12.3互逆命题（解析版）

12.3互逆命题逆命题两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.题型1：逆命题的定义1．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为同旁内角互补，两直线平行．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．故应填：同旁内角互补，两直线平行．【变式1-1】命题“若a2＝b2，则a＝b．”的逆命题是若a＝b，则a2＝b2．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，依此求解即可．【解答】解：命题“若a2＝b2，则a＝b”的条件是a2＝b2，结论是a＝b，故逆命题是：若a＝b，则a2＝b2．故答案为如果a＝b，那么a2＝b2．题型2：逆命题的真假2.命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该逆命题是真（填“真”或“假”）命题．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的条件是如果a＝b，结论是3a＝3b，故逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该命题是真命题．故答案为：如果3a＝3b，那么a＝b，真．【变式2-1】命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可．【解答】解：命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，故答案为：假．【变式2-2】命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是三个角都相等的三角形是等边三角形．这个逆命题是真命题．（填真或假）【分析】命题“等边三角形的三个角都相等．”的条件是等边三角形，结论是三个角都相等，进而交换条件和结论，即可得出答案．【解答】解：命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是“三个角都相等的三角形是等边三角形”，这个逆命题是真命题；故答案为：三个角都相等的三角形是等边三角形；真命题．题型3：与平行、直角三角形有关的证明3.写出下列命题的逆命题，并判断真假．（1）三角形三个内角的和等于180°；（2）两直线平行，同旁内角互补．【分析】（1）将命题“如果p，那么q”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果q，那么p”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可；（2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可．【解答】解：（1）命题“三角形三个内角的和等于180°”的逆命题为：“内角和等于180°的多边形是三角形”，逆命题是真命题；（2）命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”，逆命题是真命题．【变式3-1】如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．（1）请按要求写出命题：以①作为结论的命题是：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．；以②作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．；（2）请证明以②作为结论的命题．【分析】（1）根据题意要求写出已知求证，写出命题即可求解；（2）根据平行线的判定可得DB//EC，DF//AC，根据平行线的性质可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代换即可得证．【解答】解：（1）以①作为结论的命题是：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．以②作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．故答案为：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2∴DB//EC∴∠DBA＝∠C∵∠A＝∠F∴DF//AC∴∠D＝∠DBA∴∠C＝∠D．【变式3-2】如图，有如下三个论断：①AD∥EF，②∠1+∠2＝180°，③DG∥AB．（1）请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要说明理由）（2）请你在上述真命题中选择一个进行证明．【分析】（1）根据题意，结合图形，写出命题；（2）根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：（1）①如图，如果AD∥EF，∠1+∠2＝180°，那么DG∥AB；②如图，如果∠1+∠2＝180°，DG∥AB，那么AD∥EF；③如图，DG∥AB，AD∥EF，那么∠1+∠2＝180°；（2）①如图，如果AD∥EF，∠1+∠2＝180°，那么DG∥AB；证明：∵AD∥EF，∴∠2+∠BAD＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠BAD，∴DG∥AB；②如图，如果∠1+∠2＝180°，DG∥AB，那么AD∥EF；证明：∵DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴AD∥EF；③如图，DG∥AB，AD∥EF，那么∠1+∠2＝180°；∵DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵AD∥EF，∴∠2+∠BAD＝180°，∴∠1+∠2＝180°．一．选择题（共4小题）1．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；②若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2是真命题；③锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；故选：B．2．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；它们的逆命题是真命题的个数是2个．故选：B．3．下列正确叙述的个数是（）①每个命题都有逆命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理⑤每个定理一定有逆命题⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据逆命题的定义可对①⑤进行判断；根据互为逆命题的两个命题的真假没有关系可对②③④进行判断；先写出命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题，然后进行判断．【解答】解：把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确；原命题：若a＝b，则|a|＝|b|，其逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，它是假命题，所以②错误；原命题：若am＞bm，则a＞b，其逆命题：若a＞b，则am＞bm，它是假命题，所以③错误；定理的逆命题不一定是真命题，所以每个定理不一定有逆定理，所以④错误；每个定理一定有逆命题，所以⑤正确；命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题为“若a3＝b3，则a＝b”，它是真命题，所以⑥错误．故选：B．4．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（）A．如果a＝b，那么|a|＝|b| B．如果|a|＝|b|，那么a＝b C．如果a≠b，那么|a|≠|b| D．如果|a|≠|b|，那么a≠b【分析】分别求出本题中的题设与结论，再将其互换即可．【解答】解：已知本题中命题的题设是a＝b，结论是|a|＝|b|，所以它的逆命题中的题设是|a|＝|b|，结论是a＝b，所以本题中的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b．故选：B．二．填空题（共2小题）5．命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是若﹣a＝﹣b，则a＝b．【分析】根据命题的逆命题进行解答即可．【解答】解：命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是若﹣a＝﹣b，则a＝b，故答案为：若﹣a＝﹣b，则a＝b6．命题：“若a＝b，则a4＝b4”，该命题的逆命题是若a4＝b4，则a＝b；该命题的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，再判断逆命题的真假即可．【解答】解：“若a＝b，则a4＝b4”的条件是：a＝b，结论是：a4＝b4，∴逆命题是：若a4＝b4，则a＝b，若a4＝b4，则a＝±b，故为假命题，故答案为若a4＝b4，则a＝b，假．三．解答题（共2小题）7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝50°，∠BDC＝68°，求∠AED的度数．【分析】求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠A＝50°，∠BDC＝68°，∴∠ABD＝18°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠ABD＝18°，∴∠AED＝∠ABD+∠EDB＝36°．8．已知：如图，△ABC中，E是AB上一点，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，点G为AC上一点，连接DG，且∠1+∠2＝180°．求证：∠DGC＝∠BAC．【分析】先根据垂直的定义得EF∥AD，再根据两直线平行，同旁内角