浙江省杭州2022-2023学年高一年级上册期末数学试题(学生版+解析)

杭州二中2022学年第一学期高一年级期末数学试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1已知集合—兀—』，则"cN=（）

A.[—2,0]B.[―2,e）C.[―2,e]D.[e,3]

JI兀

2.已知0<a<e，0</?<—,则”是"sin2a=sin2尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.AABC中，角A3的对边分别为且A=。，a=E，6=4,那么满足条件的三角形的个数有

（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

4.已知曲线。：y=sin，x+/j,C2:j=sinx,则下面结论正确是（）

jr

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移g个单位长度，得到

曲线Ci

2兀

B.把。2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移苛个单位长度，得到

曲线G

1JT

C.把。2上各点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到

曲线

D.把。2上各点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移T个单位长度，得到

曲线G

5.用二分法判断方程2d+3%—3=0在区间（0,1）内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：0.753=0.421875，

0.6253=0.24414)()

A.0.825B.0.635C.0.375D.0.25

x~2,xe(一8,0)

6.已知函数〃x)=ln/x£(0,l),若函数g(%)=/(%)—根恰有两个零点，则实数加不可熊是()

-X2,X€[1,+8)

A.-1B.-10D.-2

7.已知sina+cosa=sinacosa=m,则加的值为()

A.1+72B.1-y/2C.1±72D.不存在

8.已知a=log2023-log2022,b=l-cosC=贝1()

222022

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.在直角坐标系xQy中，角a的顶点与原点。重合，始边与无轴的非负半轴重合，终边经过点？（x,-2）,

且tana=2,贝U()

A.x=-lB.sintz=--C.cos«=—D.tan—<0

552

10.下列说法正确的是（）

711

A.若XW左〃■H——(左£Z),贝(Jcosx-\--------->2

2cosx

B.若则f+V>孙恒成立

若正数a,b满足。+/?二次?一8,则有最小值

D.若实数X,y满足/+siny=l,则x—siny没有最大值

11.设函数/0）=丁-法+。，x^[-a,a],ceZ,若了⑺的最大值为/,最小值为m,那么M和m的

值可能分别为（）

A.3与1B.4与一3C.8与2D.6与1

2兀5兀

已知函数/（x）=sin（公r+0）（0>O）,且广⑺在区间

12.T'T上单调递减，则下列结论正确的有

)

TT

A./（X）的最小正周期是一

3

BTdg]+dm]=。，则”+]=。

c.若恒成立，则满足条件的。有且仅有1个

jr22

D.若夕=—：,则。的取值范围是[1,2]4,—

6L5_

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数y(x)”吗(1-x)+2,x<2,则〃〃_2))=____.

29JC22

14.一艘轮船按照北偏东40。方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20。方向

上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为2M海里，则灯塔与轮船原来的距离为海里.

log/,0<%<2

15.已知函数/'(%)=q1.若函数/⑺存在最大值，则实数a的取值范围是.

16.已知且tanxtany+tanxsiny-sinxWl,则Y-2(y-iy的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在4ABe中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,>(/?+c)(sinB+sinC)=asinA+3&sinC.

(1)求角A的大小；

(2)若。=G，且.ABC的面积为6，求的周长.

兀7L/S

18.已知0<。<一，——</?<0,tana=7,sin(3=---.

225

⑴求cos(a-尸)的值；

(2)求tan((z-2，)的值，并确定。一2夕的大小.

n

19.已知函数/'(x)=2sir?x~~+cos2x.

⑴求函数人%)的最小正周期和单调递增区间;

冗

(2)当OKxW—时,求了⑺的值域.

2

20.为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草(如图).

已知道路48长为4km,四边形的另外两个顶点C,。设计在以为直径的半圆。上.记

ZCOB=a[o<a<^

(1)为了观赏效果，需要保证=若薰衣草种植面积不能少于(3+百)kn?,则a应设计在什

么范围内？

⑵若8C=AD,求当a为何值时，四边形ABCD的周长最大，并求出此最大值.

1V—1

21.已知函数〃x)=--一+二」，其中a为常数，且a>l.

⑴若/(尤)是奇函数，求a的值；

(2)证明：/⑺在(0,+co)上有唯一的零点;

⑶设了(龙)在(。,+°°)上的零点为七,证明：x—l>log|2—

0flIa

22已知函数/(x)满足：对Vx^R,都有/(尤+3)=-；/(%),且当xw[0,3]时，/(%)=-犬2一x+加.函数

xx

g(x)=log3(5-4).

⑴求实数加值;

⑵已知/1(%)=-炉+加一万+3,其中无是否存在实数力,使得g(/z(%))>/(/i(x))恒成立？若存

在，求出实数4的取值范围；若不存在，请说明理由.

杭州二中2022学年第一学期高一年级期末数学试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间

120分钟

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.己知集合II>,IIJ,则VcN=（）

A.[—2,0]B.[―2,e）C.[―2,e]D,[e,3]

【答案】D

【解析】

【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N,根据交集运算求解即可.

【详解】因为N={x|lnx»l}={x|x»e},M=|x|-2<x<31,

所以McN=[e,3],

故选：D

TTIT

2.已知0<a<万，Q</3<—,则“a=P”是“sin2a=sin2夕，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

分析】

利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.

JTTT

【详解】依题意0<[<万，0</?<-,若a=0,则2a=2尸，故sin2a=sin2〃，

即“。=/7"可推出“sin2a=sin2〃”；

若sin2a=sin2〃，结合0<2a<»,。<2,〈万，则有2a=24，或者2。+2，=万,

故tz=，或々+6=£,即“sin2（z=sin2夕”推不出“a=夕.

故"。=夕是"sinla=sin2尸”的充分不必要条件.

故选：A.

3.ABC中，角A3的对边分别为6,且A=。，a=JI?，b=4,那么满足条件的

三角形的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】C

【解析】

【分析】利用余弦定理求出c的值即可求解.

【详解】因为在A5C中，A*,a=J1W，6=4,由余弦定理可得：

a2—b2+c2-2bccosA,所以14=16+c?-4c,也即。2-4。+2=0，

解得：c=2±&，所以满足条件的三角形的个数有2个，

故选：C.

4.已知曲线a：y=sin12x+gj,C2:y=sinx,则下面结论正确的是（）

TT

A.把。2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移]个单

位长度，得到曲线C1

B.把。2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移苛个

单位长度，得到曲线C1

C.把。2上各点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移T个单

位长度，得到曲线G

一12兀

D.把。2上各点的横坐标缩短到原来的!倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移一个

N3

单位长度，得到曲线G

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解.

【详解】已知曲线C2：V=sinx,把曲线。2上各点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不

变，得到曲线丁=5山2%,

再把曲线y=sin2x向左平移3■个单位长度，得到曲线y=sin2[x+1]=sin[2x+g],

即曲线

故选：c.

5.用二分法判断方程2d+3x—3=0在区间(0」)内的根(精确度025)可以是(参考数据:

0.753=0.421875,0.6253=0.24414)()

A.0.825B.0.635C.0.375D.0.25

【答案】B

【解析】

【分析】设/(X)=2;?+3X-3,由题意可得/(x)是R上连续函数，由此根据函数零点的

判定定理求得函数人无)的零点所在的区间.

【详解】设/(x)=2/+3x—3,

7(0)=-3<0,/⑴=2+3—3=2>0,

/(0.5)=2x05+3x0.5-3<0,

.•/尤)在(0,0.5)内有零点，

,"(0.75)=2x0.753+3x0.75-3>0

・・・/⑺在(0.5,0.75)内有零点,

方程2丁+3%-3=0根可以是0.635.

故选：B.

x-2,xe(-oo,0)

6.己知函数〃x)=<lnx,xe(O/)，若函数g(x)=/(%)-1恰有两个零点，则实数m

-X2,xe[1,+oo)

不可熊是()

A.-1B.-10C.1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】依题意画出函数图像，函数g(%)=/(x)-机的零点，转化为函数y=/(x)与函数

>的交点，数形结合即可求出参数加的取值范围；

一,xe(-oo,0)

【详解】因为/(x)=<lnx,xe(O,l),画出函数/(%)的图像如下所示,

-x2,xe[l,+oo)

函数g(x)=f(x)-m的有两个零点，

即方程g(x)=7'(x)-m=。有两个实数根，

即/(尤)=加有两个实数根，

即函数V=与函数>=机有两个交点,

由函数图像可得771W-1，

所以加不能为1,

故选：C.

7.E^Dsintz+costz=sintzcostz=7”，则加的值为()

A.1+72B.1-^/2C.1+72D.不存在

【答案】B

【解析】

【分析】由(sina+cos。)？=i+2sinacosa,代入已知条件解方程即可.

【详解】(sintz+costz)~=sin2a+cos2tz+2sinacostz=l+2sinacosa,

由sin(z+cos(z=sintzcosa=7〃，则：/=l+2〃z，解得加=1?J5，

由三角函数的值域可知，sincr+cosa=1+&不成立，故根=1—

故选：B

8.已知。=log。2。23Tog,2022,Z?=l-cos^—,c=—5—,贝lj()

--20232022

A.b>a>cB.ob>aC.b>c>aD.

a>ob

【答案】D

【解析】

2023

【分析】比较。、C,等价成比较/(x)=log2x,g(x)=x-l,在_¥=示应•时的大小，结

合函数的单调性，由数形结合即可判断;

比较反c,构造单位圆A如图所示，?BAC5。，4。于口，则比较从C转化

2023

于比较CD、的长度即可.

20332033

【详解】«=10g,2023-log,2022=log——,c=——-1,

220222022

设/(x)=log2X,g(x)=x—l,函数图象如图所示，

/⑺、g(x)均单调递增，且。(l)=g⑴,〃2)=g⑵,结合图象得在XG(1,2),

即k^x-(x-1)>0,

.2033(2033八八n

^log2—---l>0^o-c>0,故a>c；

如图，单位圆A中，ZBAC=0,BDLAC于D,

则8c的长度/=。，忸Z)|=sin。，|CD|=1-cos。，

则由图易得，1>\BC]>\BD\,

当2,则。=土">巴，故tanC=7帚>1?\BD\\CD\,

224Q^D

i71,.

故当e<大时，有

20232

|BC|>|BZ)|>|CD|?0sin0>1-cos0?---1-cos---

20232023

---->>1-cos?b.

20222023-------2023

综上，a>c>b.

故选：D.

【点睛】(1)比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；

(2)比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.

9.在直角坐标系xOy中，角e的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经

过点P(x,—2),且tan1=2,贝U()

A_1__2A/5C.cos*

A.x——1BR.sina-------D.

55

a八

tan—<0

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.

【详解】则题意可得tan(z=a=2,则尤=—1,A选项正确;

X

2#)

sina=y一，B选项正确;

—1A/5

c°sa=—，=-----,C选项错误;

由P(T-2),角a终边在第三象限，即。£[2E+兀,2痴+万)(％£2),则

a7兀73兀

一ekjtH—kitH--(-keZ),

224

a(y

即角一的终边在二、四象限，所以tan^vO,D选项正确.

22

故选：ABD.

10.下列说法正确的是()

711

A.若xwk/r——eZ),则cos尤H----->2

2cosx

B.若xwy,则犬+/>孙恒成立

C.若正数a,b满足a+/?=a/?-8,则仍有最小值

D.若实数x,y满足f+siny=l,则x-siny没有最大值

【答案】BC

【解析】

【分析】对A举反例x=兀即可判断，对B利用配方法即可判断，对C利用基本不等式得

a+b=ab-8N2瓢,解出ab范围即可，对D,利用正弦函数的有界性求出x的范围，

再结合二次函数的最值即可判断.

【详解】对A,若％=兀，则cosx=—l,则COSX+二一=一2<2,故A错误；

COSX

对B,%2+,2-盯=+；y2)0,

fx-4=°fx-o

取等号的条件为02),解得“但xxy,故好+/—孙>o恒成立，

32n[y=Q

—y=0

[4'

即f+y2>孙恒成立，故B正确；

对C,若。,6>。，则a+Z?=a/?—822J茄，解得J茄24或J茄<—2(舍去)

所以"216,当且仅当a=>=4时等号成立，则(")而“=16,故C正确；

对D,x2+siny=1,贝Usiny=1-%2<1,又--1<siny<1,

5

.•.-l<l-x2<l,解得一起<x<42x-siny=x-(l-x2)=x2+x-l=

4

当了=应时，(x—siny)1m*=[尬+—：=行+1，故D错误.

故选：BC.

11.设函数/(x)=d-法+c,xe[-a,a],ceZ,若了。)的最大值为M,最小值为加，

那么加和加的值可能分别为()

A.3与1B.4与—3C.8与2D.6与1

【答案】AC

【解析】

【分析】"X)可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小

值为0进行分析即可.

【详解】记〃(x)=X，一6%,x^[-a,d\,定义域关于原点对称，由

h{-x)=(-x)3+bx--(%3-bx)=-A(x),于是〃(x)为奇函数，设〃(％)在上的

最大值和最小值分别为P，q，根据奇函数性质，p+q=O,而/(x)=/z(x)+c,故

M—p+c,m=q+c,于是河+m=2c,注意到ceZ,经检验，AC选项符合

故选：AC

(2兀5兀、

12.己知函数/(x)=sin(°x+0)(0>O),且/(尤)在区间上单调递减，则下列

结论正确的有()

兀

A.AM的最小正周期是一

3

8.若/[g]+[7]=°'则4+]=。

C.若/1》+m]2/(同恒成立，则满足条件的。有且仅有1个

兀「22一

D.若°=—二，则。的取值范围是[1,2]4,—

6L5_

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A,根据中心对称即可

求值，知B正确，由周期的范围求出。的范围，利用函数平移求出周期，判断C,结合已

知单调区间得出。范围后判断D.

(27t5兀\T57r27r兀

【详解】对于A,因为函数/⑺在区间丁,二上单调递减，所以一2-----------=-,

136)2636

TTTT

所以/(X)的最小正周期T»—,即f(x)的最小正周期的最小值为一，故A错误；

33

对于B,因为+=所以/(X)的图像关于点对称，

所以=故B正确；

对于C,若/+恒成立，则T为函数/⑴的周期或周期的倍数，所以

kx—=—,所以G=6Z,因为—,所以@=—V6,

co33T

又口>0,所以0<G<6,所以0=6,

即满足条件的①有且仅有1个，故C正确；

对于D,由题意可知[野，冷)为/(x)=sin](yx—巳)单调递减区间的子集,

2兀兀、兀j

—co——>—+2kli

所以〈二:，其中左eZ,解得3左+1«0<—+2,%eZ,

5兀兀,3兀c,5

—co——<—+2kn

[662

22

当左=0时，当左=1时，4<(u<—,

故。的取值范围是口,2]1」4,y,故D正确.

故选：BCD

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13,设函数了(力=[?(1—x)+2,x<2,则〃仆2))=______.

[2,x>2

【答案】12

【解析】

【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.

[详解]函数/"(x)=y：g2(l—力+2，*<2,则〃_2)=]0%3+2,

''2x,x>2

log23+21032

log23+2>2,/(/(-2))=/(log23+2)=2=2^x2=3x4=12.

故答案为：12.

14.一艘轮船按照北偏东40。方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船

的南偏东20。方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为2M海里，则灯塔与轮船

原来的距离为海里.

【答案】4

【解析】

【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解.

【详解】设轮船的初始位置为420分钟后轮船位置为2,灯塔位置为C,如图所示

B

由题意得，ABAC=120，AB=gxl8=6,BC=2M,

A笈+AC2—叱36+402—76

由余弦定理得cos120°=,BP--，解得AC=4.

2ABAC212AC

则灯塔与轮船原来的距离为4海里

故答案为：4.

logflx,0<x<2

15.已知函数/(x)=11.若函数/⑺存在最大值，则实数a的取值范围是

【答案】。,4]

【解析】

【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合/(%)存在最大值即可求解

【详解】当0<。<1时，函数不存在最大值，故a>l,

当0<xW2时，/(%)=log/在区间(0,2]上单调递增，

所以此时/(X)e(—8,log°2]；

当x>2时，〃力=：1在区间(2,+8)上单调递减，所以此时

X

若函数/(%)存在最大值，则log022g,解得aW4,又a>l,

所以。的取值范围为。,4]

故答案：(L4]

16.已知』0,三|,且tanxtany+tanxsiny-sinxWl,贝UY-2(y-iy的最大值为

【答案】--2K+2

2

【解析】

【分析】由tanxtany+tanxsiny-sinxWl,通过研究函数y=tan尤+sin%单调性可

JT9

得。〈%+）45，后设x+y=根，则/一2（丁—1）2=-y+(4-2mjy+m2-2c,

(兀、

其中yG0,-,0<m<—.

k2

【详角星】因tanxtany+tan%siny-sinxWl,则

C

.1+sinx1nn

tany+siny<-------------=----------Fcosx=tanx+sin-------X.

tanxtanx(2

因函数y=tan羽y=sinX均在10微上单调递增，则函数y=tanx+sin%在[。，2上

JT

单调递增，故有：。〈犬+yV—.

2

jr,2

设x+y=加，其中0<相（5，贝!JA2-2（丁一1）2=（加一丁）一2（丁一1）

--y1+(4-2加)y+m2-2=—[y—(2-加)]+2(加—1)2<2(m-叶,

兀JIJI

当且仅当y=2—7".时取等号，则此时0<2—根<—,得2——<m<—

222

（1

JI

又函数f（加）=2（加一在加e2--,1时单调递减，在相G1,-时单调递增,

I2」I2,

(\

(兀、JI

f2-----

2

n2

则f(m)-2(jn-——2兀+2,

22

,,JI

此时y=2—5,x兀一2.

冗2

故答案为：----271+2

2

【点睛】关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等

n

式，分离含％,y式子后，通过构造函数得到0〈%+y<].后将问题化为求含参二次函

数的最值问题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.在一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

(Jb+c)(sinB+sinC)=asinA+3Z?sinC.

(1)求角A的大小；

(2)若。=C，且,ABC的面积为g,求一ABC的周长.

7T

【答案】(1)§

⑵30+逐

【解析】

【分析】(1)由(b+c)(sin3+sinC)=asinA+3bsinC,根据正弦定理化简得

(b+c)2=a2+3bc,利用余弦定理求得cosA=；,即可求解；

(2)由一ABC的面积为石，求得Z?c=4,结合余弦定理，求得匕+c=30，即可求解.

【小问1详解】

由题意及正弦定理知(b+c)?=a2+3bc,：,a1=b2+c2-be，

兀

0<A<TI,A=—.

3

【小问2详解】

a=布，:,b2+C1-be=6®

又，，S^-bcsmA=—bc=y/3,:.bc=4@

24

由①，②可得。+c=30，

所以ABC的周长为30+&.

兀兀/«

18.已知0<。<一,——</?<0,tana=7,sinB=——:

22"5

⑴求cos(a-0的值；

(2)求tan(。—2，)的值，并确定a—2夕的大小.

【答案】⑴―®

10

3兀

【解析】

【分析】⑴由tana解得sin。,cos。，由sin夕求出cos",利用两角差的余弦公式求解

cos(a—/7)的值；

(2)由sin",cos尸求出tan£,再求tan2〃，利用两角差的正切公式计算tan(。—2，)的

值，并得到a—2夕的大小.

【小问1详解】

sincr_「l

„n,tana=-------=71五12

0<(Z<—,由Jcos<7，sina=-----,cosa=-----，

-sin2a+cos2a=1

又<J3<0,sinP=~~~'二cos0=2f，

,A、°.Q2也应也1叵M

..cos(6Z-p)=cosacos//+sinasinp=----x------------x------=--------.

51051010

【小问2详解】

।/、，万1c°2tan(34

由(1)可知，tan/?=—,­•tan~一~一———,

21-tanp3

""加售E*—l,

0<«-2^<y,:.a-2/3=^-.

19.已知函数/(x)=2sin2

⑴求函数AM的最小正周期和单调递增区间;

7C

(2)当0<x<5时，求/⑺的值域.

2TZ"TC/\

【答案】(1)乃，单调递增区间为(keZ)

_36J

「八31

(2)0,-

【解析】

【分析】(1)由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解;

(2)由余弦函数的性质得出/(x)的值域.

【小问1详解】

]\/3

一7(%)=l-cos2x---+cos2x=l——cos2x---sin2x+cos2x=cos2x+—+1

22I3J

：.T=7T,

Jr27r7i

由2左万一7t〈2xH—<2kji可得k/c----«x<ki----,左£Z,

336

27rTC

即/(x)的最小正周期为万，单调递增区间为k兀——卡兀一一(左eZ).

_36J

【小问2详解】

兀兀，、,4乃小万、「,1

0«x<一，一<2,xH—<—,cos(2xH)E.-1,一

2333312」

-3一

故/⑺的值域为0,-.

L2J

20.为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃

种薰衣草(如图).已知道路A8长为4km,四边形的另外两个顶点C,。设计在以A8为直径

的半圆0上.记NCO3=a(0<a<g]

(1)为了观赏效果，需要保证NCOD=g,若薰衣草的种植面积不能少于(3+0)km2,

则a应设计在什么范围内？

⑵若5C=AD,求当。为何值时，四边形A5CD的周长最大，并求出此最大值.

冗兀

【答案】(1)5<。<生

62

71

(2)6Z=—,10km

【解析】

【分析】(1)由SABCDOBC+SOCD+SOAD,利用三角形面积公式得到sin[a+二]之正

求解;

(2)由BC=AD得到AAOD=NCOB=a,/COD=TT-2a,进而得到

AB+BC+CD+DA=-8sin2-+8sin-+8,利用二次函数的性质求解.

22

【小问1详解】

1__1__.711__•I2

解:=SOBC+S+S=—•2•2•sm(7H2•2•sm—H2•2-sm-it-a

^ABCDOCDOAD2232(3

=2sin。+G+A/3COS。+sina=g+2百sin[a+5

由题意，A/3+2^/3sin>3+A/3,

sin(a+—)>，

62

JTjr7T2

因为0<a<一,所以一<a+一<—兀，

2363

解得工(工；

62

【小问2详解】

由BC=可知，

/LAOD-NCOB=a,NCOD=兀—2tz,

故

AB+BC+CD+DA=4+2-2sin—+2-2sin———+2•2sin—=4+8sin—+4cosa,

2222

=4+8sin—+4fl-2sin2—=-8sin2—+8sin—+8=-8fsin--—+10，

2(2)2222)

CL171

从而四边形ABC。周长最大值是10km,当且仅当Sin—=—,即夕=一时取到.

223

1—1

21.已知函数/(乃=-^Y+匚，其中。为常数，且

a+1ax

⑴若了(元)是奇函数，求a的值；

(2)证明：/(幻在(0,+co)上有唯一的零点；

(3)设“X)在(0,+co)上的零点为为,证明：xQ-l>logj2-^j.

【答案】⑴4=2

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(l)/(x)是奇函数,由f(f)=-/(x)恒成立,求a的值;

⑵/(X)在(0,+oo)上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；

ax1

(3)把零点代入函数解析式，有优。+l=T=a(l+—7)，由零点所在区间得