6-线性代数及其应用

矩阵的概念及运算6.1矩阵的初等变换6.2

目录第六章线性代数及其应用

6.3线性方程组

6.4

应用与实践6.1矩阵的概念及运算一、矩阵的概念6.1矩阵的概念及运算6.1矩阵的概念及运算一、矩阵的概念6.1矩阵的概念及运算一、矩阵的概念

（2）主对角线以外的元素全是零的方阵称为对角矩阵，常用字母表示.

【思考】这几种特殊方阵的形式是怎样的？请将其表示出来．

（3）主对角线上的元素都是1，其余元素都是零的矩阵，称为单位矩阵.6.1矩阵的概念及运算

【定义2】

如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们为同型矩阵．如果矩阵为同型矩阵，且对应元素均相等，即

A=,B=,且则称矩阵A与矩阵B相等，记作

A=B一、矩阵的概念二、矩阵的线性运算6.1矩阵的概念及运算

【引例2】

有甲、乙两个股民购买三支相同的股票．2007年第一、二季度的盈利（单位：万元）分别由矩阵和矩阵给定：

问上半年甲、乙股民的三支股票各获利多少万元？

这个获利应该是将矩阵A和矩阵B中对应的元素相加得到的矩阵。

问上半年甲、乙股民的三支股票各获利多少万元？这个获利应该是将矩阵A和矩阵B中对应的元素相加得到的矩阵，即6.1矩阵的概念及运算(续前)

【引例3】现将甲、乙两地的产品运销到三个不同的地区。已知甲、乙两地到三个销地的距离由下表给出：

若每吨货物的运费为2.4元/公里，那么甲、乙两地到三个销地之间每吨货物的运费为=6.1矩阵的概念及运算二、矩阵的线性运算【思考】两个矩阵满足什么条件才能相加？【定义3】设矩阵,则称矩阵为矩阵A与B的和矩阵，记为A+B,即6.1矩阵的概念及运算二、矩阵的线性运算6.1矩阵的概念及运算=当时，称

称为矩阵A的负矩阵，记作

．6.1矩阵的概念及运算

，用数K乘以矩阵A的所有元素,称为A的数乘矩阵，记作，即得到矩阵【定义4】设矩阵显然有,那么矩阵的减法运算可定义为

矩阵的加法和数乘两种运算统称为矩阵的线性运算，它满足以下运算规律:（1）（2）（3）6.1矩阵的概念及运算二、矩阵的线性运算设A,B,C都是同型矩阵，是常数，则【例1】设A=，B=，试求解：由定义可得6.1矩阵的概念及运算三、矩阵的乘法运算

【引例4】假设学生数学成绩的评定为：平时成绩占40%，期末考试成绩占60%．甲、乙、丙三位同学的成绩可用矩阵表示，记，则三位同学的数学成绩为甲：；乙：；丙：．6.1矩阵的概念及运算这三位同学的数学成绩可用一个矩阵表示为【定义5】设矩阵则称矩阵

为矩阵A与矩阵B的乘积矩阵，记作AB，即其中6.1矩阵的概念及运算三、矩阵的乘法运算

（3）矩阵AB的元素等于矩阵A的第

行元素与矩阵B

的第列对应元素乘积的和.【思考】两个矩阵满足什么条件才能进行乘法运算？矩阵的乘法满足下列运算规律：（1）结合律（2）分配律；（3）数乘结合律（K是常数）．6.1矩阵的概念及运算

【注意】（1）只有当左边矩阵的A列数等于右边矩阵B的行数时，两个矩阵才能进行乘法运算；

（2）乘积矩阵AB的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵的B列数；

【例2】设某厂生产甲、乙、丙3种产品，其中第一季度和第二季度的产量用矩阵A表示，其单位成本和销售单价用矩阵B表示，且求两个季度的成本总额和销售总额．6.1矩阵的概念及运算

【例2】解：根据矩阵的乘法运算，得

即第一季度的成本总额和销售总额分别为31,72；第二季度的成本总额和销售总额分别为43,101．6.1矩阵的概念及运算【例3】设，求解无意义6.1矩阵的概念及运算四.矩阵的转置运算

【定义6】

把矩阵A的行换成相应的列得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作，即若,则若A是

矩阵，则就是矩阵．矩阵的转置运算满足以下运算规律：（1）(2)(3)(4)（K为常数）6.1矩阵的概念及运算6.2矩阵的初等变换（3）倍加变换：将矩阵的某一行所有元素的倍加到另一行的对应元素上（第行乘数加到第行，记为

）.一、矩阵的初等变换【定义1】矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

（1）互换变换：交换矩阵中任意两行的位置（交换

两行，记作）；

（2）倍乘变换：用非零数乘以矩阵的某一行的所有元素（第行乘数，记作

）；

6.2矩阵的初等变换

【定义4】满足以下条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵：（1）各非零行的首非零元都是1，（2）所有非零行的第一个非零元所在列的其余元素都是零．一、矩阵的初等变换

【定义2】若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B（记作A→B），则称矩阵A与B等价，记作A～B.

【定义3】满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵：

(1)矩阵的零行（若存在的话）在矩阵最下方，

(2)各个非零行的首非零元素的列标随着行标的增大而严格增大．6.2矩阵的初等变换【例1】

将矩阵化为简化阶梯矩阵．解

【定理1】

任意一个矩阵经过有限次的初等行变换必可化为阶梯形矩阵，且进一步可化为简化阶梯形矩阵．一、矩阵的初等变换

6.2矩阵的初等变换二、矩阵的秩

【定义5】

经过有限次的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，该阶梯形矩阵中非零行的行数称为矩阵的秩，记为秩

或.

【定义6】对于

阶方阵

，如果

，则称为满秩矩阵．6.2矩阵的初等变换三、逆矩阵

【定义9】

阶可逆矩阵

经过一系列的初等行变换，必可化成

阶单位矩阵

；同时对

阶单位矩阵

作同样的初等变换，所得到的矩阵就是

的逆矩阵

.【定义8】矩阵可逆的充要条件是矩阵为满秩矩阵。

【定义7】对于

阶方阵

，如果存在

阶方阵

,使，则称矩阵

可逆，并称矩阵

为的逆矩阵

（简称逆阵）,记作

，即

.

如果矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．这是因为：设B、C都是A的逆矩阵，则有6.2矩阵的初等变换三、逆矩阵用初等行变换求逆矩阵的步骤：（1）构造矩阵矩阵。（2）对矩阵进行初等行变换，当它的左半部分矩阵化成单位矩阵时，右半部分的单位矩阵就化成了，即6.2矩阵的初等变换三、逆矩阵，【例2

】用初等行变换的方法判断下列方阵是否可逆？若可逆，求其逆矩阵．

解

6.2矩阵的初等变换，所以的逆矩阵为（例2

续）6.2矩阵的初等变换左边的矩阵中最后一行元素全部为零，故不是满秩矩阵。所以不可逆，即不存在．（例2

续）【思考】上例中，矩阵、的秩和分别是少？四、求解矩阵方程

6.2矩阵的初等变换线性方程组可化为方程事实上，如果可逆，则存在．用左乘上式两端，

【思考】矩阵方程的解矩阵可以表示成怎样的形式？得到矩阵方程的解6.2矩阵的初等变换四、求解矩阵方程 【例3】求解矩阵方程解记，它的解为则已知的矩阵方程可写成6.2矩阵的初等变换可求得的逆矩阵为于是矩阵方程的解为（例3续）【定义1】设含有n个未知数m个方程的线性方程组为：

一、线性方程组的消元法1.线性方程组的有关概念（1）

6.3线性方程组则分别称为线性方程组的系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵．线性方程组（1）写成矩阵方程的形式矩阵：

称为线性方程组的增广矩阵．6.3线性方程组

(举具体的实例说明)（1）

在方程组（1）中，当右端常数项不全为零时，称方程组（1）为非齐次线性方程组；当右端常数项时，方程组（1）为（2）称方程组（2）为齐次线性方程组．6.3线性方程组

一、线性方程组的消元法利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法叫高斯(Gauss)消元法．方程组的三种同解变换：（3）将一个方程的倍加到另一个方程．（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零常数乘以某一个方程；6.3线性方程组

一、线性方程组的消元法2.高斯消元法先求解方程组方程组的消元过程与增广矩阵的初等行变换过程对照如下：方程组的消元过程增广矩阵的初等行变换得到方程组的解化为行简化阶梯形矩阵6.3线性方程组6.3线性方程组【例1】已知总成本是产量的二次函数。根据统计资料，产量与总成本之间有如下表所示的数据．试求总成本函数中的．某厂某阶段产量和总成本统计表数据

时间资料第一期第二期第三期产量（千台）总成本

（万元）10410616020370解将已知数据，，代入二次函数模型中，得方程组对上方程组的增广矩阵进行初等变换，可得6.3线性方程组故由最后一个矩阵知，原方程组的解为所以总成本函数为6.3线性方程组

【例2】解线性方程组解对增广矩阵施以初等行变换6.3线性方程组由最后一个矩阵知，原方程组的同解方程组为改写成自由取值的变量称为自由变量．若令，方程组的解为其中为任意选取的常数．它是方程组的一般解．试指出方程组的一组解？6.3线性方程组【例3】解下列线性方程组

解方程组的增广矩阵为经初等行变换

可化为6.3线性方程组

由最后一个矩阵知，原方程组的同解方程组为用高斯消元法解线性方程组的具体步骤：（1）写出增广矩阵，用初等行变换将化成阶梯形矩阵；（2）根据阶梯形矩阵，判断方程组是否有解；（3）在有解的情况下，写出阶梯形矩阵的同解方程，并用回代的方法求解．或继续将化成行简化阶梯形矩阵后，直接写出方程组的解．第三个方程矛盾，故此方程无解6.3线性方程组（1）线性方程组（1）有唯一解的充要条件是：（2）线性方程组（1）有无穷多解的充要条件是;（3）线性方程组（1）无解的充要条件是：.齐次线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩总是相等的，所以它是永远有解的．永远是它的解，称为零解．6.3线性方程组二、线性方程组解的情况判定

【定理1】（线性方程组解的判定定理）设

分别是线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵，则1.非齐次线性方程组解的情况判定【例4】判定下列线性方程组是否有解？若有解，说明解的个数．（1）（2）（3）6.3线性方程组二、线性方程组解的情况判定

（1）因为，，所以方程组无解．（2）因为，即，所以方程组有唯一解．6.3线性方程组【例4】解（3）因为

即

,所以方程组有无穷多解．6.3线性方程组【例4】解

【推论1】设A是齐次线性方程组（2）的系数矩阵，则（1）齐次线性方程组（2）只有零解的充要条件是：（2）齐次线性方程组（2）有非零解的充要条件是：6.3线性方程组二、线性方程组解的情况判定

【例5】当为何值时，线性方方程组有解？

解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵．由上面最后一个矩阵，可知当

时，

，方程组有解；当

时，

，方程组无解．6.3线性方程组【例6】

讨论当、为何值时，线性方程组有唯一解？无穷多解？无解？解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵．6.3线性方程组（1）当时，，方程组有唯一解；（2）当

时，，方程组有无穷多解;（3）当时，，方程组无解．6.3线性方程组【例6】续解根据最后一个矩阵可得【例7】试讨论方程组是否有非零解，如果有解，求其解．解对齐次方程组的系数矩阵施以初等变换，使其化为阶梯形矩阵．6.3线性方程组由于，即，所以方程组有非零解．继续对上面的矩阵施以初等变换，可得:由最后一个矩阵可知，原方程组的同解方程组为．取，则原方程组的解为6.3线性方程组(续前）齐次方程组的系数矩阵已化为一、齐王赛马策略模型6.4应用与实践

【案例1】对策论是研究社会现象的一种特定数学方法．我国古代“齐王赛马”的故事，就是一个对策问题，故事是说战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次，每次比赛的败者付给胜者一千金．已知在同一等级的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马．齐王和田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列6种策略（方案）之一：（上、中、下）（中、上、下）（下、中、上）（上、下、中）（中、下、上）（下、上、中）．6.4应用与实践若将这6种策略依次从1到6编号，齐王赢一千金用1表示，则经计算可写出齐王赛马策略模型（即齐王的收益矩阵）：

．=。．

例如，这里表示,齐王采用策略3（即以下、中、上顺序出马），而田忌采用策略2（即以中、上、下顺序出马），则比赛结束时齐王的净赢得数为-1000金．由齐王赛马策略模型可看出，在齐王与田忌的36种对阵的情况中，田忌只有6种情况可以取胜。二、资源分配模型6.4应用与实践

【案例2】

甲、乙、丙是经营领域不同的三家公司，为了规避市场风险，他们决定交叉持股，约定按比例分红，持股比例如下表所示．某年度三家公司的经营利润分别为120万元、100万元、80万元，如果公司的总利润由经营利润与投资利润组成，试分别确定这三家公司的总利润与实际利润.各公司持股比例表数据名称比例甲公司乙公司丙公司甲公司持股比例%502520乙公司持股比例%304510丙公司持股比例%2030706.4应用与实践

【案例2】解设甲、乙、丙三家公司的总利润分别为x、y、z万元，则由已知可得：甲公司的总利润=甲公司的经营利润+甲公司投资利润=120+（0.25y+0.2z）万元；乙公司的总利润=乙公司的经营利润+乙公司投资利润=100+（0.3x+0.1z）万元；丙公司的总利润=丙公司的经营利润+丙公司投资利润=80+（0.2x+0.3y）万元．经整理，得到方程组（即资源分配模型）：6.4应用与实践通过高斯消元法，可得方程组的唯一解：≈198.8，≈176.9，≈172.8．所以，这三家公司的总利润分别为198.8、176.9、172.8万元。归属于公司本身的实际利润与它们的持股比例有关，所以，三家公司的实际利润为：甲公司的实际利润=198.8×50%=99.4（万元）．乙公司的实际利润=176.9×45%=79.6（万元）．丙公司的实际利润=172.8×70%=121.0（万元）．注意到三家公司的经营利润之和为：120+100+80=300（万元）．经过再分配后，各公司所