第三章 测量装置的特性cg

第三章测量装置基本特性§3-1概述

一、对测量装置的基本要求★典型的测量装置(如图3-1)所示： 第三章测量装置基本特性图3-1测试系统的组成测量装置h(t)/H(f)

输入x(t)/X(f)输出y(t)/Y(f)测量装置示意图测量装置的基本要求：——实现不失真测量。★在测量工作中，一般把研究对象和测量装置作为一个系统来看待，因此，通常的工程测试问题总是处理输入信号x(t)、测量装置的特性h(t)和输出信号y(t)三者之间的关系，如下图所示：§3-1概述

系统分析的三类基本问题为：(1)已知测量装置的特性，输出可测，推断导致该输出的输入量(反求)

。(2)已知测量装置的特性和输入，推断和估计该装置的输出量(预测)。(3)由已知或观测装置的输入、输出，推断装置的特性(系统辨识)

。§3-1概述测量装置h(t)/H(f)

输入x(t)/X(f)输出y(t)/Y(f)测量装置示意图三、测量装置的性能指标

1.精度

测量仪器的精度表征仪器给出的指示值与被测量的真值的一致程度。常用相对误差和引用误差来表示。二、测量装置的传递特性

——表示系统的输入与输出间对应关系的性能。系统的静态特性系统的动态特性§3-1概述§3-1概述测量误差

任何测量均有误差，误差E是指示值与真值或准确值的差：

E＝xm-x

xm—指示值

x—真值或准确值

按误差的性质可将测量误差分成随机误差、系统误差以及过失或非法误差。（1）系统误差每次测量同一量时，呈现出相同或确定性方式的那些测量误差称为系统误差。（2）随机误差每次测量同一量时，其数值均不一致、但却具有零均值的那些测量误差称为随机误差。（3）过失或非法误差意想不到而存在的误差，如实验中因过失或错误引起的误差，实验之后的计算误差。§3-1概述根据测量的类型也可将误差分为静态误差和动态误差。（1）静态误差取决于测量值的大小，其本身不是时间的函数，这种误差称为静态误差。（2）动态误差不仅取决于测量值的大小，而且还取决于测量值的时间过程，这种误差称为动态误差。§3-1概述2、精密度也称为指示值的重复性，它表示测量仪器的随机误差接近于零的程度，是在相同测量条件下给出相同指示值的能力。3、分辨力（分辨率）表征测量系统有效辨别输入量最小变化量的能力。4、测量范围（量程）正常工作时所能测量的量值范围，即能够承受最大输入量的能力。

§3-1概述…

…

1）符合叠加原理四、测量装置的数学模型

常系数线性微分方程 §3-1概述

3）微分特性

4）积分特性

5）频率不变原理（频率保持性）

输入信号，稳态输出必是同频率的信号。

2）比例特性§3-1概述

线性系统的这些主要特性，特别是符合叠加原理和频率保持性，在测量工作中具有重要作用。若自变量t为时间，则称为时不变线性系统。（式）§3-1概述实际测试，方程式变为a0、a1、…、an——标定常数。§3-2测量装置的静态特性静态测量微分方程式

（式）第三章、测量装置基本特性

测量装置的静态特性就是在静态测量条件下描述实际测量装置与理想线性系统的接近程度。通常用线性度、滞后、重复性、灵敏度等指标来表征。常用指标：1．线性度（线性误差）——测量装置输出与输入间保持比例关系的程度。静态校准、校准（标定）曲线

在静态测量中，用实验来确定被测量的实际值与测量装置指示值之间函数关系的过程称为静态校准，所得的关系曲线称为校准（标定）曲线。

图3-3表示的是实际输出与输入的标定曲线与拟合直线（或称参考直线）之间的关系。§3-2

测量装置的静态特性ABxy测量装置的线性度xooAH滞后偏差y§3-2

测量装置的静态特性2.滞后——测量系统在全量程范围内，输入量由小到大（正行程）或由大到小（反行程）所得输出量不一致的程度如图3-4所示。§3-2

测量装置的静态特性

把标定曲线与直线的接近程度称为测量装置的线性，线性的好坏用线性度表示，它是标定曲线与直线的最大偏差B与测量装置满量程输出值A之比的百分数。滞后产生的原因：1）测试系统中有吸收能量的元件(滞后特性)；2）机械结构中存在摩擦和游隙等。3.重复性

——在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量时，其测量结果间不一致的程度。用输出最大不重复误差与满量程输出之比的百分数表示。§3-2

测量装置的静态特性

常称为：增益、放大倍数

★整个测量系统灵敏度★注意：往往灵敏度越高，测量范围越窄，测量装置稳定性也越差，因此应合理选择灵敏度4.灵敏度

——测量装置在静态测量条件下输出量的变化量对输入量的变化量的比值。§3-2

测量装置的静态特性§3-3测量装置的动态特性测量装置的动态特性——测量装置对随时间变化的输入量的响应特性。了解和掌握测量装置动态特性的目的：(1)根据信号频率范围及测量误差的要求确定测量装置。(2)已知测量装置的动态特性，估算可测量信号的频率范围与对应的动态误差。§3-3

测量装置的动态特性…

…

1）符合叠加原理测量装置的数学模型常系数线性微分方程 §3-1概述（3-1）

3）微分特性

4）积分特性

5）频率不变原理（频率保持性）

输入信号，稳态输出必是同频率的信号。

2）比例特性§3-1概述n=1——一阶系统的传递函数

n=2——二阶系统的传递函数一、传递函数1、传递函数H(s)：

——初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比（式3-1）。

§3-3

测量装置的动态特性…

…

传递函数特点：(1)

H(s)与输入无关，只反映系统的特性。(2)H(s)与具体的物理结构无关，只反映系统的响应特性。(3)H(s)对任一具体的输入都唯一给出相应的输出及其量纲。(4)H(s)中的分母完全由系统（包括研究对象和测量装置）的结构确定，分子与输入（激励）点的位置、所测变量及测点布置等情况有关。§3-3

测量装置的动态特性串联并联§3-3

测量装置的动态特性2、频率（响应）函数测量装置的频率响应特性H(jω)在初始条件为零的条件下，系统输出y(t)的傅氏变换Y(jω)与输入量x(t)的傅氏变换X(jω)之比。频率响应函数与传递函数的区别与联系：对于一个从t=0开始施加的简谐信号激励来说，采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两部分组成：由激励引起的、反映系统固有特性的瞬态输出以及该激励所对应的系统稳态输出。频率响应函数表征的仅仅是系统对简谐输入信号的稳态输出。频率响应函数是传递函数的s算子用jω替代得出。复函数的模，幅频特性复函数的模，相频特性频率响应函数试验求取：（1）傅里叶变化法（2）实验法二、常见测量系统的数学模型1.一阶系统—惯性环节（非周期环节）如:液柱式温度计、RC低通滤波器、弹簧-阻尼系统等。(1)一阶系统的微分方程

例：弹簧-阻尼系统如下页图所示§3-3

测量装置的动态特性令则：kc

y(t)（位移）

x(t)（力）

弹簧—阻尼系统§3-3

测量装置的动态特性一阶系统的传递函数一阶系统的频率特性2.二阶系统—振荡环节如:质量-弹簧-阻尼系统、RLC电路、动圈式仪表。τ—时间常数，由系统的固有属性—结构参数决定。§3-3

测量装置的动态特性令S=1，则有令——系统的静态灵敏度。

——阻尼率；——系统的固有频率；

上式变为kcy(t)

x(t)m（1）二阶系统的微分方程如图3-6有一质量-弹簧-阻尼系统§3-3

测量装置的动态特性（2）二阶系统的传递函数（3）二阶系统的频率特性三、动态特性参数1．阶跃响应1）一阶系统的阶跃响应§3-3

测量装置的动态特性令S=1输入阶跃信号当A=1时，输入为单位阶跃信号（函数）。微分方程的解为（令S=1）①y(t)为一指数曲线。②y(0)=0，y(∞)=1。③在0到∞的时间范围内，总存在过渡响应动误差。④τ↑，曲线趋于1的时间越y(t)tτ2τ3τ10τ小τ大0.63§3-3

测量装置的动态特性长，输出与输入差异越大。t=3τ或4τ为响应时间。2）二阶系统的阶跃响应(如图3-7所示)（微分方程）0<ξ<1（欠阻尼状态）ξ=1（临界阻尼状态）§3-3

测量装置的动态特性ξ>1（过阻尼状态）

阶跃响应性质：①响应曲线形状三种（如图3-7）。②响应曲线形状取决于ξ，ξ通常设计在0.6～0.8之间。§3-3

测量装置的动态特性③响应速度随固有频率的变化而不同，当ξ一定，ωn越大，响应速度越快。图3-7二阶系统阶跃响应§3-3

测量装置的动态特性3）二阶系统时域动态性能指标(如图3-8）①延迟时间td——单位阶跃响应曲线达到其终值的50%所需的时间。②上升时间tr——单位阶跃响应曲线从其终值的10%上升到终值的90%所需的时间。③峰值时间tp

§3-3

测量装置的动态特性——单位阶跃响应曲线从零开始超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。图3-8二阶系统单位阶跃响应0.10.50.91.00trtdtptsMp允许误差0.05或0.02§3-3

测量装置的动态特性④响应时间ts(如图3-8）——单位阶跃响应曲线达到并保持在响应曲线终值允许的误差范围内所需的时间。⑤超调量Ｍ％

——单位阶跃响应曲线的最大值与响应曲线终值的差值对终值之比的百分数。2.频率响应１）一阶系统§3-3

测量装置的动态特性输入正弦信号x(t)=x0sinωt，频率响应函数幅频特性

相频特性幅频特性图和相频特性图，见下页。§3-3

测量装置的动态特性图3-9一阶系统的幅频特性和相频特性ωτA（ω）0.10.20.51.025102.01.00.50.30.20.1(a)幅频特性0.10.20.51.02510-80°-40°-60°-20°0°ωτψ（ω）(b)相频特性§3-3

测量装置的动态特性特点：①当ωτ<0.3时，|H(jω)|接近于1，输出与输入幅值几乎相等，如图3-9。②当ω增大时，|H(jω)|减小，φ(ω)增大。③当ω=1/τ时，H(jω)|=0.707（-3dB），φ=-45°。ω=1/τ点称为转折频率。④

τ越小，工作频率范围越宽，响应速度越快。§3-3

测量装置的动态特性2）二阶系统输入正弦信号x(t)=x0sinωt，频率响应函数幅频特性相频特性

幅频特性图3-10（a)和相频特性图3-10(b)§3-3

测量装置的动态特性图3-10二阶系统幅频特性§3-3

测量装置的动态特性(a)图3-11二阶系统相频特性§3-3

测量装置的动态特性(b)二阶系统伯德图二阶系统乃奎斯特图特点：①低频段频率比λ=ω/ωn很小时，A(ω)≈1，φ(ω)与ω/ωn近似线性关系，如图3-10(a)、(b)。③λ=ω/ωn=1时，A(ω)=1/2ξ，系统发生共振，幅频特性的幅值取决于ξ，输出相位滞90°。②高频段当频率比λ=ω/ωn＞＞1时，A(ω)→0，相位滞后近180°。§3-3

测量装置的动态特性④ξ=0.6～0.8。如图3-10(a)、(b)⑤谐振频率

当ξ<0.707时，信号频率等于谐振频率时系统发生共振；当ξ≥0.707时，系统无谐振，频率特性的模|H(jω)|随ω增加而减小。3）动态误差与信号频率的关系广义动态误差：一个测量系统的频率特性为H（jω），它要执行的功能用理想频率特性表示为H(0)，二者之间存在误差。§3-3

测量装置的动态特性动态幅值误差为相位误差为式中|H(ω)|——测量系统频率特性的模；|H(0)|——理想频率特性的模；§3-3

测量装置的动态特性——测量系统相频特性；——理想相频特性。

①一阶系统的动态误差

动态幅值误差表达式为

相位误差的表达式就是一阶系统的相频特性②二阶系统的动态误差二阶系统动态幅值误差表达式为

§3-3

测量装置的动态特性

相位误差的表达式就是二阶系统的相频特性五、不失真测量条件对测量装置要求：频率特性好，灵敏度高，响应快，时间滞后小…输出y(t)、输入x(t)满足式中：A0和τ0为常数，输出、输入波形完全相似，没有失真（波形的不失真复现）§3-3

测量装置的动态特性该测试系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了而已。这种情况下，认为测试系统具有不失真的特性。§3-3

测量装置的动态特性y(t)=A0x(t-τ0)的傅立叶变换测量系统的频率响应§3-3

测量装置的动态特性波形不失真，满足：幅频特性

相频特性

措施：1）选用合适测量装置2）对输入信号前置处理对于一阶系统，时间常数越小越好。对于二阶系统，特性曲线上有两个频段值得注意：1）ω＜0.3ωn范围图3-10(a)(b)φ(ω)的数值较小，且相频特性接近直线，A(ω)在该频率范围内的变化不超过10%。§3-3

测量装置的动态特性2）ω＞(2.5～3)ωn

范围φ(ω)接近180°，且随ω变化甚小。在实际测试或数据处理中，用减去固定相位差或把测量信号反相180°，则相频特性基本满足不失真测量条件。测试系统静态特性的测定测试系统的静态特性测定是一种特殊的测试，它是选择经过校准的“标准”静态量作为测试系统的输入，求出其输入、输出特性曲线。所采用的“标准”输入量误差应当是所要求测试结果误差的1/3～1/5或更小。具体的标定过程如下：

作输入-输出特性曲线

求重复性误差H1和H2

求作正反行程的平均输入-输出曲线

求回程误差

求作定度曲线

求作拟合直线，计算非线性误差和灵敏度

作输入-输出特性曲线将“标准”输入量在满量程的测量范围内均匀地等分成n个输入点，xi(i=1,2,…,n),按正反行程进行相同的次测量（一次测量包括一个正行程和一个反行程），得到2m条输入、输出特性曲线。求重复性误差H1和H2

正行程的重复性误差H1为：式中：H1i-输入量xi所对应正行程的重复性误差（i=1,2,…,n）；A -测试系统的满量程值；{H1i}max-在满量程A内正行程中各点重复性误差的最大值。反行程的重复性误差H2为式中：H2i-输入量xi所对应的反行程的重复性误差（i=1,2,…,n）；{H2i}max-在满量程内反行程中各点重复性误差的最大值。求作正反行程的平均输入-输出曲线计算正行程曲线

和反行程曲线式中和分别为第j次正行程曲线和反行程曲线求回程误差

求作定度曲线将定度曲线作为测试系统的实际输入-输出特性曲线，可以消除各种误差的影响，使其更接近实际输入-输出曲线。求作拟合直线，计算非线性误差和灵敏度根据定度曲线，按最小二乘法求作拟合直线。拟合直线的斜率即为灵敏度。2、阶跃响应法1）一阶系统的动态特性参数简单方法：测得一阶系统的阶跃响应，取该输出值达到最终稳态值的63%所经过的时间——时间常数。——取决于某些个别的瞬时值，未涉及响应的全过程，测量结果的可靠性较差。常用方法：

一阶系统的阶跃响应表达式，改写为§3-3

测量装置的动态特性六、测量装置动态特性参数的测定

1、频率响应法

z和t成线性关系。根据阶跃响应曲线测得的y(t)值，作出z-t曲线。曲线的斜率就是时间常数。§3-3

测量装置的动态特性2）二阶系统的动态特性参数

二阶系统均设计成欠阻尼系统如下图所示阶跃响应的振荡角频率为周期

将t=π/ωd代入欠阻尼状态时的响应函数最大超调量出现时间§3-3

测量装置的动态特性§3-3

测量装置的动态特性二阶系统阶跃响应曲线从阶跃响应曲线（如上图）测得Ｍ1，就可求出ξ。如果测得阶跃响应较长的瞬变过程，则可利用任意两个超调量Ｍi和Ｍi+n来求得阻尼率。n为该两峰值相隔的整周期数，对应时间分别为ti和ti+n，有求得：§3-3

测量装置的动态特性将ti和ti+n分别代入式（3-22）求出Ｍi和Ｍi+n，令有联立求解，得从二阶系统的阶跃响应曲线上，测取周期Td，将Td和ξ代入即可求出ωn。§3-3

测量装置的动态特性阶跃响应函数测量实验求阶跃响应函数简单明了，产生一个阶跃信号，再测量系统输出即可。案例：桥梁固有频率测量原理：在桥中悬挂重物，然后突然剪断绳索，产生阶跃激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。§3-3

测量装置的动态特性频率响应法是以一组频率可调的标准正弦信号作为系统的输入，通过对系统输出幅值和相位的测试，获得系统的动态特性参数。这种方法实质上是一种稳态响应法，即通过输出的稳态响应来标定系统的动态特性。§3-3

测量装置的动态特性一阶系统对于一阶系统直接利用下式求取时间常数τ。即§3-3

测量装置的动态特性在相频特性曲线上，当=-90°时可求出固有频率，由于，所以，作出曲线在处的切线，可求出阻尼比。二阶系统精确解法§3-3

测量装置的动态特性七、测试环节的串联和并联

如下图a所示的两传递函数分别为H1(s)和H2(s)的环节串联而成的测试系统，其传递函数为一般地，对由n个环节串联而成的系统，有

如下图b所示的两传递函数