山东省淄博市2024届高三年级下册一模考试数学试题（解析版）

淄博市2023-2024学年度高三模拟考试

数学试卷

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一

项是符合题目要求的.

1.抛物线的焦点坐标为（）

A.（1,0）B.（0,1）C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线焦点坐标公式可得答案.

【详解】y2=4x=2x2x,即。=2,则其焦点坐标为（1,0）,

故选：A.

2.某圆锥的侧面积为16兀，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）

A.2B.4C.2A/2D.4a

【答案】C

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为/,底面半径为小由题意得到2兀厂=兀/求解.

【详解】设圆锥的母线长为/,底面半径为「，即侧面展开图的半径为/,侧面展开图的弧长为兀/.

又圆锥的底面周长为2兀7，所以2口=兀/,即圆锥的母线长/=2几

所以圆锥的侧面积为%rl=271r2=16兀，

解得r=2V2.

故选：C.

3.记为等差数列｛%｝的前几项和，若%+%=10,%。6=35,则4=()

A.20B.16C.14D.12

【答案】D

【解析】

【分析】由等差数列的性质求得生,然后依次求得“6,公差，最后求得

【详解】•••｛4｝是等差数列,

%=2a$—10,%=5,所以％=56=7,

二公差d=&-。5=2,

q=%—4d——3,

6x5

56=6x(-3)+^-x2=12,

故选：D.

TT

4.已知函数/(尤)=sin(2尤则下列结论中正确的是()

A.函数Ax)的最小正周期T=2兀

B.函数/(x)的图象关于点,0)中心对称

7T

C.函数/(X)的图象关于直线兀=—对称

6

TT

D.函数/(')在区间[0,—]上单调递增

4

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得.

JT971

【详解】对于A,函数〃x)=sin(2x-g)的最小正周期7=彳=兀,A错误；

对于B,由7•(*=sin(2弯-勺=170,得函数段)的图象不关于点*,0)对称，B错误；

对于C,由/[E]=sin]2x6—三]=0#±1,得函数的图象不关于直线x对称，C错误;

JIJIJIJIJIJI

对于D,当xe[0,—]时，2x——e[——而正弦函数y=$也方在[——上单调递增，

433636

jr

因此函数AM在区间［0,—］上单调递增，D正确.

4

故选：D

5.小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数6^2.71828…的前6位数字2,7,1,8,2,8进

行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不

同密码种数为()

A.24B.16C.12D.10

【答案】B

【解析】

【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可.

【详解】若两个2之间是8,则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；

828217；828271；782821；182827；178282；718282,共12种

若两个2之间是1或7,则有272818；818272；212878；878212,共4种；

则总共有16种，

故选：B.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知向量Q4与03关于x轴对称，向量若满足

的点A的轨迹为E,贝I()

A.E是一条垂直于x轴的直线B.E是一个半径为1的圆

C.E是两条平行直线D.E是椭圆

【答案】B

【解析】

【分析】设A(羽y),由题有。4=(九,y),OB=(x,-y)，代入画2+aAB=°化简即可得出答案.

【详解】设4(羽y)，由题有QA=(x,y),OB=(x-y\

所以3(x,—y),AB=(O,-2y),

所以^^+心初:尤2+y2_2y=0,即炉+(,_1)2=］,

所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆，

故选：B.

713兀,6tan[；+a)+4cos

7.若a£=5cos2。，则sin2c=(

4'T

1271

B.—D.

25255

【答案】C

【解析】

【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.

7Tref^-,7iI,得仪二/一：，贝（j6tan%+4cosH-1=5cos121-]

【详解I令1=—+。，

4

即6tan1+4sin.=5sin2.=10sinrcos%,整理得（585%+3）（005,-1）=。，且cos%<0,

3

则sin2a=sinIt--=-cos2/1=l-2cos21=一

那么cost=,I2j25

故选：C.

8.已知尸i，B是椭圆和双曲线的公共焦点，P，e是它们的两个公共点，且尸，。关于原点对称,

24e23e2

NPgQ=—，若椭圆的离心率为/,双曲线的离心率为与，贝U方\+丁々的最小值是（）

qII与

A2+6R1+73「2gn4石

3333

【答案】A

【解析】

【分析】设出椭圆的长半轴长修，双曲线的实半轴长为的，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出

6,02的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.

【详解】如图，设椭圆的长半轴长为4,双曲线的实半轴长为出，

则根据椭圆及双曲线定义得：归国+归闾=2%|/狎―归闻=2%,

.•.|%/+%,1明=。「。2,^\F}F2\=2C,ZPF2Q=—,

7T

根据椭圆与双曲线的对称性知四边形尸耳。耳为平行四边形，则/大尸鸟二§，

则在工中，由余弦定理得，4c2=（弓+a2）+（弓_。2）_2（q+42）（6,

13

化简得+3婚=4c2,即丁+方=4,

e\

/、

/

e；3e：131313^11

则Vt+hF+=+1+=+1X—

4+i1

,+1纥+3X+l4+14+e\02)6

e\e2)

、

3।34+1

7+1

1

=­X4+^—+>

6

7+1

e\

2+73

=-1X(4+2A/3)

63

、2\2

=3艮+1

X+ie；=W1+4<1

11厂时等号成立,

当且仅当《「2gJ,即<

\3324+9V3,

-----1-----=4=------------->1

4£8-3A/337

故选：A.

13,

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到方+方=4,最后对原式变形再利用基本不等式

eie2

即可求出其最小值.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（）

A.若样本数据看,%,%,%,X5,%的方差为2,则数据3石一1,3々-1,3%-1,3%一1,3%-1的方

差为17

B.一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是11.5

C.用决定系数发比较两个模型的拟合效果时，若发越大，则相应模型的拟合效果越好

D.以模型y=ce”去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得线性回归方程为

Z=2x+0.4,则c，左的值分别是e04和2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断

C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.

【详解】对A：若样本数据引,々,・，%的方差为2,则数据3%一1,3々一1,3%一1,3%—13x5—1,3x6—1

的方差为32x2=18/17，故A错误；

对B：5X80%=4,则其第80百分位数小上=11.5,故B正确；

2

对C,根据决定系数的含义知尺2越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；

对D,以模型y=ce"去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,

则z=lny=lnc+lnek=lnc+依，由题线性回归方程为[=2x+0.4，贝iJlnc=0.4,左=2,故c,女的

值分别是e04和2,故D正确.

故选：BCD.

10.已知非零复数4，22,其共朝复数分别为则下列选项正确的是()

A.Z；=]2

B.Z]+Z2=Z]+Z2

C.若肉+1|=1,则忆―1|的最小值为2

DA=忖|

【答案】BD

【解析】

【分析】设4=。+历，Z2=c+M(a,〃,c,deR),对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轨复

数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D,根据复数的除法运算和

复数模的计算即可判断.

【详解】设4=〃+历，z2=c+di^a.b.c,deR),

22222

对A,z：=a+2abi-b,2：=^a_^=a-2abi-b,

当〃,。至少一个为0时，2；=丁，当%。均不等于0,Z；wj,故A错误；

对B,4+Z2=(〃+c)+(b+d)i,则Z1+Z2=(a+c)-Q+d)i,

而Z]+z2=a—历+c—应=(a+c)—[b+d)i,故z1+z2二+z2，故B正确；

对C,若匡+1|=1,即卜+1)+司=1,即而+1『+/=1，

即(c+l?+/=1,贝u(c,d)在复平面上表示的是以(—1,0)为圆心，半径厂=1的圆,

|z2-l|的几何意义表示为点(c,d)到点(1,0)的距离，显然(1+1)2+()2=4>1,

则点(1,0)在圆外，则圆心到定点(1,0)的距离d=2,

则点(1,0)与圆上点距离的最小值为d—r=2—1=1,故C错误;

|zjZia+bi(a+Z?i)(c+di)ac-bd+^ad+bc^i

对D,五

Z2IZ21z?c+di

Z]_ac-bd^(ad+bc^_(/+/)卜2+屋)da1+。2

ylc2+d2

而用

故」■=[，[,故D正确;

Z2Z2\

故选：BD.

11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(O。中椭圆长轴A3=4,短

轴。。=26，耳,且为下底面椭圆的左右焦点，鸟'为上底面椭圆的右焦点，AA=4,P为线段BB'

上的动点，E为线段A3'上的动点，MN为过点心的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确

的是()

A.当4月'〃平面尸的V时，P为58'的中点

B.三棱锥8'-QCD外接球的表面积为87r

C.若点。是下底面椭圆上的动点，。'是点。在上底面的射影，且。有，。'8与下底面所成的角分别为

a，B,贝Utan(a+力)的最大值为一

D.三棱锥石-PMN体积的最大值为8

【答案】ACD

【解析】

【分析】当片用'〃平面PMN时，可得耳〃笈。，确定P点位置判断选项A；几何法求三棱锥月'—gCD

外接球的半径，计算表面积判断选项B；令|。制=同。阊=“，得tan(a+/?)=i-2由

1111—\jn—2j—12

I〈机43求最大值判断选项C；由％.PMN=%_阳2+匕一的2，要使三棱锥石―体积最大，只需

△PEF。的面积和M,N到平面PE8距离之和都最大，求结果判断选项D.

【详解】由题设，长轴长|人曰=|40=4,短轴长|CD|=2G，

则|O叫=|O阊=|。引=1,

得心“分别是08,0®中点，而柱体中ABB'A为矩形，连接08’,

由〃。耳，旧引=|。片|=1,.•.四边形耳。5月为平行四边形，0B」FE，

当F[F；H平面PMN时，FEU平面ABB'A,平面ABBAn平面PMN=尸乙，

则耳耳'〃。鸟，有OBUIPF],

△O班'中，工是。8中点，则P为班,的中点，A选项正确；

OF21CD,\CD\=2^,|(?K|=1,则△8CD中，|飞|=|£＞闾=2,ZCF2D=12Q,

“1\CD\

△^CD外接圆半径为r=-xJ'=2,

2sinZCF2D

玛巴'〃A4'，则月月'，平面8CD,

22

三棱锥F；-F2CD外接球的半径为R=>/2+2=272，

所以外接球的表面积为4兀R2=32TT，B选项错误；

点。是下底面椭圆上的动点，Q'是点。在上底面的射影，且。'K，。线与下底面所成的角分别为名万，

令制=帆,|。笈|=〃，则加+〃=4,又

e4_4(°、tana+tan力4(m+n)16

则tana=—,tan,二—,tan(a+/?)=------------=-------=-------,

mn1-tanatan/?mn—16mn—16

z616

tan(6Z+/?)=——由椭圆性质知

—\jn—2)—12

则当m=1或根=3时，tan(a+月)的最大值为一段，C选项正确;

Qf

由VE-PMN=^M-PEF2+VN-PEFZ，要使三棱锥E-PMN体积最大,

只需的面积和N到平面PEF2距离之和都最大,

=

PEFBFEBPBF

S2S?'—S?-SPEB<,令EB=a,PB=b,且[0,4],则=4—Z?,

q1/x11/、b(a-\\

uPEF=-x4x(l+〃)——xlxZ?——x〃x(4-b)=2+------

22v722v72

当Q=6=4时，有最大值SpEF2—8,

在下底面内以。为原点，构建如上图的直角坐标系，且5(0,2),则椭圆方程为5+事=1,

设A/2V:y=Zx+1,联立椭圆得(3产+4)尤2+6/%—9=0,A=144,？+1)>0,

6t9

।12Z12

令/=EINI，同一引=斤口=口，

117

由对勾函数性质可知y=3/+］在［L+8)上递增，|x“—/Jmax==3,

综上，三棱锥£—体积的最大值为工义8义3=8,D选项正确.

3

故选：ACD

【点睛】方法点睛：

本题是解析几何与立体几何的综合问题，解析几何部分要用好椭圆的定义、方程和性质，确定图形中各

点的位置，利用韦达定理解决弦长；椭圆中立体几何部分要用好几何体的结构特征，利用线面平行的性

质得线线平行，几何法解决外接球问题，几何法求线面角.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等比数列｛4｝共有2〃+1项，％=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比

q=•

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件，借助等比数列定义求解即得.

【详解】依题意，«1+«3+«5++%什1=85,即++。2/=84,

而出+。4++a2n=42,所以4=2.

故答案为：2

13.已知定义在R上的函数Ax),/'(X)为Ax)的导函数，/'(%)定义域也是R,Ax)满足

2024

/(x+1012)-/(1013-x)=4x-2,则£/(，)=.

i=l

【答案】4048

【解析】

【分析】求导得至i］/'(x)+/'(2025—x)=4,赋值累加即可.

【详解】对/(x+1012)—“1013—x)=4x—2两边同时求导得

/,(x+1012)+/,(1013-x)=4,

即/'(x)+/'(2025—x)=4,

则/'⑴+/'(2024)=4,r(2)+/'(2023)=4/'(1012)+/'(1013)=4,

2024

则4x1012=4048.

i=l

故答案为：4048.

14.设方程e£+x+e=0，lnx+x+e=0的根分另(J为p,q,函数/(x)=e'+(2+q)x,令

a===则a,6,c的大小关系为.

【答案】a>c>b

【解析】

【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出p+q,再计算判断即得.

【详解】由e*+x+e=0，得ex=-x-e，由lnx+x+e=0,f#lnx=-x-e,

依题意，直线，=—%—e与函数丁=1,丁=111%图象交点的横坐标分别为，，4,

而函数y=e、,y=lnx互为反函数，它们的图象关于直线y=%对称，又直线y=一兀一e垂直于直线

y=x,

因此直线y=-x—e与函数y=1,y=InX图象的交点关于直线,=%对称，即点(p,q)在直线

y=-x_e上，

x

则p+q=_e,f(x)^e-ex,于是/(0)==捉—ge<1,

/(-1)=”--1e=e(A/e--1)<3x^=1,而/(-1)-/(^)=-e-Ve=&(e-&-1)>0,

所以/(0)>/§)>/(g),即。>c>6.

故答案为：a>c>b

【点睛】结论点睛：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线,=%对称.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

27r

15.如图，在AA8C中，/54。=飞-,/胡。的角平分线交BC于P点，AP=2.

(1)若3C=8,求△ABC的面积;

所以cosC=Jl-sin?C=

4

^/39—A/3

sinB=sin(ZBAC+C)=sinABACcosC+cosABACsinC=

8

1+V13BC

ACBC

ABC中由正弦定理得则屈-百A/3，

sin3sinABAC

8

解得5C=T'

所以P5=5C_PC=14+2A_4=2+2^.

33

16.如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A-5CDE与一个三棱锥尸—AZ)石拼接而成，正四棱锥

A-8CDE的所有棱长均为30,AFIICD-

(1)在棱。E上找一点G,使得面ABC上面AFG,并给出证明;

(2)当=时，求点尸到面ADE的距离；

2

(3)若AF=LC。，求直线。尸与面ABC所成角的正弦值.

3

【答案】(1)当点G为OE中点时，证明见解析

⑵百

21

【解析】

【分析】(1)当点G为OE中点时，面A6C上面AFC,利用面面垂直的判定即可证明;

(2)首先证明AF上面DE尸，再利用等体积法即可；

(3)建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.

【小问1详解】

当点G为。E中点时，面面AFC,

证明如下：因为四棱锥A—5CDE是正四棱锥，所以A0=AE,AG，£)E.

在正方形BCDE中，DE//BC,所以AGL3C,

在正方形BCDE中，CDLBC,因为AE//CD,所以AEIBC,

因为4/r^47=44£47<=面人/6,

所以6C1面AFG,

因为BCu面ABC,所以面ABC上面AFG.

【小问2详解】

连接BD，CE交于点。，连接A。，0G,则AF//OG,

又因为四棱锥A—5CDE是正四棱锥，所以49上面BCDE,

所以四边形AOGE为矩形，

：.AF±FG,又AFLDE,DEcFG=G,。2/6<=面。底产，二钎，面。石尸，

11QB1Q

又尸G=AO=3,「.匕一如e=m，AF,S切片=§x^—=5，

设点尸到面ADE的距离为九K.ADE=Ld»E=2,即Lx」3x(3j5)2/=2,

2342

:.h=6，所以，点/到面ADE的距离为

【小问3详解】

因为四棱锥A—BCDE正四棱锥，所以OC,0D,两两垂直，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,3),B(0,-3,0),C(3,0,0),0(0,3,0),F(-l,l,3),

所以血=(0,3,3),CA=(-3,0,3),DF=(-1,-2,3),

n-BA=3y+3z=0

设平面ABC的法向量为"=(x,y,z),则有｛

n-CA=一3x+3z=0

取z=l，则y=T，x=l,故”=(LT,1),

设直线与平面ABC所成角为6,

,.八DFn42^42

贝!Isin0=।-~।=*——T==———,

\DF[\n\V14xV321

所以直线与平面ABC所成角的正弦值为毡2.

21

z八

AF

17.己知函数/（x）=e*-sinx-l•

（1）讨论函数/⑺在区间（0,+8）上的单调性；

（2）证明函数Ax）在区间（-兀,0］上有且仅有两个零点.

【答案】（1）单调递增；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求出函数人无）的导数，再判断导函数值的正负即得.

（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.

【小问1详解】

函数/（x）=e*-sinx-l,当x>。时，f\x）-ex-cosx>1-cosx>0,

所以/（无）在（0,+8）上的单调递增.

【小问2详解】

由（1）知，/'（x）=e*—COSX,当xe（―兀,一学时，/'（%）>0,函数/*）在（―兀,—申上单调递增,

71_

/（—兀）=尸—1<0,/（—、）=e-5〉0,因此函数/⑺在（―私一万］上有唯一零点；

7T1T

当xe（——,0］时，令g（x）=e'-cosx,求导得g'（x）=e*+sinx,8'（》）在（——,0］上单调递增，

22

<TF_71J_T

gf（——）=e2—1<0,/（0）=1〉0,则存在/仅一0）,使得/（/）=（）,

22

jr

当xe（—5，x0）时，g'（x）<0,函数g（x）,即/（x）单调递减，

当xe(Xo,O)时，g'(x)>0,函数g(x),即/(x)单调递增,

又广(一巴)=屋方〉0,/'(/)<广(0)=0,则存在T，x0)，使得尸(占)=0,

22

JT

当xe(—5，七)时，/(九)>0,函数/⑺单调递增，当xe(Xi，0)时，/(X)<0,函数/")单调递减,

而/(_、)=e3〉0,/(0)=0,因此函数7(x)(—I，。］上有唯一零点,

所以函数在区间(-兀,0］上有且仅有两个零点.

18.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻

炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.

年龄

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

次数

每周0~2次70553659

每周3~4次25404431

每周5次及以上552010

(1)若把年龄在［20,40)的锻炼者称为青年，年龄在［40,60］的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2

次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值。=0.01的独立性检验判

断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联;

(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽

取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在［30,40)与［50,60］的人数分别为

X,Y,^=\X-Y\,求］的分布列与期望;

(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项

目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球,

I?2

则星期天选择跑步的概率分别为求小明星期天选择跑步的概率.

353

n(ad-be)"

参考公式：J2n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附:

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

41

【答案】（1）有关（2）分布列见解析；期望为六

56

（3）—

15

【解析】

【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；

（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；

（3）利用全概率公式即可得到答案.

【小问1详解】

零假设：Ho体育锻炼频率的高低与年龄无关，

由题得2x2列联表如下：

青年中年合计

体育锻炼频率低12595220

体育锻炼频率高75105180

合计200200400

2400x（125x105-75x95）2

r=-----------------------®9.091〉6.635,

200x200x220x180

根据小概率值a=0.01的独立性检验推断H。不成立，

即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

【小问2详解】

由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在［30,40）,［50,60］内的人数分别为1,2,

依题意，&的所有可能取值分别为为0,1,2,

c3c1C120

所以尸6=0）=。（乂=0,「=0）+尸（乂=1,「=1）=送+%=”，

C；C；56

c2clC2131

PC=i)=p(x=o,y=i)+p(x=Ly=o)+p(x=i,y=2)=M+U+k有

所以4的分布列：：

012

20315

P

565656

2031541

所以4的数学期望为EG)=0x，+lxJ+2x3=—.

56565656

【小问3详解】

记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A,B,C,

星期天选择跑步为事件D,则P(A)=1,P(B)=1,P(C)=|,

122

P(D\A)=-,P(D\B)=-,P(D\C)=~,

所以P(D)=P(A)P(D\A)+P(B)P(D\B)+P(QP(D\C)

1112127

=­X—+—X—