湖南省永州祁阳县联考2024届中考数学五模试卷含解析

湖南省永州祁阳县联考2024年中考数学五模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.学完分式运算后,老师出了一道题“计算：3+二”-

小明的做法：原式=（无+?（》_2）_与工/+%—6-x—2炉—8

%2-4%2-4

小亮的做法：原式—(x+3)(%—2)+(2—x)=x2+x—6+2—JV=X2—4；

后T—X+3x-2_x+31x+3-1

小芳的做法:原式一ITi

(x+2)(x—2)x+2x+2x+2

其中正确的是（）

A.小明B.小亮C.小芳D.没有正确的

2.“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，标准排水量57000吨，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数

法表示为

A.675X102B.67.5X102C.6.75X104D.6.75x10s

3.从边长为。的大正方形纸板中挖去一个边长为沙的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然

后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）

A.a2-b2=(«-Z?)2B.(a+Z?)=a2+2ab+b1

C.(a—b^~=a?—2ab+b?D.ci~一b~=(a+b)(a—

4.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

5.将某不等式组的解集T<x<3表示在数轴上，下列表示正确的是（)

A，-3-2-10123B--3-2-t012

C-3-2-1612P-D--3-24012

6.如图，△ABC中，NCAB=65。，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC〃AB,则NBAE

等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.如果关于x的方程x2-4kx+l=0有实数根，那么k的取值范围是（）

A.k>0B.k>0C.k>4D.k>4

8.2018年，我国将加大精准扶贫力度，今年再减少农村贫困人口1000万以上，完成异地扶贫搬迁280万人.其中数

据280万用科学计数法表示为（）

A.2.8xl05B.2.8x10®C.28xl05D.0.28xl07

9.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列

结论中不一定成立的是（）

C.AB=CD,AD^BCD.ZDAB+ZBCD^180°

10.如图，R3AOB中，ZAOB=90°,OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（百，0）,（0,1）,把

RtAAOB沿着AB对折得到RtAAO，B,则点O,的坐标为（）

A（35R（63、「（2右5、n,4石3、

22223232

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在AABC中，AB=AC,BC=8.0是△ABC的外接圆，其半径为5.若点A在优弧BC上，贝！Itan/ABC

的值为.

12.小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家

餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：

评价条数等级

五星四星三星二星一星合计

餐厅

甲53821096129271000

乙460187154169301000

丙4863888113321000

（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在________（填“甲”、

“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.

13.分解因式：2x2-8=

14.已知圆锥的底面半径为3cm,侧面积为ISkcnP,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角。.

15.如图，一根直立于水平地面的木杆A5在灯光下形成影子AC（AOA5）,当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直

至到达地面时，影子的长度发生变化.已知AE=5m,在旋转过程中，影长的最大值为5机，最小值3机，且影长最大

时，木杆与光线垂直，则路灯Eb的高度为m.

CAE

16.分解因式：a3b+2a2b2+ab3=,

22无

17.计算一-——；的结果为.

x—1x—1

三、解答题（共7小题，满分69分）

（5\x2—6x+9

18.（1。分）先化简，再求修其中X-

19.（5分）体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级136名女生中,

随机抽取了20名女生，进行了1分钟仰卧起坐测试，获得数据如下：

收集数据：抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩（个）如下：

38464252554359462538

35455148574947535849

（1）整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整:

范围25<x<2930<x<3435<x<3940<X<4445<x<4950<x<5455<x<59

人数

———————

（说明：每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分）

（2）分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示：

平均数中位数满分率

46.847.545%

得出结论：①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为:

②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：

平均数中位数满分率

45.34951.2%

请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩，为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估，并

提出相应建议.

20.（8分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线Gi：y=m*+2j§（盟邦）向右平移出个单位长度后得到抛物线

Gi,点4是抛物线G2的顶点.

（1）直接写出点A的坐标；

（2）过点（0,也）且平行于x轴的直线/与抛物线G2交于3,C两点.

①当NR4C=90。时.求抛物线G2的表达式；

②若60°<ZBAC<120°,直接写出m的取值范围.

21.（10分）如图1,在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转,

使得点A的对应点E落在射线上，连接3Q,设(0。＜。＜60°且。/30°).

图1备用图

（1）当0°＜。＜30°时,

①在图1中依题意画出图形，并求/BQE(用含a的式子表示)；

②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系，并加以证明；

(2)当30°＜60°时，直接写出线段CE,AC,之间的数量关系.

22.(10分)已知：如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，△048的顶点4、5的坐标分别是A(0,5),B(3,

1),过点3画交直线y=-机伽＞》于点C,连结AC,以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点O,

连结A。、CD.

(1)求证：

(2)设△AC。的面积为s,求s关于加的函数关系式.

(3)若四边形ABC。恰有一组对边平行，求加的值.

23.(12分)如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、。不重合)，交直线OA于点Q,

再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这

个定值；如果不是，说明理由；

(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m,0)是x轴正

半轴上的动点，且满足NBAE=NBED=NAOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2

个？

24.(14分)科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程.①在科研所到宿

舍楼之间修一条高科技的道路；②对宿含楼进行防辐射处理；已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间

的关系式为y=ax+b(0SxW3).当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿含楼的距离

为3km或大于3km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设修路的费用与xz成正比，且比例系数为m万元，

配套工程费亚=防辐射费+修路费.

⑴当科研所到宿舍楼的距离x=3km时，防辐射费丫=一万元，a=,b=；

⑵若m=90时，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？

⑶如果最低配套工程费不超过675万元，且科研所到宿含楼的距离小于等于3km,求m的范围？

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解题分析】

试题解析：立t

x+2x2-4

x+3x-2

x+2(%+2)(%-2)

_x+31

x+2x+2

x+3-1

x+2

_x+2

x+2

=1.

所以正确的应是小芳.

故选C.

2、C

【解题分析】

根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为axlO,其中lW|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值

以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当

该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0).

【题目详解】

67500一共5位，从而67500=6.75x103

故选C.

3、D

【解题分析】

分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式.

【题目详解】

阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2-b2,乙的面积=(a+b)(a-b).

即：a2-b2=(a+b)(a-b).

所以验证成立的公式为：a2-b2=(a+b)(a-b).

故选：D.

【题目点拨】

考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质.

4、B

【解题分析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

考点：轴对称图形和中心对称图形

5,B

【解题分析】

分析：本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用畛"，“W”表示，空心圆点不包括该点用表示，

大于向右小于向左.

点睛:不等式组的解集为在数轴表示-1和3以及两者之间的部分：

，1111I，—>

-2-1012…

故选B.

点睛:本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>之向右画；<S向左画）,数轴上的点把

数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几

个就要几个.在表示解集时畛”,仁”要用实心圆点表示;”要用空心圆点表示.

6、C

【解题分析】

试题分析：VDC/7AB,.".ZDCA=ZCAB=65°.

AABC绕点A旋转至以AED的位置，:.ZBAE=ZCAD,AC=AD.

/.ZADC=ZDCA="65°."/.ZCAD=180°-ZADC-ZDCA="50°.".".ZBAE=50o.

故选C.

考点：1.面动旋转问题；2.平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质.

7、D

【解题分析】

由被开方数非负结合根的判别式A即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围.

【题目详解】

••・关于x的方程X2-VTX+1=0有实数根，

Jk>0

A=（A/T）2-4xlxl>0

解得：k>l.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了根的判别式，牢记“当AK）时，方程有实数根”是解题的关键.

8、B

【解题分析】

分析：科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小

数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，"是正数；当原数的绝对值＜1时，n

是负数.

详解：280万这个数用科学记数法可以表示为2.8义1。6,

故选B.

点睛：考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.

9、D

【解题分析】

首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD

为菱形.所以根据菱形的性质进行判断.

【题目详解】

四边形ABC。是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形,

..AB//CD,AD//BC,

四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；

过点。分别作BC,CD边上的高为AE,AF.贝!I

AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；

平行四边形ABC。中，5AABC=%CD，BCxAE=CDxAF,

:.BC=CD,即AB=6C.故B正确；

,平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）.

:.ZABC=ZADC,ABAD=ABCD（菱形的对角相等），故A正确；

AB=CD,AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；

如果四边形ABC。是矩形时，该等式成立.故。不一定正确.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定与性质.注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”.

10、B

【解题分析】

连接OO，，作O，H，OA于H.只要证明小OOA是等边三角形即可解决问题.

【题目详解】

在RtAAOB中，VtanZ^BAO=----=，

OA2

AZBAO=30°,

由翻折可知，ZBAOr=30°,

・・・ZOAOr=60°,

VAO=AOr,

・•・△AOCT是等边三角形，

VOrH±OA,

.•.OH=正，

2

r-3

.,.OHr=J3OH=-,

2

.•.O'（乌-）,

22

故选B.

【题目点拨】

本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三

角形，利用特殊三角形解决问题.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11,2

【解题分析】

【分析】作高线AD,由等腰三角形的性质可知D为BC的中点，即AD为BC的垂直平分线，根据垂径定理，AD过

圆心O,由BC的长可得出BD的长，根据勾股定理求出半径，继而可得AD的长，在直角三角形ABD中根据正切的

定义求解即可.

试题解析：如图，作ADLBC,垂足为D,连接OB,

11

VAB=AC,ABD=CD=-BC=-x8=4,

22

AAD垂直平分BC,

，AD过圆心O,

在RtAOBD中，OD=y/0B2-BD2=752-42=3，

/.AD=AO+OD=8,

*qAD8

在RtAABD中，tanNABC=——=-=2,

BD4

故答案为2.

【题目点拨】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、正切的定义等知识，综合性较强，正确添加辅助线构造直角

三角形进行解题是关键.

12、丙

【解题分析】

不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅.

【题目详解】

不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多.

故答案是：丙.

【题目点拨】

考查了可能性的大小和统计表.解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少.

13、2(x+2)(x-2)

【解题分析】

先提公因式，再运用平方差公式.

【题目详解】

2x2-8,

=2(x2-4),

=2(x+2)(x-2).

【题目点拨】

考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.

14、1

【解题分析】

试题分析：根据圆锥的侧面积公式S』rl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积史L旦即可求出圆心角的度数.

360

解：:侧面积为ISncm2,

/.圆锥侧面积公式为：S=nrl=7tx3xl=15n,

解得：1=5,

2

...扇形面积为15日"5一,

360

解得：n=l,

.•.侧面展开图的圆心角是1度.

故答案为L

考点：圆锥的计算.

15、7.5

【解题分析】

试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于A3,

最小值3m,

•.•影长最大时，木杆与光线垂直，

：.BC=4,

又可得ACAB^ACFE,

.BCAB

••—,

ECEF

*：AE=5m,

.4_3

••——---,

10EF

解得：EF=7.5m.

故答案为7.5.

点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.

16、ab(a+5)1.

【解题分析】

a^+la^1+ab3=ab(a'+lab+b1)=ab(a+b)L

故答案为ab(a+b)i.

【题目点拨】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.

17、-2

【解题分析】

根据分式的运算法则即可得解.

【题目详解】

2-2%_-2(x-1)

原式=

x-1x-1

故答案为：-2.

【题目点拨】

本题主要考查了同分母的分式减法，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

【解题分析】

分析：首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算.

x~—6x+9

详解:

x+2

x-3x+2

----x-------

x+2(x-3)2

x—3

当％=-5时，原式=-；.

点睛：本题主要考查分式的混合运算,注意运算顺序，并熟练掌握同分、因式分解、约分等知识点.

19、（1）补充表格见解析；（2）①61；②见解析.

【解题分析】

（1）根据所给数据分析补充表格即可.（2）①根据概率公式计算即可.②根据平均数、中位数分别进行分析并根据分

析结果给出建议即可.

【题目详解】

（1）补充表格如下：

范围25<x<2930<x<3435<x<3940<x<4445<x<4950<x<5455<x<59

人数1032734

9

（2）①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为136x041,

20

故答案为：61；

②从平均数角度看，该校女生1分钟仰卧起坐的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；

从中位数角度看，该校成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的满分率低于区县水平；

建议：该校在保持学校整体水平的同事，多关注接近满分的学生，提高满分成绩的人数.

【题目点拨】

本题考查的是统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

20、（1）（百，273）;（2）①丫二一餐（x-73）2+273;②一百<m<—g

【解题分析】

⑴先求出平移后是抛物线G2的函数解析式，即可求得点A的坐标；

⑵①由⑴可知G2的表达式，首先求出AD的值，利用等腰直角的性质得出BD=AD=6,从而求出点B的坐标，代

入即可得解；

②分别求出当NBAC=60。时，当NBAC=120。时m的值，即可得出m的取值范围.

【题目详解】

（1）•将抛物线Gi：y=m/+2月（m/））向右平移若个单位长度后得到抛物线G2,

二抛物线G2：y=m（x-73）2+273，

•••点A是抛物线G2的顶点.

；•点4的坐标为（6,2尽.

（2）①设抛物线对称轴与直线/交于点O,如图1所示.

•.•点A是抛物线顶点，

：.AB^AC.

VZBAC=90°,

...△A5C为等腰直角三角形，

:.CD=AD=6,

点C的坐标为（26，G）.

•••点C在抛物线G2上，

:.6=m（2^/3—^/3）2+2^/3，

解得：m=—旦

3

②依照题意画出图形，如图2所示.

同理：当NBAC=60。时，点C的坐标为（石+1,也）;

当NR4c=120。时，点C的坐标为（6+3,6）.

V60°<ZBAC<120°,

.•.点（逐+1,73）在抛物线G2下方，点（出+3,73）在抛物线G2上方,

"用1—可+26〉6

"6+3—可+26<6

此题考查平移中的坐标变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等

边三角形的判定和性质，熟练掌握坐标系中交点坐标的计算方法是解本题的关键，利用参数顶点坐标和交点坐标是解

本题的难点.

21、⑴①60。+2（/;②CE+AC=6CQ；（2）AC-CE=^3CQ

【解题分析】

（1）①先根据等边三角形的性质的QA=Qg,进而得出。5=QE,最后用三角形的内角和定理即可得出结论；②先

判断出AQATFAQEC,得出QF=QC,再判断出AQCF是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可

得出结论；（2）同②的方法即可得出结论.

【题目详解】

（1）当0°＜。＜30°时，

①画出的图形如图1所示，

；AABC为等边三角形，

ZABC=60.

CD为等边三角形的中线

•••CD是的垂直平分线，

为线段CO上的点，

J.QA^QB.

^LDAQ=cc,

：.ZABQ=ZDAQ=a,NQBE=60°—a.

•••线段QE为线段QA绕点。顺时针旋转所得，

：.QE=QA.

：.QB=QE.

：.ZQEB=ZQBE=60°—a,

:.ZBQE=180°-2ZQBE=180°-2（60°-a）=60。+2。；

图1

@CE+AC=y/3CQ；

如图2,延长C4到点P,使得AE=C£,连接QR,作于点

•：ZBQE=600+2a,点E在BC上，

:.NQEC=ZBQE+ZQBE=（60°+2（z）+（60°-«）=120°+«.

,点/在C4的延长线上，ZDAQ=a,

:.ZQAF=ZBAF+ZDAQ=120°+a.

：.ZQAF=NQEC.

又,：AF=CE,QA=QE,

：.AQAF三AQEC.

：.QF^QC.

于点〃，

：.FH=CH,CF=2CH.

•.•在等边三角形ABC中，CD为中线，点。在CD上，

:.ZACQ=^ZACB=30°,

即AQB为底角为30的等腰三角形.

；•CH=CQ-cosZQCH=CQcos30°=^CQ.

CE+AC=AF+AC=CF=2CH=s/3CQ.

F

（2）如图3,当30°<（z<60°时，

在AC上取一点尸使AE=CH,

,/AABC为等边三角形，

:.ZABC=60.

,/CD为等边三角形的中线，

为线段CD上的点，

••.CD是的垂直平分线，

:.QA=QB.

,:Z.DAQ=a,

ZABQ=ZDAQ=a,NQBE=60°—a.

•.•线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,

：.QE^QA.

：.QB=QE.

:.ZQEB=NQBE=60°—a=ZQAF,

又♦:AF=CE,QA=QE,

...AQAF=AQEC.

:.QF=QC.

•.•Q”,AC于点〃，

：.FH=CH,CF=2CH.

•.•在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上,

：.ZACQ=^ZACB=30°,

:.CH=CQ-cosZHCQ=CQ-cos30°=^CQ.

：.AC-CE=AC-AF=CF=2CH=^3CQ.

【题目点拨】

此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角

形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键.

22、(1)证明详见解析；(2)S=：(m+1)2+y(m>，(2)2或1.

【解题分析】

试题分析：(1)利用两点间的距离公式计算出AB=5,则AB=OA,则可根据“HL”证明△ABC丝ZiAOD；

(2)过点B作直线BE_L直线y=-m于E,作AF±BE于F,如图，证明RtAABF^RtABCE,利用相似比可得BC=j

25

(m+l),再在RtAACB中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+^(m+D2,然后证明△AOBsaACD,利用相似的

性质得笨=第；而SAAOB],于是可得S=；(m+1)2+9(m>,

(2)作BH_Ly轴于H,如图，分类讨论：当AB〃CD时，贝!JNACD=NCAB,由AAOBs/\ACD得NACD=NAOB,

所以NCAB=NAOB,利用三角函数得到tan/AOB=2,tanNACB=^=岛，所以白=2；当AD〃BC,贝！|N5=/ACB,

由△AOBs^ACD得到N4=N5,则NACB=N4,根据三角函数定义得到tanN4=1,tanNACB=^=等，则岛=：，

然后分别解关于m的方程即可得到m的值.

试题解析：(1)证明：YA(0,5),B(2,1),

AAB=柠+(5-1)=5,

AAB=OA,

VAB±BC,

AZABC=90°,

在RtAABC和RtAAOD中，

\AB=AO

MC=AD，

ARtAABC^RtAAOD；

(2)解：过点B作直线BE，直线y=-m于E,作AF，BE于F,如图，:Nl+N2=90°,Zl+Z2=90°,

Z.Z2=Z2,

/.RtAABF^RtABCE,

♦在.53

••丽=蓝，即而=巾，

在RtAACB中，AC2=AB2+BC2=25+7(m+l)2,

VAABC^AAOD,

AZBAC=ZOAD,即N4+NOAC=NOAC+N5,

.*.Z4=Z5,

而AO=AB,AD=AC,

.•.△AOB^AACD,

r25

•SAAOBAB2_天■

••~7=25+-r(m+1)9

SAACDUC外

,115

X

而SAAOB=25X2=J,

；・S=，(m+l)2+y(m>^)；

(2)作BH，y轴于H,如图，

当AB〃CD时，贝叱ACD=NCAB,

MAAOB^AACD,

.\ZACD=ZAOB,

AZCAB=ZAOB,

5

H/BH/AB----------3

而tanZAOB=-=2,tanZACB=—=^M+7)=^7^,

**•+72,解得m=1；

当AD〃BC,则N5=NACB,

WAAOB^AACD,

AZ4=Z5,

AZACB=Z4,

h/BH3/AB3

而tanZ4=-=-9tanZACB=—=^77,

・33

•*m+J~49

解得m=2.

23、(1)y=2x,OA=

(2)是一个定值，

(3)当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

【解题分析】(1)把点A(3,6)代入y=kx得；

；6=3k,

：.k=2,

.'.y=2x.

OA=.

(2)是一个定值，理由如下：

如答图1,过点Q作QGJ_y轴于点G,QHLx轴于点H.

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合,

此时

②当QH与QM不重合时，

VQN±QM,QG_LQH

不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上，

:./MQH=NGQN,

又；ZQHM=ZQGN=90°

/.△QHM^AQGN...（5分），

*

••，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得.①①

如答图2,延长AB交x轴于点F,过点F