2024年新高考数学一轮复习-同构与双变量问题（学生版）

专题23同构与双变量问题

一、【知识梳理】

【方法技巧】

1.含有地位同等的两个变量z,总或x,y或a,6的等式或不等式，如果进行整理(即同构)

后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.

2.对于一个指数、直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决，

通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同

构需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶，②单调性和最值

易求.

3.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对指对式进行“改头换面”，常用的方法

pXX

inxxInx+x2x__21nx+x——Inx+x।i八

：x=e,xe=e，xe=e，—=e，Inx-]-Ina=In\ax),Inx—l=ln

Wxe

有时也需要对两边同时加、乘某式等.

4.指对跨阶同构的基本模式有：

(1)积型：ae^blnb,一般有三种同构方式：

①同左：ae'W81nZx=>aea^(InZ?)elnb,构造函数_f(x)=xe'；

②同右：aea^blnZx^>ealne'W61nb,构造函数f(x)=xlnx；

③两边同取自然对数：a+lnaWlnZ?+ln(ln6),构造函数_f(x)=x+lnx.

Qab

(2)商型：一二，一般也有三种同构方式：

aLnb

pahipapbpx

①同左：邑〈普尸邑〈构造函数/<x)=匕；

a,inbaInZ?x

paApaAv

②同右：-<--<=>-~构造函数f(x)=^—;

ainbLneInbInx

③两边同取自然对数：a—Ina<ln6—In(In6),构造函数广(x)=x—Inx.

(3)和差型：ea±a>Z?±lnb,一般有两种同构方式：

①同左：ea±a>Z?±ln±a>e""±lnb,构造函数/'(x)=e"土x；

②同右：ea±5>Z?±lnZ^ea±lnea>Z?±lnb,构造函数_f(x)=x±lnx.

5.与函数单调性有关的双变量问题，此类问题一般是给出含有力'力，找的不等式,

若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用

导数求解.

常见结论：

⑴若对任意卬叫GD,当A*必时恒有,则、=/⑶在〃上是增函数；

⑵若对任意€D,当刈*必时恒有*«-*»,则＞'=f（X）一k%〃上是增函

数；

CnY±V--------＞—y—f（x）+-

⑶若对r任r意U,当孙'力时恒有、L*】XI］则'在。上是增函

数；

〃一）-/如）＞+

（4）若对任意卬必£0当X1/必时恒有勺叼贝P'=f（幻-x在〃上

是增函数.

6.与极值点有关的双变量问题

与极值点X,.X，有关的双变量问题，一般是根据―，是方程fh）=0的两个根,确定。.一

的关系，再通过消元转化为只含有X，或X，的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条

件转化为11的齐次式，然后转化为关于f的函数.

7.与零点有关的双变量问题

与函数零点%一-有关的双变量问题，一般是根据ii.h是方程=0的两个根，确定

匕.一的关系,再通过消元转化为只含有一或X，的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所

XI

给条件转化为X，。，的齐次式,然后转化为关于二的函数,有时也可转化为关于X，-X,的函

数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.

8.独立双变量，各自构造一元函数

此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.

9.构造一元函数求解双变量问题

当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后，

把整体处理为一个变量,从而达到消元的目的.

二、【题型归类】

【题型一】地位同等同构型

【典例1］若都有怒Inxi—xjn用或毛一莅成立，则a的最大值为（）

1

A.~B.1

C.eD.2e

【典例2】若对任意的z,xWm,+8）,且为＜加，”〔nE―xJn*＜2,则⑷的最小值

至一才1

是（）

A.e2B.e

1

C.1D.-

e

【典例3】若0〈水/1,则()

A.e"2-e"i>ln用—Inx\B.e"i—e"2>]n毛一Inx\

C,X2e”1>xie“2D.苞e血

【题型二】指对跨阶同构型

【典例1】设实数相>0,若对任意的％£(l,+oo),不等式2/如-丝..0恒成立，则实数力的

m

取值范围是()

A.[—，+8)B.[—,+oo)C.[1f+oo)D.\c,+oo)

2e2

【典例2】已知avO,不等式/K+a/nx.O对任意的实数x>2恒成立，则实数〃的最小值

为()

A.-2eB.-eC.--D.

e2e

【典例3]已知函数/(x)=e“-or和g(x)=改一历x有相同的最小值.

(1)求Q；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=/(%)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【题型三】零点同构型

【典例1]已知函数f(x)=xex-a(x+lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是.

【典例2]已知xo是函数_f(x)=x%L2+]nx—2的零点，则e-o+ln刘=.

【典例3】已知f(x)=xlnx+^x'+i,若关于x的方程於E=/(X)—]y+ax—i有两个不

同的实数解，求a的取值范围.

【题型四】转化为同源函数解决

【典例1】已知函数f(x)=lnx—ax+1,其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点

力(荀，/Ui)),B5,f(热))，直线46的斜率为A,若为+丫2+4>0恒成立，求a的取值范

【典例2】已知函数f{x}=aln矛+聂，在其图象上任取两个不同的点P(x”㈤，0(如再)(为

>xj,总能使得TD>2,则实数a的取值范围为()

X1—X2

A.(1,+°°)B.[1,+8)

C.(1,2)D.[1,2]

【题型五】与函数单调性有关的双变量问题

[典例1】已知函数八乃=11nx+a/_3x

(1)若函数f(x)的图像在点(1/(1))处的切线方程为y=-2,求函数f(£的极小值；

⑵若a=1，对于任意外事E[1,5]>当孙<必时，不等式-/(x2)>四2恒

成立，求实数m的取值范围.

【题型六】与极值点有关的双变量问题

【典例1】设函数/7x)=\：vabixia>0)•

⑴求函数/•(、)的单调区间；

⑵若f(x)存在两个极值点Xi，X]，证明：”手立>4a-；.

【题型七】整体代换

【典例1】设函数/'(x)=lnx—ax,若广(x)有两个相异零点xi,X2,求证：Inxi+

InX2>2.

【题型八】构造一元函数求解双变量问题

【典例11已知函数=e'ln(1+x).

⑴求曲线寸=f(.x)在点(0/0))处的切线方程；

⑵设g(X)=/(x),讨论函数g(x)在［。,+8)上的单调性；

⑶证明：对任意的5/G(0,+«),有f(s+t)>f(s)+f(ty

【题型九】构造具体函数解决双变量问题

【典例1】已知函数f(x)=x(l—lnx).

⑴讨论Ax)的单调性；

(2)设a,6为两个不相等的正数，且61na—alnb=a-b,证明：2〈工+)心.

ab

三、【培优训练】

【训练一】已知函数_f(x)=--x+dlnx.

x

⑴试讨论函数Ax)的单调性；

⑵设矛1,X2是F(x)的两个极值点，且上2>矛1,设g(x)=f(矛1)—f(x3—3—2)(矛1—为)，证

明：g(x)>0.

【训练二】已知函数广(x)=2aln(x+l)—王一1,g^x)=e-2ax.

(1)讨论Hx)的单调性；

(2)若对任意的［0,+8),广(才)+g(x)20恒成立，求实数a的取值范围.

【训练三】已知Ax)=2x+1—b(a£R).若荀，至为方程广5)=1的两个相异的实根，求

丁।2

证：Xl+X2>~.

a

四、【强化测试】

1.已知函数f^x)=2ax+bx~1—2Inx(a£R).当^r>y>e—1时,求证:exln(y+l)>e'ln(x

+1).

2.已知函数f(x)=e"—alnx(其中a为参数)，若对任意(0,+°°),不等式f(x)>alnd

恒成立，则正实数a的取值范围是.

3.已知函数_f(x)=(x—2)e'+a(x—l)2有两个零点.a>0,设布，用是F(x)的两个零点,

证明：XI+X2<2.

4.已知F(x)=ae"T—lnx+lna,若广(x)2L求a的取值范围.

5.设函数f(x)