2024年甘肃省天水市 秦安县安伏中学联片教研中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省秦安县安伏中学联片教研九年级数学第三次模拟考试试卷一、选择题(共30分)1.下列各组数中，互为倒数的是（）A.-3和 B.2和-2 C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，任何非0的数的倒数是，据此即可判断．【详解】A.，则和不互为倒数，故A选项错误；B.，则和不互为倒数，故B选项错误；C.，则和互为倒数，故C选项正确；D.，则和不互为倒数，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查倒数的定义，根据乘积是否为1来判断是解题的关键．2.一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据平方根的性质列出关于m的方程，求出m的值即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与,∴，解得．故选：B．【点睛】本题考查的是平方根的概念，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．3.如图，在平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，根据平行四边形的性质得到，，即可求出答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵∴，∴，故选：D．4.已知实数满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查求代数式的值．关键是把等式中含字母的项看成一个整体，得到这个整体的值．难点是把所给等式整理成和等式中含字母的项有关的式子．由，可得，把所给代数式整理成，把前两项提取，得到含的式子，把整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可．【详解】解：∵原式．故选：．5.如图，在平面直角坐标系中，经过点，直线与交于、两点，则弦的最小值是（）A. B. C. D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由经过点，可求出半径，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【详解】解：对于直线，当时，，故直线恒经过点，记为点．由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，即当时，最短，连接，如图所示，∵，∴，∵经过点，∴，∴，∵，∴，∴弦的最小值是．故选：C．【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．6.如图，在中，，，点为上一点，点为的中点，连接．若，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】过点作于点，由已知可得的中位线，则，再由直角三角形的性质求得，由及三角形外角的性质求得，进而求得，即可求解．【详解】解：如图，连接，过点作于点，，点为的中点，，，，，点是的中点，是的中位线，，在中，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．7.如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，先利用圆周角定理求出，再根据切线的性质可以得到．【详解】解：∵，∴，又∵为的切线，∴，∴，故选B．8.如图，在中，于点M，于点N，P为边中点，连接，则下列结论：①；②；③若，为等边三角形：④当时，．其中正确的是（）A.①② B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质等知识点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；再证明，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；如果为等边三角形求得，推出是等边三角形，得到是等边三角形，而不一定使等边三角形，故③错误；当时，由P为边的中点，得出即可判断④正确．【详解】解：①∵于点M，于点N，P为边中点，，∴，∴，故结论①正确；②在与中，∵，∴，∴，故结论②正确；③∵，，∴为等边三角形，∴，如果为等边三角形，则，∴，∴是等边三角形，∴，则是等边三角形，而不一定是等边三角形，故结论③错误；④当时，∵于点N，∴，∴，∵P为边的中点，∴为等腰直角三角形∴，故结论④正确．综上，①②④正确．故选：B．9.如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．【详解】解：∵矩形的边，，∴，，，由题意知，∴，又∵，∴，∴，由折叠知，，∴，∴，即，连接，设与交于点F，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴点的坐标是，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．10.如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（）A.8 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解．【详解】解：设点，则，∵的面积等于4，∴∴故故选：B二、填空题(共24分)11.分解因式：________．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差公式进行分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．12.方程在的解是________．【答案】x=-1【解析】【分析】将分式方程转化为整式方程，解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：方程左右两边同时乘以（1-x），得：x2-1=0，解得：x=±1，检验：当x=1时，1-x=0，∴x=1是原分式方程的增根，当x=-1时，1-x≠0，∴x=-1是原分式方程的解，故答案为：x=-1．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．13.如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：．14.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=____．【答案】4【解析】【详解】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，∵∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∵CD⊥AB，∴DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，∵cos∠EOD=cos60°=，∴=，解得R=4，∴OE=4﹣2=2，∴DE=OE=2，∴CD=2DE=4故答案为4．考点：垂径定理、解直角三角形15.如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示，由题意得，∴，∴，又∵，∴，∴，∵H是的中点，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键．16.已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为_____．【答案】【解析】【详解】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，∴S△AOC=1，S△OBD=4，∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．【点睛】本题考查反比例函数及锐角三角函数综合题，正确添加辅助线，数形结合解题是关键．17.如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则这个六棱柱的一个侧面面积是______．（单位：m）【答案】6【解析】【分析】本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，得出正六边形的边长是解题关键．由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2m，高为3m，进而求出侧面积．【详解】解：如图，由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六边形的最长的对角线长是4，设O正多边形中心，则，，，则为等边三角形，则边长，由左视图可知，正六棱柱的高为3，一个侧面的面积为，故答案为：6．18.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解．【详解】连接，∵轴∴故答案为：3三、计算题(共8分)19.（1）．（2）【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）首先计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，然后计算加减；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】（1）；（2）解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为：．【点睛】此题考查了绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．四、作图题(共6分)20.如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．（1）如图1，在线段上找一点D，使得．（2）如图2，画出的角平分线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．（1）取格点F和格点E，使得，连接交于点D即可；（2）取格点G，构造等腰三角形，找到的中点H，连接并延长交于点E即可．【小问1详解】（1）如图所示，点D即为所求；如图可知，，∵，∴，∴，∴，∴点D即可为所求；【小问2详解】如图所示，线段即为所求．取格点，连接、，相交于点H，根据网格特点可知，四边形是矩形，∴，∵，∴是等腰三角形，∴平分，延长交于点E，则即为所求五、解答题(共52分)21.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围（2）若满足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．【小问1详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：；【小问2详解】解：∵关于x的一元二次方程，，，∵，∴，即，十字相乘因式分解得：，，∵，∴．22.如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．（1）求的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；（2）根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．【小问1详解】∵的垂直平分∴∴．又∵平分，∴，而，又∵，∴．【小问2详解】∵，，∴∴∴．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．23.如图1，△ABC内接于，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E.（1）求证：△ADE∽△CDA（2）如图2，若的直径AB，CE=2，求AD和CD的长.【答案】（1）详见解析；（2），.【解析】【分析】（1）根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证角相等，进而可证三角形相似；（2）连接BD，先证三角形ADB为等腰直角三角形，求出AD的长，再根据（1）中的相似三角形得出比例式求解即可.【详解】（1）∵点D是的中点，∴∴∠ACD=∠BAD∵∠ADE=∠CDA∴△ADE∽△CDA（2）连结BD，∵点D时的中点，∴AD=BD∵AB是的直径，∴∠ADB=90°∴△ADB为等腰直角三角形，∴，由（1）得△ADE∽△CDA∴，即，∴，∴，解得CD=8或-6（负值舍去）∴CD=8.【点睛】本题是圆与相似三角形的综合题，掌握圆周角定理及其推论，相似三角形的性质与判定是关键.24.如图，已知四边形的外接圆的半径为，弦与的交点为，与相交于点，.（1）求证：（2）若，求的面积.【答案】（1）见解析；（2）的面积为.【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACB，证出△ABE∽△ACB即可得证；（2）根据条件AE=EC，可知S△BAE=S△BCE，S△DAE=S△DCE，从而可得S△BCD=S△BAD，而△BAD的面积为×BD×AF即可．【详解】（1）证明：∵∴∵∴又∵∴∴∴（2）连接.∵，∴，，，，∵，∴，，∴，，∴．答：的面积为.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质以及圆的相关性质定理，在解决圆的问题中学会角的转换是解题的关键．25.在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25．（1）请估计摸到白球的概率将会接近________；（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个；（3）15【解析】【分析】（1）根据摸到白球的频率，可得“摸到白色球”的概率；（2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量；（2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵摸到白球的频率为0.25，∴“摸到白色球”的概率=0.25．（2）∵60×0.25＝15，60﹣15＝45，∴盒子里白球为15个，黑球45个；（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得：解得：x＝15．答：需要往盒子里再放入15个白球．【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．26.如图，小丽瞭望远处的建筑物．已知小丽的高度为1.6米，在点M处测得建筑