析〗对于第一空：由题意在上单调递增，因为，所以，令，则，由对勾函数性质得当时，的单调递增区间为，所以，即实数的最小值为2，所以实数的最小值为4；对于第二空：函数可导，所以，由题意在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点，所以，解得或，经检验不满足题意，符合题意，所以.故〖答案〗为：4；1.四、解答题15.如图，直三棱柱的体积为1，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：直三棱柱的体积为：，则，四边形为正方形，法一：在直棱柱中，面，，又平面，则，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，在正方形中，有，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以．法二：直棱柱，平面，又，以为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以．（2）解：由（1）得，设，在中，过作于，连接，因为，，平面，且，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，，得，又在中，，得，，所以二面角的余弦值为．法二：，，，，，，，设平面的法向量：，则，取，得，，，设面的法向量，则，取，得，设二面角的大小为，则：，因为为锐角，所以二面角余弦值为．16.某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：借阅次数01234567合计男生人数2535512225女生人数4455321125合计人数69810833350若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．（1）请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？性别阅读合计一般爱好男生女生合计附：，．0.10.050.01k2.7063.8416.635（2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望．解：（1）列联表：性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系，根据列联表的数据，可以求得：，所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关．（2）随机变量服从超几何分布，可能取0，1，2，，，，则的分布列为：012所以，故抽取男生人数的数学期望为1．17.已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.（1）证明：因为函数的定义域为，当时，.要证，只需证：当时，.令，则，则在单调递增，所以，即.（2）解：，令，则.所以在单调递增，，①时，，.则在为增函数，在上无极值点，矛盾.②当时，.由（1）知，，，则，则使.当时，，，则在上单调递减；当时，，，则在上单调递增.因此，在区间上恰有一个极值点，所以的取值范围为.18.已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.（1）求C的方程；（2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；（3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.解：（1），设，则，所以得：，解得或（舍），所以抛物线C的方程为①.（2）设直线MN：②，，，联立①②，得.所以③，，④.，，则，.因为，即：，即：，则或，能满足③式.则MN：，或MN：，所以定点Q的坐标为（2，2）或（4，2）；（3）如MN过（4，2）点，当时，，但此时M，N重合，则|MN|无最小值，所以MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值.由（2），在④中，令得：，，.令，则，.当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，所以当时，有最小值，|MN|有最小值.19.如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.（1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；（2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；（3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.（1）解：第1行最后两数，第2行的最后两数.第m（）行的第m个数为，第个数为，猜测：，即证：，法一：因为，只要证明，该式显然成立，所以，所以每行最后两个