MPCK视角下的高中数学定理教学

MPCK视角下的高中数学定理教学

---------以正弦定理教学的再设计为例

作者：

施小斌/沈新权

作者简介：

施小斌（1981-）,男，浙江省台州市玉环中学高级教师,

主要从事高中数学课堂教学和解题研究；沈新权，浙江省

嘉兴市第一中学.

原发信息：

《中国数学教育：高中版》（沈阳）2015年第20156期第

11-15页

期刊名称：《高中数学教与学》

复印期号：20印年11期

一、MPCK理论

美国斯坦福大学教授、著名教育家舒尔曼在1986年提出了教师的专

业知识结构理论，其核心要素是学科教学内容知识（Pedagogical

ContentKnowledge）,简称PCK[1].香港中文大学黄毅英教授在此基础

上则把数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为MPCK

（MathematicsPedagogicalContentKnowledge）.MPCK是由数学

学科知识（MK）、T殳教学法知识（PK）、有关数学学习的知识

（CK）,以及教育技术知识（TK）融合而成的[2].MPCK的本质是教师如

何根据学习者的不同兴趣和能力来组织、表达和调整具体的课题、问题或

论点，以促进他们对数学学习内容的理解和掌握知识⑶.

说得简单一点，MPCK就是数学内容和教育学、心理学与学习论的有

关原理融合而成的与教学相关的综合性知识，是关于某一领域的数学教学

内容该如何进行表达、呈现和解释,从而转化成使学生更容易接受和理解

的知识.其核心就是如何将数学知识的学术形态转化为教育形态及学生的学

习形态，以促进学生的数学理解，提高学生的数学能力和提升学生的数学

素养⑷.MPCK理论是教师进行教学设计和课堂教学的基础，教师对教学

内容的理解和把握程度，运用教学方法的适当程度,以及课堂教学的效果

如何很大程度上取决于教师的MPCK.

二、MPCK视角下的定理教学

数学定理是由受逻辑限制证明为真的陈述.数学定理是数学基础知识的

主要内容，是进行数学推理的重要依据，也是解决数学问题以及培养学生

进行推理论证的重要工具，因此数学定理的教学在高中数学教学中有着十

分重要的地位.定理教学的成功与否不仅直接关系到学生对定理内容的理解

与掌握程度，也直接关系到学生运用定理解决数学问题的能力，更关系到

学生数学素养的养成与提高.在高中数学定理的教学设计中，教师可以运用

MPCK理论来呈现定理的背景，突出定理的核心内容，体现定理的本质，

以此来指导定理的教学，评估定理的教学过程和教学效果.

基于MPCK视角的高中数学定理教学，教师在进行教学设计时，应该

思考学生为什么要学习这个定理？学生将要学习的数学定理的背景是什

么？该定理的核心内容是什么？定理的作用是什么？学生在学习该定理时

可能存在哪些学习困惑？如何解决学生学习中的困惑？在教学中如何呈

现、组织和调整这些核心知识以及定理的应用？

三、正弦定理教学引入设计中存在的问题

在进行教学设计和课堂教学过程中，教师的数学学科知识（MK）、

一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）和教育技术知识

（TK）决定着教学设计的质量.若教师的MPCK中的某一方面有所不足，

就会影响到其所做的教学设计的科学性，很多时候甚至会影响到课堂教学

的效果.以正弦定理的引入为例，以往的关于正弦定理引入的教学设计中存

在着以下三个方面的常见问题.

1.测量产生不了正弦定理

在众多的关于正弦定理的教学设计里，不少设计都提到了“用量角

器、刻度尺、计算器，测量任意角三角形的三边与三角，然后计算比值猜

想结论

2.不恰当的教学情境产生不了正弦定理

有些教学设计用情境问题引出正弦定理.有教学设计使用如下情境.如

图1,船从港口B航行到港口C,测得BC的距离为600m,船在港口C

卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船

上有测角仪我们能否计算出点A,点B之间的距离？

教师希望通过将此问题抽象为已知三角形中的两角及其夹边，求另一

边的解三角形问题，从而引入正弦定理.先不要说学生是否知道测角仪长什

么样？有什么用？就算从问题解决的角度来说，不用正弦定理通过作直角

三角形也能解决此问题.情境问题只是数学来源于生活，来源于实际的一个

铺垫，因此，这样的引入不够自然，有点牵强附会.其实在数学史上，正弦

定理的发现是源于阿拉伯数学家阿尔•巴塔尼在进行球面三角研究过程中，

利用平面三角的知识来证明球面余弦定理所产生的问题，后来他将问题转

化为在直角三角形内来求解，但当时阿尔•巴塔尼并不知道平面三角形的正

弦定理.后来德国数学家雷格蒙塔努斯在1464年出版的著作《论各种三角

形》中才对正弦定理的内容十分清晰地加以表达.换句话说，正弦定理的发

现其实就是从直角三角形中得来的，上述的教学情境与正弦定理的产生并

没有本质上的联系.

3.空降的开头不能引起学生探究正弦定理的兴趣

四、运用MPCK理论进行正弦定理的教学再设计

1.认识正弦定理的地位与作用

正弦定理是初中"三角形的边角关系"以及"解直角三角形"内容的

直接延续，也是三角函数知识在三角形中的具体运用，同时更是解可转化

为三角形计算的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具.正弦定理

教学的第一节课的主要任务是引入并证明正弦定理，做好MPCK视角下的

"正弦定理”的教学设计，不仅要复习与正弦定理相关的一系列旧知识，

使学生在学习正弦定理的过程中逐步体会联系及发展等辩证观点，而且要

培养学生的应用意识与探究能力，以及提出问题和解决问题的能力.

2.运用MPCK理论进行正弦定理教学再设计的几个基本环节

环节1:回忆三角形的边角关系.

(1)回顾一下初中学过的三角形中的边角关系.

(2)如图2,RfABC的三边长为a,b,c,三个角为NA,ZB,Z

C,其中NC=90。，试写出此直角三角形的边角关系.

【设计意图】回忆旧知识，启发学生思考学习三角形边角关系时的着

眼点把学生头脑中已有的"大边对大角、小边对小角"和"直角三角形中

的边角关系"知识作为新知识的生长点.

环节2:初步感受求解三角形边角关系的问题.

(1)在&ABC中，如果BC=12,zA=30°,zB=45°,如何求AC的

长度？

(2)在SBC中，如果BC=12,zA=120°,zB=45°,如何求AC

的长度？

【设计意图】如何找三角形的边角关系？直接由直角三角形的边角关

系去猜想正弦定理有点牵强附会.我们通过两个问题，从具体的解三角形的

问题出发，启发学生借助直角三角形去探求AC的长度.对这两个问题，一

开始，学生可能会感到有点陌生，但结合环节.1,可以引发学生的认知冲

突，激起学生的求解欲望，为进一步探究正弦定理做好思想准备.

环节3:由特殊到一般，通过归纳、猜想得到并证明正弦定理.

(1)RfABC的三边长为a,b,c,三个角为NA,zB,zC,其中n

C=90°,能否建立边长a,b与NA,zB之间的某种等量关系？如果把Rt

△ABC改为任意AABC,是否有类似的结论？

(2)设SBC的三边长为a,b,c,三个角为NA,zB,zC,我们

能不能建立a,b,c与NA,ZB,ZC之间的某种关系？

【设计意图】从特殊的三角形开始探索，体现了由特殊到一般的数学

思想方法，这也能重现数学史上正弦定理发现与提出的轨迹.有了环节2的

两个问题的解决方法，完成环节3的第二个问题则是水到渠成的事

情.MPCK视角下的正弦定理的教学设计，切忌将结论直截了当地告诉学

生.

环节4:利用正弦定理再回头解决环节2中的两个问题.

【设计意图】利用得到的正弦定理，对于环节2的两个问题可以直接

求出AC的长，省去了添加辅助线的过程，让学生感受到正弦定理的简洁

性，可以突出正弦定理在解决三角形边角关系问题时的应用价值.

环节5:对正弦定理的进一步理解.

(1)从上面的讨论中，我们发现在AABC中，I____柜一个确定的比

值，那么这个比值有什么几何意义吗？

(2)在RtMBC中，边和其所对角的正弦值之比的几何意义是斜边

c.猜想，在一般的三角形中，边与其所对角的正弦值之比是否也等于某一

固定的值，并且也具有某种几何意义呢？这个固定的比值k是由△ABC中

的什么元素唯一确定呢？

(3)当AABC的一条边及其对角的大小确定时，这个三角形是不是

唯一确定的呢？

在这个问题的思考过程中，展示利用几何画板软件制作的课件，当△

ABC的一条边BC的大小和位置固定，BC所对的NA的大小也不变，此时

△ABC是不是会发生变化？点A的运动轨迹是什么？

(4)结合三角形的外接圆思考,在中，k等于什么?

【设计意图】为了帮助学生进一步理解正弦定理，在教学中，我们除

了有必要对正弦定理的不同形式(例如，I—I)等进行呈现以外，还应该

帮助学生理解正弦定理的本质.因此，在对正弦定理进行教学再设计时，我

们设计了上面的一系列问题，帮助学生发现正弦定理中的R.

环节6:小结以及启发学生由正弦定理可以解决什么样的解三角形问

题.

学生通过自己的努力，发现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形

中任意两边与其对角的关系，大家思考一下，正弦定理能够解决哪些问

题？

【设计意图】通过恰当的提问，将学生再次引入到探究之中，学生对

已有的数学知识进行重新发现创造和重新构建，自觉运用学到的研究方法

及结论解决具体的解三角形问题，指导学生学会发现问题和解决问题的方

法.

3.运用MPCK理论分析正弦定理教学的再设计

从MK的角度分析，教师应具备深厚且系统的数学学科知识，能够熟

悉所教的数学定理的背景和核心内容，以及与其他一些相关定理之间的联

系，并且熟练掌握用所教的定理可以解决和如何解决哪些数学问题或者实

际问题等，这是把定理的学术形态转化为教育形态的前提，也是教好数学

定理的必要条件.因此，站在MK的角度，教师在进行正弦定理的教学前，

首先应该要思考并在教学中渗透这样的问题：为什么要解斜三角形？解斜

三角形必须要用正弦定理和余弦定理吗？正弦定理和余弦定理是怎样发现

的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答

而学生又确实关心的问题.通过这些问题帮助学生理解正弦定理的内涵和外

延，为讲深及讲透正弦定理做好铺垫与准备.环节1中的两个问题涉及边边

关系、角角关系和边角关系，是学生已有的关于三角形边角关系的知识基

础，正弦定理正是"大边对大角，小边对小角”这一结论的定量化描述，

也是RtMBC中，I_b—结论的直接推广.通过这两个问题，首先激活

学生关于三角形边角关系的知识回忆，同时也为把RtMBC中___国一

结论进行推广埋下伏笔.在环节3中，借用环节2的两个问题引起学生对

类似的三角形中的边角问题的思考：既然以上两题的解决过程都转化为直

角三角形，那么我们很自然地将问题的重心回归到研究特殊的三角形，即

由RfABC中的边角关系，通过归纳猜想，得出厂的结论，最后将结

论推广到一般的三角形，因为有了环节2的铺垫，结论的证明就非常简单

T.

从PK的角度分析，教师应结合学生的认知特点，选择恰当的教学方

法实施教学，以适当、生动的方式，通过教学把数学定理的内涵和思想准

确地传达给学生.正弦定理的教学再设计中，环节3意在启发学生尝试证明

根据归纳和猜想所得到的正弦定理.环节5则是再次尝试从不同途径证明正

弦定理，并启发学生寻找正弦定理中的比值与其外接圆的半径R的关系,

从而加深学生对正弦定理的进一步理解.借助环节4,可以引导学生对正弦

定理进行理性思考，体会正弦定理的魅力.通过环节2，借助数学问题或者

实际问题引起学生的认知冲突，并引导学生探究问题解决中的认知冲突所

需要的数学"武器"（定理）.把环节2的这两个问题解决以后，教师再度

启发学生：这两个问题的共同点是什么？对于一般的AABC,设其三边长

分别为a,b,c,如果知道其一条边长及两个内角的大小，如何求这个三

角形的其他的边长？由此引导学生渴望得到三角形的边角关系的一个统一

的结论，初步得出定理的雏形.环节6也是对正弦定理的进一步探究，引导

学生加深理解正弦定理所反映的三角形中的边角关系以及用正弦定理可以

解决哪些问题.

从CK的角度分析，教师要尽可能多地深入了解学生，除了要了解学

生对与定理相关的数学知识的知识基础的掌握情况外，还要关注学生的心

理特征和学习差异，预测学生在学习定理时可能遇到的知识和思维障碍.因

此，正弦定理的再设计应立足于学生的知识基础和思维起点，我们根据学

生的知识基础并借助特殊情形，在环节1和环节2中，通过教师的引导，

学生的自主探索，初步提炼出了正弦定理的本质属性，实现由表象过渡到

定理，逐步完成定理的构建.在这个过程中，学生成为了正弦定理的发现者

和创造者.统揽正弦定理的教学再设计，我们可以看到正弦定理的教学不只

是在传授知识和技能上下工夫，更重要的是在此过程中，培养了学生观察

和分析、归纳和猜想、特殊和一般等思维能力.

从TK的角度分析，教师要根据所教的定理内容，合理运用现代教育

技术，辅助定理的教学.因此，在再设计时，通过环节5,我们借助几何画

板软件展示当AABC的一条边BC的大小和位