4.2.1 指数函数的概念-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第第页4.2.1指数函数的概念（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：指数函数的概念1.下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.A．1 B．2C．3 D．0【答案】D【解析】(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.2.已知函数f(x)为指数函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.【答案】eq\f(1,9)【解析】设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得a－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).]3．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)【解析】由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．题型二：指数函数的图象的应用4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0【答案】D【解析】由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.5.函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．【答案】(3,4)【解析】令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．6．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.[解](1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．题型三：指数函数的定义域、值域问题7．函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定义域是________．【答案】[0，＋∞)【解析】由1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥0得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，∴x≥0，∴函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定义域为[0，＋∞)．8.求下列函数的定义域和值域：(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.[解](1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝eq\r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以eq\r(1－3x)∈[0,1)，即函数y＝eq\r(1－3x)的值域为[0,1)．(2)定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16]．(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．【能力提升】一、单选题1.已知函数，则存在，对任意的有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】考虑到二次函数的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选项的正确与否.【详解】对于A,当时，有，故A错误；对于B，为四次函数，为指数函数，且是单调递增，当x取很大的实数时，不存在，使得，故B错误；对于C，要使，必须满足，也即恒有，当时，就有，说明C错误；对于D，，即，此时，若，则，那么对任意的，恒成立，故D正确；故选：D.2．设函数对任意的，都有，，且当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由和可得函数的周期，再利用周期可得答案.【详解】由得，所以，即，所以的周期为4，，由得，所以.故选：A.二、填空题3．定义在上的偶函数满足，且时，，则__________.【答案】2019【分析】先判断函数的周期性，再利用周期性改变自变量的大小，将自变量转化到已知对应关系的区间上，代相应的解析式即可【详解】根据题意，函数满足则,则函数是周期为的周期函数，又由时,，则则，故答案为:三、解答题4．已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由奇偶性和，取x=1可得；（2）取，利用，代入解析式结合奇偶性可解.(1)满足，，.(2)由题意知，.当时，.由是奇函数，，综上，在上，5．已知指数函数过点，函数.(1)求，的值；(2)判断函数在上的奇偶性，并给出证明；(3)已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并解不等式.【答案】(1)；(2)为偶函数，证明见解析；(3)增区间为，减区间为；不等式解集为.【分析】（1）由指数函数过点求参数a，即可得的解析式，进而求，的值；（2）利用奇偶性定义判断的奇偶性；（3）由题设及（1）（2）结论即可判断的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解集.(1)由题设，，则，所以，.(2)，，定义域关于原点对称.又，故为偶函数；(3)由且，在上单调，所以为单调增区间，而为偶函数，则单调减区间为由可得：，即，解得.6．如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．（1）求的解析式；（2）比较与的大小；（3）已知，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】试题分析：（1）将分别代入，，求得，所以；（2）因为，所以，即；（3）由题意，根据定义域和单调性，有解得.试题解析：（1）由题意得解得∴（2）因为，所以，即．（3）由题意，所以解得，所以的取值范围是．考点：函数的单调性.7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．【答案】(1)a＝，b＝－3(2)a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为．(3)或【分析】（1）代入点的坐标列出方程求解即可；（2）根据图象可知函数为减函数确定的取值范围，再由可求的取值范围；（3）作出的图象，数形结合求解即可.(1)因为的图象过点，所以解得a＝，b＝－3.(2)由为减函数可知a的取值范围为(0，1)，因为，即，所以b的取值范围为．(3)由题中图①可知的图象如图，由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或.8.设函数，且，函数．（1）求的解析式；（2）若方程－b=0在[－2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．【答案】（1），（2）【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a的值即可，（2）对于同时含有的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵，且∴∵∴（2）法一：方程为令，则-且方程为在有两个不同的解．设，两函数图象在内有两个交点由图知时