高考数学第一轮复习复习培优课(一)　抽象函数的性质（讲义）

培优课(一)抽象函数的性质我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y=f(x)表示,抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体.抽象函数问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛.因此,我们应该掌握简单常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型,及其应用问题的基本方法.借助特殊函数模型有利于打开解题思路,有时会起到事半功倍的效果.常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:抽象函数f(x)具有的性质特殊函数模型f(x+y)=f(x)+f(y)正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(xy)=f(x)f(y)二次函数f(x)=x2f(x+y)=f(x)f(y)f(x-y)=f(x)÷f(y)指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)f(xy对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)正弦函数f(x)=sinxf(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)余弦函数f(x)=cosxf(x±y)=f正切函数f(x)=tanx抽象函数求值[典例1](1)设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),若f(8)=3,则f(2)=.

(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x+y)=f(x)+f(y)+1,则f(4)=.

解析:(1)因为f(8)=3,所以f(2×4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2×2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3,所以f(2)=1.因为f(2)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2),所以2f(2)=1,所以f(2)=12(2)令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)+1=3.令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)+1=7.答案:(1)12抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,-2,-1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值.[拓展演练]1.已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且x,y∈R,则f(13)+f(1A.0 B.1 C.12 解析:因为函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且x,y∈R,令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.令y=1x,则f(1)=f(x)+f(1所以f(13)+f(3)=0,且f(1所以f(13)+f(12.已知定义在R上的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,则f(0)+f(2)等于()A.4 B.5 C.6 D.7解析:因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,令x=0,y=1,则有f(1)=f(1)f(0),又f(1)=2,则f(0)=1,令x=y=1,则有f(2)=f(1)f(1)=2×2=4,所以f(0)+f(2)=5.故选B.抽象函数的单调性与抽象不等式[典例2](2023·广西模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.解:(1)令x=y=0,得f(0)=-1.在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1.又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以函数f(x)在R上是增函数.(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)>4,得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,即f(x2+x+1)>f(3),又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3,解得x<-2或x>1,故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.(1)抽象函数的单调性的证明,关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于(或小于)0的数.(2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时,可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行;若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为函数值.[拓展演练]已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,且f(xy)=f(x)-f(y),f(2)=1,如果x满足f(x)-f(1x-解析:因为f(xy所以f(y)+f(xy在上述等式中取x=4,y=2,则有f(2)+f(2)=f(4).又因为f(2)=1,所以f(4)=2,所以f(x)-f(1x可变形为f(x(x-3))≤f(4).又因为f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,所以x(故x的取值范围是(3,4].答案:(3,4]抽象函数的奇偶性[典例3]设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.(1)证明f(x)为奇函数;(2)证明f(x)在R上是减函数.证明:(1)由于函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=0,再令y=-x,可得f(x-x)=f(x)+f(-x),即0=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),因此,函数y=f(x)为奇函数.(2)设x1>x2,则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2),因为x1>x2,则x1-x2>0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,所以f(x1)<f(x2),因此,函数y=f(x)在R上是减函数.抽象函数中求特殊的函数值,讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简.[拓展演练]定义在R上的函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)若g(x)=f(x)-1,证明:g(x)是奇函数;(2)若f(1)=2,解不等式f(m2-4m-9)<4.(1)证明:令a=b=0,则f(0)=2f(0)-1,得f(0)=1.令b=-a,则f(0)=f(a)+f(-a)-1=1,即[f(a)-1]+[f(-a)-1]=0.因为g(x)=f(x)-1,所以g(x)+g(-x)=0.因为g(x)的定义域也是R,所以g(x)是奇函数.(2)解:设∀x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.因为f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是单调递增函数.因为f(1)=2,所以f(2)=2f(1)-1=3,所以f(3)=f(1)+f(2)-1=4,所以不等式f(m2-4m-9)<4等价于f(m2-4m-9)<f(3),则m2-4m-9<3,解得-2<m<6,所以原不等式的解集为{m|-2<m<6}.抽象函数的对称性[典例4](多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,g(x)=f′(x).若f(32A.f(0)=0 B.g(-12C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)解析:法一因为f(32-2x)为偶函数,所以f(32-2x)=f(32+2x),所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称,f(32-2×54)=f(32+2×54),即f(-1)=f(4),所以C正确;因为g(2+x)为偶函数,所以g(2+x)=g(2-x),函数g(x)的图象关于直线x=2对称,因为g(x)=f′(x),所以函数g(x)的图象关于点(32,0)对称,所以g(x)的周期T=4×(2-32)=2,因为f(-1)=f(4),所以f′(-1)=-f′(4),即g(-1)=-g(4)=-g(2),所以D不正确;因为f(32-2)=f(32+2),即f(-12)=f(72),所以f′(-12法二因为f(32-2x),g(2+x)均为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=3(1)若函数y=f(ax+b)为偶函数,则函数图象关于直线x=b对称;若y=f(ax+b)为奇函数,则函数图象关于点(b,0)对称.(2)若函数f(x)在定义域上的图象是一条连续不断的曲线,则①函数f(x)的图象关于直线x=a对称⇔导函数f′(x)的图象关于点(a,0)对称;②函数f(x)的图象关于点(a,f(a))对称⇔导函数f′(x)的图象关于直线x=a对称.[拓展演练]已知函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,函数y=f(x+1)关于点(1,0)对称,则下列说法正确的是()A.f(1)=0 B.f(1-x)=f(1+x)C.f(x)的周期为2 D.f(x)=f(32解析:因为函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,所以f(2(1+x)+1)=f(2(1-x)+1),即f(2x+3)=f(3-2x),用x代换上式中的2x,即可得到f(x+3)=f(3-x),所以f(x)关于直线x=3对称.函数y=f(x+1)关于点(1,0)对称,所以f(1+x+1)+f(1-x+1)=0,即f(2+x)+f(2-x)=0,所以f(x)关于点(2,0)对称.对于f(x+3)=f(3-x),令x取x+1,可得f(x+4)=f(2-x).对于f(2+x)+f(2-x)=0,令x取x+2,可得f(x+4)=-f(-x).所以f(2-x)=-f(-x),令x取-x,可得f(2+x)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的最小正周期为4.所以C,D错误;对于B,对于f(x+3)=f(3-x),令x取x-3,可得f(x)=f(6-x).因为f(x)的最小正周期为4,所以f(6-x)=f(2-x),所以f(x)=f(2-x),即f(x+1)=f(1-x),故B正确;对于A,由f(x+1)=f(1-x),可得直线x=1为对称轴,所以不能确定f(1)=0是否成立,故A错误.故选B.抽象函数的周期性[典例5](2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则∑kA.-3 B.-2 C.0 D.1解析:因为f(1)=1,所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),①所以f(x+2)+f(x)=f(x+1).②由①②相加,得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令x=1,y=1,得f(2)+f(0)=f(1)f(1),所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x),得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0,根据函数的周期性知,∑k[拓展演练]已知f(x)是定义在R上的函数,f(2x+1)为偶函数且f(4x+2)为奇函数,则下列选项正确的是()A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的周期为3C.f(2020)=0D.f(2021)=0解析:因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以f(x+1