广东省佛山市七校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市七校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列几何体为棱柱的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体；根据棱柱的概念可得选项B为棱柱；根据棱台的定义知选项C为棱台；根据棱锥的概念知选项D为棱锥.故选：B.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因为，所以该复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.3.下列说法不正确的是（）A.正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形B.棱台的各侧棱延长线必交于一点C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形〖答案〗C〖解析〗对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确；对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误；对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确.故选：C.4.在中，内角A，B，C的对边分别为，且，若的周长为3，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗在已知条件中用正弦定理将角化边得到，而的周长为3，故，所以，得.故选：A.5.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为单位向量，满足，所以，化简得：，即或(舍去)，所以在上的投影向量为.故选：D.6.已知函数在上单调递增，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在上单调递增，又的最小正周期，则在处取得最小值，在处取得最大值，所以，即，又，所以.故选：D.7.已知函数的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为，与轴的一个交点的坐标为．设M，N为直线与的图象的两个相邻交点，且，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由图可知，的最小正周期，所以，即，而是图象的最高点，所以，从而，由于，故的横坐标一定位于的相邻两个零点之间，而，故到它们之间的对称轴的距离都是，而对称轴的横坐标一定满足，所以.故选：A.8.如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（）A.0 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗如图，连接，延长交于点，延长交于点，则由题意和图形的对称性，可知，且，由题意可知，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.互为共轭复数 B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为，又，所以互为共轭复数，故A正确；，故B正确；，所以，故C正确；由于虚数不能比较大小，故D错误.故选：ABC.10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.的最小正周期为C.在上单调递增 D.在上有6个零点〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，其定义域为，所以，所以函数为奇函数，故A正确；对于B，因为，所以B错误；对于C，令，该函数在上单调递增，且，又因为在上单调递增，由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，故C正确；对于D，令，所以在上单调递增，则，令，即，所以，又因为，，，所以，故有6个解，即函数在上有6个零点，故D正确.故选：ACD.11.如图，在梯形中，，分别为边上的动点，且，则（）A.的最小值为 B.的最小值为9C.的最大值为12 D.的最大值为18〖答案〗AC〖解析〗以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，其中，且，得，因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立.，当且仅当点或点与点重合时，等号成立，则，所以的最大值为12，最小值为.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．12.若，则__________.〖答案〗3〖解析〗由，得，显然，否则，矛盾，所以.故〖答案〗为：3.13.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为_____________．〖答案〗〖解析〗由于在轴上，在轴上，故在轴上，在轴上，且，，由于与轴垂直，而，结合知，所以，，这意味着.故〖答案〗为：.14.如图，测量队员在山脚处测得山顶仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米．〖答案〗〖解析〗过点作，垂足为，过作，垂足为，在直角中，，可得，在直角中，，可得：，直角中，，可得：，所以可得：，，即，所以，再由，再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以，即0故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，．（1）若，求；（2）若向量，，求与的夹角的余弦值．解：（1）由，，有，而，故，所以，解得，这表明，所以.（2）由，知，而，，故，解得，从而，所以.16.已知．（1）求和的值；（2）求的值．解：（1），故，则，，由可得；由可得，两式相加可得，故；.（2）由（1）知，，又，故，；.17.在中，角A，B，C的对边分别为已知．（1）证明：．（2）证明：．（3）若为锐角三角形，求的取值范围．解：（1）由余弦定理结合，可得，化简得：，证毕.（2）由(1)结合正弦定理可得：，即，即，即，因为，，故或(舍去)，则，证毕.（3）由(2)可得，因为为锐角三角形，可得，即，解得：，即有，所以，即的取值范围为.18.已知向量，，函数．（1）求图象的对称中心与对称轴；（2）当时，求的单调递增区间；（3）将的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在上恰有两个不相等的实根，求实数的取值范围．解：（1）由已知有，所以图象的对称中心的横坐标满足，对称轴的横坐标满足，从而，，所以图象的对称中心是，对称轴是.（2）若要单调递增，则，即，而，故或，所以在范围内的单调递增区间是和.（3）将的图象向左平移个单位长度后，得到，由于在上递增，在上递减，，，故原命题等价于，关于的方程在上恰有一根，且不是根，设，则由二次函数的性质知命题等价于或，此即或，即，所以的取值范围是.19.某镇为了拓展旅游业务，把一块形如的空地(如图所示)改造成一个旅游景点，其中.现拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.（1）当时，求防护网的总长度.（2）为节省