河南省郸城县第二高级中学2025届高一下数学期末统考模拟试题含解析

河南省郸城县第二高级中学2025届高一下数学期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．将一个底面半径和高都是的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为，半径为的半球的体积记为，则与的大小关系为()A． B． C． D．不能确定2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为、、人，该校为了了解本校学生视力情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A． B． C． D．3．已知是平面内两个互相垂直的向量，且，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B． C．3 D．4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A． B．或 C．或 D．5．某学生用随机模拟的方法推算圆周率的近似值，在边长为的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率的近似值为（）A． B． C． D．6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝sin（x）﹣1 B．f（x）＝2sin（x）﹣1C．f（x）＝2sin（x）﹣1 D．f（x）＝2sin（2x）+17．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为()A． B． C． D．8．三棱锥则二面角的大小为()A． B． C． D．9．已知数列满足，则（）A．2 B． C． D．10．已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，且，.则的值是________.12．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________．13．在ΔABC中，a比c长4，b比c长2，且最大角的余弦值是-12，则14．设向量，，且，则______．15．已知中，，且，则面积的最大值为__________.16．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设的内角为所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.18．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3000＋50x(单位：元)．（1）求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）19．在ΔABC中，角A，B,C，的对边分别是a，b，c，a-bsinA+sin（1）若b=6，求sinA（2）若D、E在线段BC上，且BD=DE=EC，AE=2320．数列中，，（为常数）.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）是否存在，使得为等比数列？并说明理由.21．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）当为何值时，PB⊥AC？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据题意分别表示出，通过比较。【详解】所以，选C。【点睛】，，。记住这几个公式即可，属于基础题目。2、C【解析】

设从高三年级抽取的学生人数为，根据总体中和样本中高三年级所占的比例相等列等式求出的值.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为，由题意可得，解得，因此，应从高三年级抽取的学生人数为，故选：C.【点睛】本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要利用总体中每层的抽样比例相等或者总体或样本中每层的所占的比相等来列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.3、D【解析】

设出平面向量的夹角，求出的夹角，最后利用平面向量数量积的运算公式进行化简等式，最后利用辅助角公式求出的最大值.【详解】设平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以.，，，其中，显然当时，有最大值，即.故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于中档题.4、D【解析】

作出几何体的直观图，可知几何体为正方体切一角所得的组合体，计算出正方体的体积和所切去三棱锥的体积，相减可得答案．【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为正方体切一角所得的组合体，因此，该几何体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图作出几何体的直观图是解答的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.5、B【解析】

由落入圆内的芝麻数占落入正方形区域内的芝麻数的比例等于圆的面积与正方形的面积比相等，列等式求出的近似值.【详解】边长为的正方形内有一内切圆的半径为，圆的面积为，正方形的面积为，由几何概型的概率公式可得，得，因此，该学生得到圆周率的近似值为，故选：B.【点睛】本题考查利用随机模拟思想求圆周率的近似值，解题的关键就是利用概率相等结合几何概型的概率公式列等式求解，考查计算能力，属于基础题.6、D【解析】

由已知列式求得的值，再由周期求得的值，利用五点作图的第二个点求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，根据三角函数的图象，可得，解得，又由，解得，则，又由五点作图的第二个点可得：，解得，所以函数的解析式为，故选D.【点睛】本题主要考查了由的部分图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的五点作图法，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.7、D【解析】

求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．8、B【解析】

P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【详解】因为AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面为直角三角形又因为PA＝PB＝PC所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB中点．设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°故答案为60°．【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．9、B【解析】

利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．【详解】解：数列满足，，所以，．故选：B．【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．10、A【解析】

由正弦型函数的最小正周期可求得，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据可知和必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得，；从而可知时取最小值.【详解】由最小正周期为可得：，和分别为的最大值点和最小值点设为最大值点，为最小值点，当时，本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定和为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

.12、.【解析】

利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.【详解】由余弦定理得，，，故答案为.【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.13、15【解析】

由a比c长4，b比c长2，用c表示出a与b，可得出a为最大边，即A为最大角，可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，同时利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入，并根据最大角的余弦值，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【详解】根据题意得：a=c+4，b=c+2，则a为最长边，∴A为最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c−3)(解得：c=3或c=−2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，则△ABC的面积S=12bcsinA=15故答案为：153【点睛】余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+14、【解析】

根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】∵；∴；∴x＝﹣1；故答案为﹣1．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．15、【解析】

先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，利用余弦定理求出，最后求面积的最大值.【详解】由可得，由正弦定理，得，故，当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，此时.由余弦定理知，，即，故面积的最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16、，【解析】

令时，求出，再令时，求出的值，再检验的值是否符合，由此得出数列的通项公式.【详解】当时，，当时，，不合适上式，当时，，不合适上式，因此，，.故答案为,.【点睛】本题考查利用前项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）已知，由余弦定理角化边得，再由余弦定理可得角的值；（2）根据与，由正弦定理求得，，结合代入到的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到的周长关于角的三角函数，再根据正弦函数的图象与性质，即可求解周长的取值范围.试题解析：（1），由余弦定理，得，，∵.（2）.由正弦定理，得，同理可得，的周长，，的周长，故的周长的取值范围为.点睛：在解三角形的范围问题时往往要运用正弦定理或余弦定理转化为角度的范围问题，这样可以利用辅助角公式进行化简，再根据角的范围求得最后的结果.18、（1）；（2）该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元．【解析】【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用函数，再应基本不等式求其最小值及取得极小值时：解：设楼房每平方米的平均综合费用，，当且仅当时，等号取到.所以，当时，最小值为5000元.19、（1）32+【解析】

（1）根据正弦定理化简边角关系式，可整理出余弦定理形式，得到cosB=12；再根据正弦定理求得sinC，根据同角三角函数得到cosC；根据两角和差公式求得sinA；（2）设BD=x，在【详解】（1）∵由正弦定理得：a-b整理得：a2+∵0<B<π∴B=由正弦定理bsinB=c∵b>c∴B>C∴∴（2）设BD=x，则：BE=2x，AE=2在ΔABE中，利用余弦定理AE12x2=16+4x∴BE=2，AE=23，又AB=4，即BE∴AD=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到正弦定理化简边角关系式、同角三角函数求解、两角和差公式的运算，考查对于定理和公式的应用，属于常规题型.20、（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数，使得{an}为等比数列【解析】

（Ⅰ）由已知求得a1，a4，再由-a1，，a4成等差数列列式求p的值；（Ⅱ）假设存在p，使得{an}为等比数列，可得，求解p值，验证得答案．【详解】（Ⅰ）由a1=1，，得，，则，，，．由，，a4成等差数列，得a1=a4-a1，即，解得：p=1；（Ⅱ）假设存在p，使得{an}为等比数列，则，即，则1p=p+1，即p=1．此时，，∴，而，又，所以，而，且，∴存在实数，使得{an}为以1为首项，以1为公比的等比数列．【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．21、（1）见解析；（2）见解析【解析】

1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【详解