2024年中考数学二轮题型突破二次函数综合题（复习讲义）

题型九二次函数综合题(复习讲义)

【考点总结I典例分析】

、要点归纳

二次函数的综合

1、函数存在性问题

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，

设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结

合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题

意，则该点存在，否则该点不存在.

2、函数动点问题

(1)函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等

有关的二次函数综合题.

(2)解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动

时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题

小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.

(3)解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多

少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合

题干中与动点有关的条件进行计算.

G蜒例解析

1.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）已知二次函数y=

（1）当b=4,c=3时，

①求该函数图象的顶点坐标.

②当—14x<3时，求》的取值范围.

⑵当尤vo时，y的最大值为2；当x>o时，>的最大值为3,求二次函数的表达式.

【答案】⑴①（2,7）；②当—1VXV3时，-2<yW7；⑵y=-f+2x+2

【分析】（1）①将b=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解；

②已知顶点（2,7）,根据二次函数的增减性，得出当x=2时，>有最大值7,当户一1时取得

最小值，即可求解；

（2）根据题意时，y的最大值为2；尤>0时，y的最大值为3,得出抛物线的对称轴

b

x=彳在y轴的右侧，即万>。，由抛物线开口向下，时，y的最大值为2,可知c=2,

根据顶点坐标的纵坐标为3,求出方=2,即可得解.

【详解】（1）解：①当6=4,c=3时，>=-x2+4x+3=-（x-2）2+7,

二顶点坐标为（2,7）.

②；顶点坐标为（2,7）.抛物线开口向下，

当时，丁随x增大而增大，

当2WxW3时，>随x增大而减小，

.•.当尤=2时，y有最大值7.

又2-（-1）>3-2

当尸-1时取得最小值，最小值产-2；

.•.当-4W3时，-2Wy<7.

（2）时，>的最大值为2；x>0时，y的最大值为3,

b

•••抛物线的对称轴X=2在y轴的右侧，

2

：.b>0,

:抛物线开口向下，XV0时，y的最大值为2,

c=2,

..4x(-l)xc-Z?2

又,=3,

4x(-1)

.*./?=+2,

VZ?>0,

b=2,

・・・二次函数的表达式为y=*+2%+2.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌

握二次函数的性质是解题的关键.

2.己知抛物线y=ax2-2x+l(a^0)的对称轴为直线x=1.

(1)求a的值；

(2)若点M(xi,yD,N(xz,y2)都在此抛物线上，且一1<%<0,1<%2<2.比较外

与y2的大小，并说明理由；

(3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=a?_2x+l交于点A、B,与抛物线y=3(x-l)2交

于点C,D,求线段AB与线段CD的长度之比.

【答案】(1)。=1；(2)%>%，见解析；(3)73

【分析】

b

(1)根据对称轴x=——,代值计算即可

2a

(2)根据二次函数的增减性分析即可得出结果

(3)先根据求根公式计算出x=l±J百，再表示出AB=|J五+五+1)|,

CD=|3—々|==2竽，即可得出结论

【详解】

解：(1)由题意得：x=----=1

2a

\a-1

(2)・.,抛物线对称轴为直线尤=1,且。=1>0

.•・当］<1时，y随x的增大而减小，

当x>l时，y随X的增大而增大.

・'.当一1<%<1时，yi随xi的增大而减小,

「％=—1时，y=4,x=0时，y=1

1<%<4

同理：1<%<2时，y?随X?的增大而增大

丁％=1时，y=0.

x=2时，y-1

/.0<y2<1

X>%

(3)x2-2x-sr\=m

x2-2x+(1-m)=0

zl=(-2)2-4-l-(l-m)

=4m

.=y[m+lXj=—Vm+1

AB=|y[m+1-+1)|

=2y[m

令3(X—1)2=m

AB2^/^?石

CD243m

3

，AB与CD的比值为百

【点睛】

本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函

数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点

3.已知抛物线yuf+bx+c.

图①图②

（1）如图①，若抛物线图象与X轴交于点4（3,0）,与y轴交点3（0,-3）.连接A5.

①求该抛物线所表示的二次函数表达式；

②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作轴于点H,与线段43交于

点、M.是否存在点尸使得点M是线段P”的三等分点？若存在，请求出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

⑵如图②，直线y=§%+〃与＞轴交于点C,同时与抛物线）=%2+灰+。交于点。（一3,。），

以线段CD为边作菱形皿石，使点尸落在无轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交

点，求》的取值范围.

【答案】⑴①y=/_2x-3,②存在，点P坐标为⑵-3)或(；，-；)，理由见解析

24

(2)b<-士3或b>1之3

23

【分析】(1)①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m,53)点P

HM1HMo

(m,mJ2m-3)若点M是线段PH的三等分点，则妥=:或黑=：，代入求解即可；

(2)先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5,因为四边形CDFE是

菱形，由此得出点E的坐标.再根据该抛物线与线段CE没有交点，分两种情况(CE在抛物

线内和CE在抛物线右侧)进行讨论，求出b的取值范围.

(1)

①解：把4(3,0),8(0,-3)代入丫=/+打+,，得

[0=32+3Z?+C

b=-2

解得:

c=-3

②解：存在，理由如下,

设直线AB的解析式为尸kx+b,把A(3,0),5(0,-3)代入，得

3k+b=0

b=—3

k=\

b=-3

・•・直线AB的解析式为y=x-3,

设点M(m点P(m,m2-2m-3)

若点M是线段尸”的三等分点

2

HP3HP3

m-312

3

解得：m=2或或m=3,

经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，

m=2或ni=g

.,.点p坐标为⑵-3)或(；，

24

4

(2)解：把点D(-3,0)代入直线y=+解得n=4,

4

・,•直线y=§x+4,

当x=0时，y=4,即点C(0,4)

ACD=732+42=5,

・・•四边形CDFE是菱形，

・・・CE=EF二DF二CD二5,

・,•点E(5,4)

,点D(-3,O)在抛物线yuY+bx+c上，

(-3)2-3b+c=0,

c=3b-9,

y=尤？+队+3b-9,

V该抛物线与线段CE没有交点，

分情况讨论

当CE在抛物线内时

52+5b+3b-9<4

3

解得：b<--

当CE在抛物线右侧时，

3b-9>4

13

解得：b>]

综上所述，b〈-;3或b>13?

23

【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况

讨论.

4.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=—x'+bx+c经过点A(—1,0)和点B(0,3),

顶点为C,点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,

点C落在抛物线上的点P处.

⑴求抛物线的解析式；

(2)求点P的坐标；

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点0,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

⑵22,3)

(3)存在，M(0,1)

【分析】(1)根据点A3的坐标，利用待定系数法即可得；

(2)先求出抛物线的对称轴，再设点。的坐标为则8=4-a，根据旋转的

性质可得NCDP=90o,P£>=CD=4-a,从而可得P(5-.,〃)，将点P代入抛物线的解析式求

出。的值，由此即可得；

(3)先根据点坐标的平移规律求出点E(L-l),作点E关于>轴的对称点连接PE',从

而可得尸£'与>轴的交点即为所求的点再利用待定系数法求出直线尸尸的解析式，由此

即可得出答案.

⑴解：将点A(T0),B(0,3)代入、=-/,+板得：f-l-Z?+c=0,

[c=3

0=2

解得文，

[c=3

则抛物线的解析式为y=-f+2X+3.

⑵解：抛物线y=-/+2x+3=-1)2+4的对称轴为直线x=1,其顶点C的坐标为C(l,4),

设点。的坐标为。(1,。)(。＜4),则CD=4-a,

由旋转的性质得：NCDP=9Qo,PD=CD=4-a,

尸(1+4—a,a),即P(5—a,a),

将点P(5_〃,a)代入y=_(x—l)2+4得：-(5-a-l)2+4=a,

解得。=3或a=4(舍去)，

当a=3时，5—a=5-3=2,

所以点尸的坐标为P(2,3).

⑶解：抛物线y=-公+2x+3的顶点C的坐标为C(l,4),

则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点0,

.这时点尸落在点E的位置，且「(2,3),

E(2-l,3-4),即恰好在对称轴直线x=l上，

由两点之间线段最短可知，PE'与〉轴的交点即为所求的点"，此时MP+ME'的值最小,

即MP+ME1的值最小，

由轴对称的性质得:£(-1,-1),

设直线PE'的解析式为>=①+机，

2k+m=3

将点尸(2,3),E(-1,_1)代入得:

—k+m=—l

3

解得:，

m=—

[3

41

则直线尸£’的解析式为y=-^+-,

当x=o时，、=；，

故在y轴上存在点M,使得MP+ME的值最小，此时点”的坐标为M(o,g).

【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的

平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键.

5.(2023・湖南•统考中考真题)如图，二次函数y=/+bx+c的图象与X轴交于A,8两点，

(1)求这个二次函数的表达式；

⑵在二次函数图象上是否存在点尸，使得SAMC=&ABC?若存在，请求出尸点坐标；若不存

在，请说明理由；

(3)点。是对称轴/上一点，且点。的纵坐标为。，当△QAC是锐角三角形时，求。的取值范

围.

3-V177‘3+而7

【答案】⑴y=9-4x+3；⑵P(2,T)或尸或尸；⑶

22

3+V17-,3-717

------<a<5或_]<a<-------

22

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据S“AC=SA.C，可得P到AC的距离等于8到AC的距离，进而作出两条AC的平

行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；

（3）根据题意，求得当△Q4C是直角三角形时的。的值，进而观察图象，即可求解，分。>0

和“<0两种情况讨论，分别计算即可求解.

【详解】（1）解：将点3（1,0）,。（0,3）代入，=/+"+~得

Jl+Z?+c=0

[c=3

仍=一4

解得：

•••抛物线解析式为y=r-4x+3；

（2）;y=X?-4%+3=（x-2）—1,

顶点坐标为（2,1）,

当y=0时，%2-4x+3=0

解得：玉=1,尤2=3

AA（3,0）,则。4=3

VC（0,3）,则OC=3

,AOC是等腰直角三角形，

••Q—V

•°APAC一

•••P到AC的距离等于B到AC的距离，

；4（3,0）,C（0,3）,设直线AC的解析式为>=丘+3

3/+3=0

解得：k=-1

直线AC的解析式为y=-x+3,

如图所示，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P,

设3尸的解析式为y=-x+d,将点3（1，0）代入得，

—1+d=0

解得：d=1

二直线肝的解析式为y=-x+1,

[y=-x+l

[y=x2-4x+3

[x=l[x=2

解得：c或1

[y=o[y=-i

；PA=^（3-2）2+12=y/2,PB=,J（2-1）2+12=72,AB=3-1=2

；•P^+PB1=AB2

....AB尸是等腰直角三角形，且/AP3=90。，

如图所示，延长上4至。，使得=过点。作AC的平行线DE,交无轴于点E,则

DA=PA,则符合题意的点P在直线DE上，

「△APB是等腰直角三角形，DE//AC,ACLPD

：.Z.DAE=ZBAP=45°PD±DE

VADE是等腰直角三角形，

AE=y[2AD=y/2AP=2

：.E（5,0）

设直线DE的解析式为y=-％+e

••-5+e=0

解得：e=5

直线DE的解析式为y=-x+5

y=-x+5

联立

y=x2-4x+3

3-#73+V17

x=-------x=-------

2

解得：2后或＜

7+V17i-yjvi

y=2y=~^

/3-后73+V177

P或

—-P—-

综上所述，尸（2,T）或尸］土乎,乃普）或尸［小普，上普J；

（3）①当。＞0时，如图所示，过点C作CGLAC交尤=2于点G,

当点。与点G重合时，一ACQ是直角三角形，

则”（2,1）,

CH=百+（3-1『=2A/2,

,?Z.CHG=ZOCH=45°,

.•.△SG是等腰直角三角形，

:.HG=&H=邑2垃=4

G（2,5）,

设。（2,4）,贝UAQ2=12+q2,CQ2=22+（q-3）1=q2-6q+13

•••AC?=32+32=18

18=q2-6q+13+F+q2

解得：«=土手（舍去）或勺=三普

V△Q&C是锐角三角形

当4<0时，如图所示，

同理可得AQ2+QC-=AC2

即；.18=/—64+13+12+42

解得:q丁或（舍去）

由（2）可得AMAC时，A/（2,-l）

3-717

—1<〃<

-2-

综上所述，当△0AC是锐角三角形时，心叵<a<5或-1<”合也

22

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是

解题的关键.

6.抛物线y=—炉+法+。与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且5(—1,O),C(O,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，3P与AC相交于点E,当

?£:5石=1:2时，求点P的坐标；

(3)如图2,点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点。C处，且

")'=2CD,点M是平移后所得抛物线上位于OC左侧的一点，跖V/勺轴交直线0。'于

点N,连结CN.当XED'N+CN的值最小时，求"N的长.

5

3

【答案】⑴y=-x20+2x+3；(2)尸(1,4)或尸(2,3)；(3)

-4

【分析】

(1)利用待定系数法即可得；

(2)设点尸的坐标为尸(a,-/+2。+3),先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再

根据？E:BE=1:2可得点E的坐标，代入直线AC的解析式求解即可得；

(3)先根据DE>'=2CD求出点。曲勺坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的

函数解析式，设点般的坐标，从而可得点N的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得

—D'N+CN，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得.

5

【详解】

—1—b+c=0

解：(1)由题意，将点5(—l,0),C(0,3)代入y=—必+云+c得：J,

c=3

则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)对于二次函数y=——+2X+3,

当y=。时，一%2+2%+3=0，解得x=-l或％=3,

.-.A(3,0),

设点P的坐标为P(a,-a-+2a+3)(0＜。＜3),点E的坐标为E(%，％),

PE:BE^l:2,B(-l,0),

:1[21

.玉+「2反"寸铲下

2

-a+2a+3-yl1)牛特j224'

[X—02H33

~2124/

-a—,—c2i~\—a+2),

3333

设直线AC的解析式为y^kx+t,

2k+t=0\k=-1

将点A(3,0),C(0,3)代入得：.,解得。,

t=3t=3

则直线AC的解析式为y=-x+3,

212,4212,4

将点E(—a——,——a"+—。+2)代入得：——a-\----1-3=——a~+—a+2,

33333333

解得a=1或a=2,

当。=1时，一/+2。+3=-1+2+3=4,此时尸(1,4),

当a=2时，一储+24+3=—4+2*2+3=3,此时尸(2,3),

综上，点尸的坐标为P(L4)或尸(2,3)；

(3)二次函数y=-x2+2x+3=—(x—Ip+4的顶点。坐标为。(L4),

设点。曲勺坐标为。'(%,必)，

DD'=2CD,C(0,3),£＞(1,4),

^1=2

,J°,，解得＜%2=3

上=2I%=6'

〔4-3一

：.D'(3,6),

则平移后的二次函数的解析式为y=—(x—3)2+6=—/+6x—3,

设直线OD'的解析式为y=kox,

将点£>'(3,6)代入得：3月=6,解得左o=2,

则直线OD'的解析式为y=2%,

设点M的坐标为M(帆，一加2+6加一3)(加<3),则点N的坐标为N(n7,2〃?),

如图，连接AD，过点N作即，于点/，过点C作CGLAD'于点G,交O。'于

点V,连接。尸,

4(3,0),。'(3,6),

.•.AD'Lx轴，

FN=3-mf

:.^-D'N+CN=^-7(3-m)2+(6-2m)2+CN=3-m+CN=FN+CN，

由两点之间线段最短得：7W+QV的最小值为Cb,

由垂线段最短得：当点尸与点G重合时，取得最小值CG,此时点N与点N'重合,

则点N'的纵坐标与点C的纵坐标相等，

3

即2加=3,解得根=一，

2

则MN—\^-m+6m—3—2m|=|—m2+4m—3|,

2

=|-(|)+4X|-3|)

-4,

【点睛】

本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等

知识点，较难的是题(3),正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键.

7.已知二次函数y=f+(加-2)x+加-4,其中相＞2.

(1)当该函数的图像经过原点0(0,0),求此时函数图像的顶点A的坐标;

(2)求证：二次函数)=/+(加一2)%+机-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线F=-X-2上运

动,平移后所得函数的图像与丁轴的负半轴的交点为B,求，AOZ?面积的最大值.

【答案】⑴A(T-l)

(2)见解析

9

(3)最大值为3

O

【分析】(1)先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可

得到答案；

(2)先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为望，:］然后分别证明顶点坐标

的横纵坐标都小于0即可;

（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y=f+bx+c,则其顶点坐标为（「宗b4竺「一广/72

然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线y=-2上推出c="+2T

4

ig

过点A作垂足为H,可以推出$小。/!=-三仍+1）2+2，由此即可求解・

OO

解：将0（0,0）代入y=/+（加一2）元+加一4,

解得m=4.

由相＞2,则机=4符合题意，

y=x2+2x=(x+1)2-1,

A(-1,-1).

⑵

2-m-m2+8m-20

解:由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为

2，4

m>2,

/.m—2>0,

/.2—m<0,

-m+8m—201八21/1

------------二—(m—4)—1<—1<n0,

44

.,.二次函数y=/+（加-2）x+m-4的顶点在第三象限.

解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y=V+6x+c,则其顶点坐标为「方”广

当x=0时，＞=。,

/.B(0,c).

b4c—b2

将代入y=-x-2,,

~2"一厂

解得cf

3(0,c)在y轴的负半轴上,

c<0.

/+2/7-8

OB-—C—-

4

过点A作05,垂足为H,

A(-1,-1),

AH=1.

在AOB中，

=--b2--b+l

84

=--(Z?+l)2+-,

88

9

J当人=T时，此时cvO,.AOB面积有最大值，最大值为％.

O

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，

二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键.

8.二次函数,=改2+笈+4(4工0)的图象经过点4-4,0),2(1,0),与y轴交于点C,点P

为第二象限内抛物线上一点，连接3P、AC,交于点Q,过点P作尸轴于点D.

y

M

(i)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,当NDPB=2NBCO时,求直线8P的表达式；

(3)请判断：笑是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

1515P04

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)y=——x+—；(3)请■有最大值为一，P点坐

88QB5

标为(—2,6)

【分析】

(1)将A(—4,0),8(1,0)代入y=ox2+6x+4(aw0)中，列出关于a、b的二元一次方程

组，求出a、b的值即可；

(2)设8P与y轴交于点E,根据尸。//y轴可知，ZDPB=ZOEB,当ZDPB=2ZBCO,

即/OEB=2NBCO,由此推断为等腰三角形，设OE=a,则CE=4—。，所以

BE=4-a,由勾股定理得BE?=0^2+032,解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP

的函数解析式即可；

(3)设与AC交于点N,过B作y轴的平行线与AC相交于点M.由A、C两点坐标可

得AC所在直线表达式，求得M点坐标，则9=5,由BMI/PN,可得

△PNQsABMQ,^=—=—,设3%+4)(_4<%<0),则

N(a。,a。+4)”=W；—3a。+4—(a。+4)=幺二也=一(……,根据二次函数

QB555

性质求解即可.

【详解】

解：(1)由题意可得:

。.（田+力㈠中二。

a+b+4=0

CL——1

解得：《

b=-3'

，二次函数的表达式为y=—炉—3x+4；

（2）设3P与y轴交于点E,

PD//y轴，

：.ZDPB=ZOEB,

■:NDPB=2NBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,

ZECB=ZEBC,

BE=CE,设OE—a，

则CE=4—a,.'.BE=4--a>

在Rt_BOE中，由勾股定理得BE2=OE2+OB2，

.•.(4-a)2=/+俨

解得a=--,

8

设BE所在直线表达式为y=依+e（左，0）

15

,c15

左■0+e=—,~~8

8解得＜

15

左•l+e=O.

I-'

**•直线BP的表达式为y=----xH—.

88

(3)设。。与AC交于点N.

过B作y轴的平行线与AC相交于点M.

由A、C两点坐标分别为(-4,0),(0,4)

可得AC所在直线表达式为y=x+4

...M点坐标为(1,5),BM=5

由BM//PN，可得APNQS^BMQ,

.PQPNPN

QB~BM~5

设P(a。,—UQ—3ao+4)(—4<tz0<0),则N(%,4+4)

.PQ—q；—3ao+4—(a。+4)—a；—4ao—(4+2)~+4

5—5—5

PO

.•.当/=—2时，=•有最大值0.8,

QB

此时P点坐标为(一2,6).

【点睛】

本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定

理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广,

难度较大，属于中考压轴题.

9.如图，抛物线y=(%+l)(x—a)(其中。＞1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为.A3C的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为J记：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得

NC4P=若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)Z0CA=45°,AB=a+1；(2)y=x2-x-2；(3)存在，Pi--)，

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出0A=0B=a,

0B=l,即可证明aOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根据线段的和差关系可表示AB

的长；

(2)如图，作aABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC=J^,利用两点间

距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得/D=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可证明△DBCs^oCA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OGLAC于

G,连接AP交CF于E,可得aOCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析

式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根

据NC4P=/DB4,ZBHD=ZACE=90°可证明△BHDs/XACE,根据相似三角形的性质可求

出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立

直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(1)•••抛物线y=(x+D(x-。)(其中a>l)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

.•.当x=0时，y=-a,

当y=0时，(x+l)(x-a)=。，

解得：%=-1,x2=a,

：.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

.'.OB=1,0A=0C=a,

.'.△OCA是等腰直角三角形，

.•.Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如图,作AABC的外接圆。D,

•••点D为，A3C的外心，

.\DB=DC,

「△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

/.Z0AC=45°,AC=&q,

：NBDC和/BAC是6C所对的圆心角和圆周角,

.•.ZBDC=2ZBAC=90°,

.\ZDBC=45°,

ZDBC=ZOAC,

/.△DBC^AOCA,

VABC£>与△ACO的周长之比为JIG：4，

.BC回V«2+l而

••----=------,即Bn---------=------,

AC441a4

解得：a=±2,

经检验：Q=±2是原方程的根，

'：a>l,

a=2,

抛物线解析式为：y=(X+l)(x_2)=%2_%_2.

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点。作OGLAC于

G,连接AP交CF于E,

a=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2夜，

VZ0CA=45°,

.•.Z0CF=45°,

•••△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

-2k+b=Q

[b=-2

直线CF的解析式为y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

；.0G所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

:点D为，ABC的外心，

.•.点D在直线0G上，

VA(2,0),C(0,-2),

.".G(1,-1),

设直线0G的解析式y=mx,

m=-l,

直线0G的解析式丫=-*,

:点D为4ABC的外心,

点D在AB的垂直平分线上，

...点D的横坐标为一一=5,

22

把X=y代入y=-x得y=-g,

D（一，---），

22

113

.,.DH=—,BH=1+—=-,

222

ZCAP=ZDBA，ZBHD=ZACE=90

.'.△BHD^AACE,

13

.PHBH

即22

'~CEAC

CE2V2

解得：CE考

•.•点E在直线CF±,

J设点E坐标为（n,-n-2）,

2V2

亍

2

解得：n=+-,

3

242

&（—，—），E,

33-

设直线AEi的解析式为y=k1x+b1,

2,,4

■<一§&+4=一

3,

2kI+4=0

解得：＜

4=-1

直线AE1的解析式为y=^x-l,

同理：直线AE?的解析式为y=2x—4,

'1,

一1

联立直线AEi解析式与抛物线解析式得｛,y——2x

y=x2-x-2c

1

%=-5k=2

解得：\<c（与点A重合，舍去），

、，一3〔为=。

y=2x-4

联立直线AE2解析式与抛物线解析式得。

22

y=X-X-2

玉—1%—2

解得一2c（与点A重合，舍去）,

71=-2%=0

E2

综上所述：存在点P,使得NC4P=〃BA,点P坐标为R（-1，-W）,P?（1,-2）.

24

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角

定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.

10.如图1,已知二次函数,=加+法+。（。>。）的图象与x轴交于点4（-1,0）、5（2,0）,与

y轴交于点C,且tanNQ4c=2.

⑴求二次函数的解析式；

(2)如图2,过点C作CD〃x轴交二次函数图象于点D,P是二次函数图象上异于点D的一

个动点，连接PB、PC,若SAPBC=S^CD，求点P的坐标；

(3)如图3,若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接0P交BC于点Q.设点

P的横坐标为t,试用含t的代数式表示:|的值，并求的最大值.

【答案】⑴y=V-x-2；

(2)P(1+72,72)或(『£-&);

【分析】(1)在Rt/XAOC中求出0C的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，

将点C的坐标代入，进一步求得结果；

(2)可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P(a,a2-a-2),

可表示出4BCD的面积，作PE〃AB交BC于E,先求出直线BC,从而得到E点坐标，从而表

示出APBC的面积，根据SJBC=SABCD,列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同

样的方法求得结果；

(3)作PN_LAB于N,交BC于M,根据P(t,M(t,t-2),表示出PM的长，

PQPMPQ_

根据PN〃OC,得出△PQMS^0QC,从而得出万万=方不，从而得出万方的函数表达式，进一

/(_/丫eye.。丫

步求得结果.

(1)

VA(-1,0),

.'.OA=1,

oc

X,**ZA0C=90°,tanZ0AC=---=2,

OA

.,.0C=20A=2即点C的坐标为(0,-2),

设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2),

将C点坐标代入得：a=l,

y=(x+1)(x-2)=X2-X-2；

(2)

设点p(a,a2-a-2),如图所示，当点P在第三象限时，作PE〃AB交BC于E,

VB(2,0),C(0,-2),

直线BC的解析式为：y=x-2,

...当y=/-。-2时，x=y+2=a2-a,

PE=a2-a-a=a2-2a,

.•.SPBC=-PE•oc,

A2

:抛物线的对称轴为y=；,CD〃x轴，C(0,-2),

二点D(1,-2),

/.CD=1,

.•.SBCD=-CD•oc,

A2

/.-PE•OC=-CD•0C,

22

:.a2-2a=l,

解得a1=1+加(舍去)，a2=I-5/2;

当x二l-正时，尸片一。一2=3-1=-0,

**.P(I-V2，-V2)，

如图，当点P在第一象限时，作PE，x轴于点E,交直线BC于F,

**•PF=(.a2—a—2)-(a-2)=a2—2a

.\SAPBC=-PF-OB='CD・OC,

22

••ci~_2a~],

解得出=1+0,82=1-5/2(舍去)；

当a=l+0时，y=«2-a-2^41,

；.P(1+A/2.y/2),

综上所述，P点坐标为(1+0,&)或(i-"-血);

(3)

如图，作PN_LAB于N,交BC于M,

由题意可知，P(t,f-t-2),M(t,t-2),

；.PM=(t-2)-(产T—2)=-r2+2r,

又：PN〃OC,

/.△PQM^AOQC,

,P2=™=-r±2£=_l1

OQOC222

二当t=l时，(需)最大=]

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形

的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键.

11.如图，已知抛物线y=/-x-2交x轴于A、8两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x

轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象w”，图象w交y轴于点C.

(1)写出图象W位于线段A3上方部分对应的函数关系式；

⑵若直线'=-尤+6与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

(3)尸为x轴正半轴上一动点，过点尸作尸河//丁轴交直线于点交图象W于点N,是

否存在这样的点尸，使△CMN与03c相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-f+x+2(—UW2)

(2)6=2或6=3

⑶存在，(1,0)或]—或(1+班,0)

【分析】(1)先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可;

(2)联立方程组，由判别式△=()求得b值，结合图象即可求解；

(3)根据相似三角形的性质分/CNM=90°和NNCM=90°讨论求解即可.

(1)

解：由翻折可知：C(0,2).

令/_彳_2=0,解得：X]=-l,%2=2,

A(-1,O),3(2,0),

设图象W的解析式为y=o(x+l)(x-2),代入C(0,2),解得a=-l,

对应函数关系式为y=—(x+l)(x—2)=—£+彳+2(—1<x<2),

y=-x+b

解：联立方程组

y=一炉+%+2

整理，得：三―21+〃一2=0,

由△=4-4(b-2)=0得：b=3,此时方程有两个相等的实数根，

由图象可知，当b=2或b=3时，直线＞=-%+人与图象W有三个交点；

(3)

解：存在.如图1,当CV〃03时，AOBCSANMC,此时，N与C关于直线*=1对称,

•••点N的横坐标为1,.♦.P(L0)；

如图2,当CN〃OB时，LOBCs^NMC,此时，N点纵坐标为2,

由f-x—2=2,解得再=]+,x0=--(舍)，

122

；.N的横坐标为已叵，

1+后

所以

P-2~

如图3,当NNQW=90。时，AOBCsACMN,此时，直线CN的解析式为