2025届高考数学一轮总复习考点突破第二章函数2.2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性

第二章函数2.2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性考点一函数的奇偶性命题角度1函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：（1）fx解：由1-x1+x≥0fx的定义域为(-所以fx（2）fx[答案]由9-x2≥所以fx的定义域为{-3,又f3+f所以fx所以fx（3）fx[答案]（方法一）（定义法）当x>0时，fx=-x当x<0时，fxf-所以fx（方法二）（图象法）作出函数fx的图象，如图所示.由图象关于原点对称的特征知函数fx（4）fx[答案]由1-x1+x>0，得-1<x<1，即fx=ln【点拨】判断函数奇偶性的常用方法.①定义法：②图象法：③还可用本节【常用结论】中的“运算”确定奇偶性（在共同定义域上）.④对于分段函数的奇偶性应分段验证，但验证过程往往比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断.⑤对于含有x的对数式或指数式的函数常用“f-x变式1（1）已知函数fx=1-2A.fx是偶函数，gx是偶函数 B.fxC.fx是奇函数，gx是奇函数 D.fx解：fx的定义域为R，且f-x=1-gx的定义域为{x|x≠0}，且g-x=ln（2）[2021年全国乙卷]设函数fx=1A.fx-1-1 B.fx解：由题意，得fx对于A，fx-对于B，fx-对于C，fx+1-1对于D，fx+1+1=2命题角度2函数奇偶性的简单应用例2（1）[2023年全国乙卷]已知fx=xexA.-2 B.-1 C.1解：因为fx为偶函数，所以fx-f-x=xexeax-1--xe-xe-ax-1（2）设fx为奇函数，且当x≥0时，fx=exA.e-x-1 B.e-x解：当x<0时，-x>0，【点拨】①利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．②利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．变式2（1）[2023年新课标Ⅱ卷]若fx=x+aA.-1 B.0 C.12解：因为fx为偶函数，所以f1=f-1，即1+aln13=-1+aln3，解得a=0.当a=0时，fx=xln2x-12x+（2）已知函数y=fx+x是偶函数，且解：设Fx=fx+x.因为Fx为偶函数，所以F故填5.命题角度3抽象函数的奇偶性例3已知定义域为R的函数fx对任意实数x，y都有fx+y+A.fx是奇函数 B.fC.fx既是奇函数也是偶函数 D.f解：由f0≠0，得fx不为奇函数.令x=0，得fy+f-y=2f0fy.再令y=0，得2f0=2[f0]2.【点拨】求解抽象函数的奇偶性，一般需要对抽象函数作不同的特值代换，并进行逻辑推理，得到结果.变式3[2023年新课标Ⅰ卷节选]已知不恒为0的函数fx的定义域为R，fxy=A.fx是奇函数 B.fC.fx既是奇函数也是偶函数 D.f解：令x=y=1，得f1=f1+f1，所以f1=0.令x=y=-1，得f1=f-1+f-1=考点二函数的周期性例4设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=-（1）求证：fx解：证明：因为fx+2=-fx（2）当x∈[2，4][答案]当x∈[-2,0由已知得f-又fx是奇函数，所以f-x又当x∈[2,4]又fx所以fx所以当x∈[2,4（3）计算f0[答案]f0=0,f2=0,f所以f0【点拨】①判断函数的周期性，关键在于利用周期性的定义，证明存在等式fx+T=fx.函数的周期性的常用结论除了前面提到的外，还要注意若变式4（1）已知函数fx对于任意实数x满足条件fx+2=-1fA.-12 B.12 C.解：因为fx+2=-1fx，所以fx+4=f(x+2+2)=-（2）设fx是以2为周期的奇函数，当0≤x<1时，fA.1 B.0 C.-1 D.解：由题意，得f-因为当0≤x<1所以f12=4故选C.考点三函数奇偶性与单调性综合例5（1）已知定义在R上的奇函数fx为减函数，又有f1-a+A.-2,1C.0,1 解：由题意，知f1-a<-f1-a2=fa2-1.又fx（2）设函数fx=ln(1+x)-1A.(13,1) B.C.(-13,13) D.(-∞解：（方法一）由题意，知fx是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，（方法二）把x=1代入fx>f2x-1,得f1>f1,这显然不成立,所以x=1不满足fx>f2x-1,排除D.【点拨】单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质.单调性与奇偶性之间有着密切的联系：①奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且f-x=-fx变式5（1）设函数fx是定义在R上的偶函数，f1=1，当x∈[0,+∞)A.{x|x<1C.{x|1解：当x≥0时，函数y=fx单调