高考数学第一轮复习复习第3节　随机事件与古典概型（讲义）

第3节随机事件与古典概型[课程标准要求]1.理解样本点、有限样本空间的含义以及随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义.3.理解概率的性质,会用频率估计概率,掌握随机事件概率的运算法则.4.理解古典概型,能利用古典概型计算简单随机事件的概率.1.样本空间和随机事件样本点和有限样本空间随机试验对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示有限样本空间把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间随机事件定义样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件表示大写字母A,B,C,…随机事件的极端情形必然事件、不可能事件2.事件之间的关系与运算定义表示法图示一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)一般地,事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)一般地,事件A与事件B同时发生,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B=,则A与B互斥一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为A若A∩B=,且A∪B=Ω,则A与B对立互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.3.频率与概率频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的变化而变化,而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.4.概率的基本性质(1)性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.(2)性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P()=0.(3)性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).(5)性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).(6)性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).(1)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=,即A,B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.(2)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).5.古典概型特征有限性样本空间的样本点只有有限个等可能性每个样本点发生的可能性相等计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(C)A.0.4,0.4 B.0.5,0.5C.0.4,0.5 D.0.5,0.4解析:某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,正面朝上出现了40次,所以出现正面朝上的频率为401002.根据多年气象统计资料,某地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为(C)A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75解析:某地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为P=1-0.45-0.20=0.35.3.袋中装有大小和材质均相同的红球4个、黄球2个、白球1个,从中随机取出一个球,记事件A为“取出的是红球”,事件B为“取出的是黄球”,则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是(D)A.不互斥但对立 B.不互斥也不对立C.互斥且对立 D.互斥但不对立解析:由于取出1个球不能既是红球又是黄球,故A与B不能同时发生,A,B互斥,又因为袋中还有白球,故A与B互斥但不对立.4.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率等于.

解析:试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反)},共8种,出现一枚正面,二枚反面的样本点有3种,故概率为P=38答案:35.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.

解析:从甲、乙等5名同学中随机选3名,有C53种情况,其中甲、乙都入选有C31种情况,所以甲、乙都入选的概率P=答案:3事件之间的关系及概率运算1.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若事件A=“向上的点数为3”,B=“向上的点数为6”,C=“向上的点数为3或6”,则有(D)A.A⊆B B.C⊆BC.A∩B=C D.A∪B=C解析:事件A发生时,事件B一定不发生,A不正确;事件C发生,事件B不一定发生,但事件B发生,事件C一定发生,所以B⊆C,B不正确;事件A和事件B不能同时发生即A∩B=,C不正确;事件A或事件B发生,则事件C一定发生,反过来,事件C发生,一定是事件A或B发生,即A∪B=C,D正确.2.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,有如下随机事件:C1=“点数不大于3”,C2=“点数大于3”,C3=“点数大于5”;D=“点数为奇数”;Ei=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6.下列结论正确的是(B)A.C1⊆D B.D=E1∪E3∪E5C.C2与C3互斥 D.E1与E2互为对立解析:因为事件C1含有“点数为2”的样本点,而事件D不含这个样本点,A不正确;事件D含有3个样本点:“点数为1”“点数为3”“点数为5”,即D=E1∪E3∪E5,B正确;事件C2与C3都含有“点数为6”的样本点,C2与C3不互斥,C不正确;事件E1与E2不能同时发生,但可以同时不发生,E1与E2互斥而不互为对立,D不正确.3.(多选题)一个盒子中装有5支圆珠笔,其中3支一等品,2支二等品,大小质地完全相同,若从中随机取出3支,则下列事件与事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的有(ABD)A.取出的3支笔中,至少2支一等品B.取出的3支笔中,至多1支二等品C.取出的3支笔中,既有一等品也有二等品D.取出的3支笔中,没有二等品解析:事件“取出的3支笔中,至少2支一等品”包括2支一等品和1支二等品,3支一等品两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故A正确;事件“取出的3支笔中,至多1支二等品”包括2支一等品和1支二等品,3支一等品两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故B正确;事件“取出的3支笔中,既有一等品也有二等品”包括1支一等品和2支二等品,2支一等品和1支二等品两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”可能同时发生,它们不是互斥事件,故C错误;事件“取出的3支笔中,没有二等品”指3支一等品,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故D正确.4.甲、乙两人下象棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是1A.14 B.13 C.34解析:记“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B,则A,B互斥,且P(A)=12,P(B)=14,由于甲不输即为事件A∪B,由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪B)=P(A)+P(B)=12+14=34(1)判断事件之间的运算关系时,不但要紧扣运算的定义而且还要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,求解时既可以列出全部的试验结果进行分析,也可类比集合的关系求解.(2)判断两事件之间的互斥关系时,要明确互斥事件是不能同时发生,但能同时不发生.(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法:①直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,分别求出这些事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解;②间接法:直接分解为互斥事件的和较为复杂,而其对立事件较为简单的可以利用间接法求解,涉及“至多”“至少”型题目常用此法.随机事件的频率与概率[例1](多选题)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的柱状图,由频率估计概率,在一个生产周期内,下列说法正确的是()A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大解析:由题图可知,在一个生产周期内机器正常的概率为20100有两个零件发生故障的概率为10+15+5100=0.3,只有一个零件发生故障的概率为15+20+10乙零件发生故障的概率为20+10+5+5100=0.4,甲零件发生故障的概率为15+10+15+5由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正确.故选AD.利用概率的统计定义求随机事件的概率随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性,可以用事件发生的频率去“度量”,因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率.此类题目的求解方法:先利用频率的计算公式计算出频率,然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.[针对训练](1)某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20℃,25℃),需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数45253818以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x=.

(2)根据某省教育研究机构的统计资料,今在校中学生近视率约为37.4%.某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜,若已知该校学生总数为600人,则该眼镜商至少应带眼镜副.

解析:(1)这种冷饮一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25℃,由表格数据知,最高气温低于25℃的频率为4+590(2)由已知得该学校需要佩戴眼镜的人数大概为600×37.4%=224.4<225,所以该眼镜商应带眼镜不少于225副.答案:(1)300(2)225古典概型[例2](1)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.13 B.25 C.23(2)(2022·四川南充二模)孪生素数也称为孪生质数,就是指两个相差2的素数,例如5和7.在大于3且不超过30的素数中,随机选取2个不同的数,恰好不是一组孪生素数的概率为()A.356 B.328 C.2528解析:(1)法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B,将4个1和2个0随机排成一行有A66种排法,将1A,1B,1C,1D排成一行有A44种排法,再将0A,0B插空有A5法二(含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置,则选择2个位置安排0,共有C62种排法;将4个1排成一行,把2个0插空,即在5个位置中选2个位置安排0,共有C52种排法.所以2个0不相邻的概率P=(2)大于3且不超过30的素数有5,7,11,13,17,19,23,29,从中随机选取2个不同的数的情况有C82=28种,其中恰好是一组孪生素数的有(5,7),(11,13),(17,19),共3种,因此恰好是一组孪生素数的概率为328.所以不是一组孪生素数的概率是P=1-3(1)古典概型的概率求解步骤①求出所有样本点的个数n(样本点个数的求解方法主要是利用排列组合知识,也可以利用列举法或列表法等);②求出事件A包含的所有样本点的个数k;③代入公式P(A)=kn(2)涉及含有“至多”或“至少”以及正面较复杂而对立面较简单的情况下可以利用对立事件的概率公式求解.[针对训练](1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.15 B.13 C.25(2)某校选定4名教师去3个地区支教(每地至少1人),则甲、乙两人不在同一地区的概率是.

解析:(1)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张,共有15种取法,它们分别是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种取法,所以所求概率是P=615=2(2)某校选定4名教师去3个地区支教(每地至少1人),基本事件总数n=C42C甲、乙两人在同一地区包含的基本事件个数k=C2所以甲、乙两人不在同一地区的概率是P=1-kn=1-636=答案:(1)C(2)5[例1]若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是()A.(54,2) B.(5C.(54,43] D.[解析:因随机事件A,B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)=3a-3,依题意及概率的性质得0即0<2-a<1所以实数a的取值范围是(54,4[例2]在一次随机试验中,三个事件A1,A2,A3的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是()A.A1+A2与A3是互斥事件,也是对立事件B.A1+A2+A3是必然事件C.P(A2+A3)=0.8D.P(A1+A2)≤0.5解析:设置随机试验:袋子中放有大小相同且标号为1～10的十个小球,从中取一球,设事件A1为“取出球标号为1或3”,事件A2为“取出球标号为1或3或5”,事件A3为“取出球标号为奇数”,则三个事件A1,A2,A3的概率分别是0.2,0.3,0.5,可知A1+A2与A3不是互斥事件,A1+A2+A3不是必然事件,P(A2+A3)=0.5,P(A1+A2)≤0.5,故只有D正确.故选D.[例3]某学校组织参加兴趣小组,其中有82%的学生选择数学小组,60%的学生选择英语小组,96%的学生选择数学或英语小组,则该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%解析:设“选择数学小组”为事件A,“选择英语小组”为事件B,则“选择数学或英语小组”为事件A+B,“既选择数学小组又选择英语小组”为事件AB,依题意得P(A)=82%,P(B)=60%,P(A+B)=96%,所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=82%+60%-96%=46%.故该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.[选题明细表]知识点、方法题号事件间的关系与概率运算1,7,9,11频率与概率2,5古典概型3,4,12,14综合应用6,8,10,13,151.从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球,下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是(D)A.“至少有1个红球”与“都是黑球”B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D.“都是红球”与“都是黑球”解析:从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球的可能的结果为1红1黑、2红、2黑,因此“至少有1个红球”包括“1红1黑、2红”与“都是黑球”对立,因此A不符合题意;“恰好有1个红球”和“恰好有1个黑球”是同一个事件,因此B不符合题意;“至少有1个黑球”包括“1红1黑、2黑”,而“至少有1个红球”包括“1红1黑、2红”,因此不是互斥事件,C不符合题意;“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件且不是对立事件,D符合题意.2.(多选题)某篮球运动员在最近几次比赛中的投篮情况如下表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(ABD)A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(B+C)=0.55 D.P(C)=0.27解析:依题意,P(A)=55100=0.55,P(B)=18P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,即A,B,D都正确,选项C不正确.3.食物链亦称“营养链”,是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动,必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系.如图为某个生态环境中的食物链,若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,则这两种生物不能构成摄食关系的概率是(A)A.35 B.25 C.23解析:从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,共有C52=10种选法,其中田鼠鹰,兔鹰,麻雀鹰,蝗虫麻雀共4种可构成摄食关系,不能构成摄食关系的有6种,所以概率为P=6104.(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(D)A.16 B.13 C.12解析:从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C7{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14种,根据古典概型的概率公式,得这2个数互质的概率为1421=25.(2022·安徽安庆二模)人类通常有O,A,B,AB四种血型,某一血型的人可以给哪些血型的人输血,是有严格规定的.设X代表O,A,B,AB中某种血型,箭头左边表示供血者,右边表示受血者,则输血规则如下:①X→X;②O→X;③X→AB.已知我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上,按照上述规则,若受血者为B型血,则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为(D)A.0.31 B.0.48 C.0.52 D.0.65解析:当受血者为B型血时,供血者可以为B型或O型血,所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65.6.(多选题)豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值(一星2分,二星4分,三星6分,以此类推),以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.某影片的豆瓣评分情况如图,假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的是(ACD)A.m的值是32%B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星C.随机抽取一名观众,其评价是三星或五星的概率约为0.56D.若从已作评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件解析:参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则24.0%+32.9%+m+8.7%=97.6%,所以m=32%,故A正确;随机抽取100名观众,可能有100×24.0%=24(人)评价五星,但只是估计值,B错误;由A选项,评价是三星或五星的概率约为32%+24.0%=56%,故C正确;根据互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件,故D正确.7.已知从某班学生中任选两人参加农场劳动,选中两人都是男生的概率是13,选中两人都是女生的概率是215,则选中两人中恰有一人是女生的概率为解析:记“选中两人都是男生”为事件A,“选中两人都是女生”为事件B,“选中两人中恰有一人是女生”为事件C,易知A,B为互斥事件,A∪B与C为对立事件,又P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+215=715,所以P(C)=1-P(A∪B)=1-7答案:88.甲、乙两人做下列4个游戏:①抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数为奇数,则甲胜,向上的点数为偶数,则乙胜.②甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球.③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,则甲胜,是黑色,则乙胜.④同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,则甲胜,两枚都是正面向上,则乙胜.在上述4个游戏中,不公平的游戏序号是.

解析:对于游戏①,P(点数为奇数)=P(点数为偶数)=12甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是12对于游戏③,P(牌色为红)=P(牌色为黑)=12同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为12,两枚都是正面向上的概率为1P(甲胜)≠P(乙胜),游戏④不公平.答案:④9.甲、乙、丙、丁四人参加4×100m接力赛,他们跑每一棒的概率均为14,则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为解析:设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”,则P(A)=14P(B)=14记甲跑第x棒,乙跑第y棒为(x,y),则共有可能结果12种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4),故P(A∩B)=11214+14-112答案:510.(多选题)高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛,则下列说法正确的是(AC)A.恰有1名参赛学生是男生的概率为3B.至少有1名参赛学生是男生的概率为3C.至多有1名参赛学生是男生的概率为4D.2名参赛学生都是男生的概率为4解析:从6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛,共有C62=15种等可能的结果.恰有1名参赛学生是男生有3×3=9(种)结果,所以恰有1名是男生的概率为915“至少有1名参赛学生是男生”的对立事件为“2名参赛学生都是女生”,从3名女生中任选2人有3种结果,至少有1名参赛学生是男生的概率为1-315=4“2名参赛学生都是男生”的概率为315=1“至多有1名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”,因此至多有1名参赛学生是男生的概率为1-15=411.口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,事件B=“取出的2球中至少有1个黄球”,事件C=“取出的2球至少有1个白球”,事件D=“取出的2球不同色”,事件E=“取出的2球中至多有1个白球”.下列选项正确的是(C)A.P(A+B)=P(A)+P(B)B.P(C)+P(D)=1C.P(C∪E)=1D.P(B)=P(C)解析:依题意P(A)=C22+C32C62P(A+B)≤1,A不正确;P(C)=1-C42C62=35,P(D)=1-P(A)=12.将编号为1,2,3,4,5的小球放入编号为1,2,3,4,5的小盒中,每个小盒放一个小球,则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为(A)A.38 B.18 C.112解析:由题意得任意放球共有A55=120种方法,先从5个小球里选一个编号与所在的盒子相同,有C51=5种选法;假设选的是1号球,则再对后面的2,3,4,5进行排列,且4个小球的编号与盒子的编号一个都不相同,假设2号盒子里放3号球,则有