广东2024届八年级数学第二学期期末达标检测试题含解析

广东实验中学2024届八年级数学第二学期期末达标检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表:

选手甲乙丙丁

方差0.0230.0180.0200.021

则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

2.某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知,营销人

员没有销售时的收入是（）

A.310元B.300元C.290元D.280元

3.下列计算正确的是（）

A..=36B.J（—3）2=-3C.耶=土3D.（-6）2=3

4.已知一次函数y=+8不过第二象限，则b试问取值范围是（）

A.b<0B.b>0C.b<0D.b20

5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC,②NABC=90。，③AC=BD,④AC_LBD四个条件中，选两个

作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）

A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④

6.有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均

数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（）

A.中位数B.平均数C.众数D.方差

7.如图，有一个圆柱，它的高等于12cm,底面半径等于3cm,在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与

点A相对的点3的食物，需要爬行的最短路程是（兀取3）（)

A.10cmB.12mC.14cmD.15cm

8.如图，RtABC中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°，CD=26cm则AB的长为（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

9.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上.如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一

阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，y表示张强离家的距离.则下列说法错误的是（）

A.体育场离张强家2.5千米

B.体育场离文具店1千米

C.张强在文具店逗留了15分钟

3

D.张强从文具店回家的平均速度是两千米/分

10.如图，每个图形都是由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形面积为2,第②个图形的面积为6,

第③个图形的面积为12,…，那么第⑥个图形面积为（）

①②

③④

A.20B.30C.42D.56

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.如图，点。是A3CZ)的对称中心，AD>AB,E、b是A6边上的点，S.EF=-AB,G、"是边上的

2

1S.

点，且GH=qBC,若S］、邑分别表示AEOF和GOH的面积则肃=------------

3

12.在平面直角坐标系xOy中，已知A(0,1),B(1,0),C(3,1),若以A、B,C、O为顶点的四边形是平行四

边形，则点。的坐标是

13.直线y=-工％+2是由直线丫=-向上平移个单位长度得到的一条直线.直线v=-工％+2是由

2-22

直线y=向右平移个单位长度得到的一条直线.

2

14.若直线y=自+匕与直线y=2x-3平行,且与两坐标轴围成的面积为1,则这条直线的解析式是

15.如图，正方形4BCD的边长为6,点E,F分别在边4B,BC上,若尸是BC的中点，且NEDF=45。，贝!)BE的长为

BF、

16.如图，一次函数y=-2x+2的图象与x轴、y轴分别交于点4、B,以线段4B为直角边在第一象限内作等腰直角三角形

cm.

18.有一组数据如下：3、7、4、6、5,那么这组数据的方差是.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在菱形ABC。中，G是50上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F,交于点E.

(1)求证：AG=CG；

(2)求证：AG2=GEGF.

20.（6分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZA=ZC,CD=2AD,BEMD于点E,F为CD的中点，连接EF、

BF.

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）求证：BF平分NABC；

（3）请判断aBEF的形状，并证明你的结论.

2L（6分）解方程：x—J2x+l=l.

22.（8分）在矩形ABCD中，BE平分NABC交CD边于点E.点F在BC边上，且FE_LAE.

（1）如图1,①NBEC=°；

②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；

（2）如图2,FH〃CD交AD于点H,交BE于点M.NH〃BE,NB〃HE,连接NE.若AB=4,AH=2,求NE的长.

图2

23.（8分）某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足

球的进价是第一次进价的L2倍，且数量比第一次少了10个.求第一次每个足球的进价是多少元？

24.（8分）如图，点A和点8分别在x轴和y轴上，且。4=。3=4,直线3c交x轴于点C,SABOC=SAABC.

（1）求直线3c的解析式；

（2）在直线5c上求作一点P,使四边形OR4P为平行四边形（尺规作图，保留痕迹，不写作法）.

25.（10分）甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到相距80千米的3地，行驶过程中的函数图象如图

所示，请根据图象回答下列问题：

（1）谁先出发早多长时间谁先到达B地早多长时间？

（2）两人在途中的速度分别是多少？

（3）分别求出表示甲、乙在行驶过程中的路程与时间之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.

y（千米）

X（小时）

26.（10分）观察下列各式子，并回答下面问题.

第一个：正二T

第二个：—2

第三个：斤与

第四个：“2_4…

（1）试写出第"个式子（用含”的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？

（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小,

即波动越小，数据越稳定.由S/VS丙2<sl<s甲2,

...这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙.

故选B.

考点：方差,算术平均数.

2、B

【解题分析】

试题分析：观察图象，我们可知当销售量为1万时，月收入是800,当销售量为2万时，月收入是11,所以每销售1

万，可多得11-800=500,即可得到结果.

由图象可知，当销售量为1万时，月收入是800,当销售量为2万时，月收入是11,

所以每销售1万，可多得11-800=500,因此营销人员没有销售业绩时收入是800-500=1.

故选B.

考点：本题考查的是一次函数的应用

点评：本题需仔细观察图象，从中找寻信息，并加以分析，从而解决问题.

3、D

【解题分析】

根据二次根式的运算法则和性质逐个进行化简分析.

【题目详解】

A.『更,本选项错误；

V33

B.'（-3）2=3,本选项错误；

C.耶=3,本选项错误；

D.（-6）2=3,本选项正确.

故选D

【题目点拨】

本题考核知识点：二次根式的化简.解题关键点：熟记二次根式的性质.

4、C

【解题分析】

根据题意可知：图象经过一三象限或一三四象限，可得b=l或bVL再解不等式可得答案.

【题目详解】

解：一次函数y=+6的图象不经过第二象限，

则可能是经过一三象限或一三四象限，

若经过一三象限时，b=l；

若经过一三四象限时，b<l.

故bWl,

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、

b的符号有直接的关系.k>l时，直线必经过一、三象限；k<l时，直线必经过二、四象限；b>l时，直线与y轴正

半轴相交；b=l时，直线过原点；b<l时，直线与y轴负半轴相交.

5、B

【解题分析】

试题分析：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行

四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形

ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；

C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是

正方形，正确，故本选项不符合题意；

D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD

是正方形，正确，故本选项不符合题意.

故选B.

考点：1.正方形的判定；2.平行四边形的性质.

6、A

【解题分析】

根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数.

【题目详解】

去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A.

【题目点拨】

考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.

7、D

【解题分析】

要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内.根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程.

【题目详解】

解：展开圆柱的半个侧面是矩形，

矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即37rB%矩形的宽是圆柱的高1.

根据两点之间线段最短，

知最短路程是矩形的对角线AB的长，即AB=，AC?+BC2爰+9?=15厘米.

故选：D.

【题目点拨】

此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内.根据两点之

间，线段最短.确定要求的长，再运用勾股定理进行计算.

8、C

【解题分析】

根据直角三角形的性质求出AC,得到BC=^AB,根据勾股定理列式计算即可.

2

【题目详解】

在RtAADC中,ZA=30°,

.*.AC=1CD=4V3,

在RtAABC中，ZA=30°,

1

/.BC=-AB,

2

1L

由勾股定理得，AB^BC^AC1,即AB1=(-AB)'+(473)S

2

解得，AB=8(cm),

故选C.

【题目点拨】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a】+bi=ci.

9、C

【解题分析】

(1)因为张强从就家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离；

(2)张强从体育场到文具店的递减函数，此段函数图象的最高点与最低点纵坐标的差为张强家到文具店的距离

(3)中间一段与x轴平行的线段是张强在图书馆停留的时间；

(4)先求出张强家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，最后求出二者的比值即可.

【题目详解】

解：(1)由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，从家到体育场用了15分；

(2)由函数图象可知，张强家离文具店1.5千米，离体育场2.5千米，所以体育场离文具店1千米;

(3)张强在文具店停留了65—45=20分；

(4)从图象可知：文具店离张强家1.5千米，张强从文具店散步走回家花了100-65=35分，

...张强从文具店回家的平均速度是号==2千米/分.

3535070

【题目点拨】

本题考查的是函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解答此题的关键.

10、C

【解题分析】

观察图形，小正方形的个数是相应序数乘以下一个数，每一个小正方形的面积是1,然后求解即可.

【题目详解】

解：•••第①个图形的面积为lx2xl=2,

第②个图形的面积为2x3xl=6,

第③个图形的面积为3x4x1=12,

•••9

第⑥个图形的面积为6x7x1=42,

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，并找到图形的变化规律.

二、填空题（每小题3分，共24分）

3

11、-

2

【解题分析】

S.EF1S,GH1

根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出了二=—=不，三屋=—再由点O是。ABCD的对称中

,AOB2'BOCEC3

心，根据平行四边形的性质可得SAAOB=SABOC=abcd,从而得出SI与S2之间的等量关系.

【题目详解】

S.EF1S?GH1

解：由题意可得耘=5'丁=证=了

鸿=小叱52=卜8"

•.•点O是口ABCD的对称中心,

・__1

••SAAOB=SABOC=~3cABCD，

1

.£=2=3

"5212

3

3

故答案为：-

2

【题目点拨】

本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出

EF_1S2GH1

，正=§是解题的关键.

^.AOB~AB~2~S1Z

12、（-2,0）或（4,0）或（2,2）

【解题分析】

分三种情况：①BC为对角线时,②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标.

【题目详解】

解：分三种情况：①AB为对角线时，点D的坐标为（-2,0）；

②BC为对角线时，点D的坐标为（4,0）；

③AC为对角线时，点D的坐标为（2,2）.

综上所述，点D的坐标可能是（-2,0）或（4,0）或（2,2）.

故答案为（-2,0）或（4,0）或（2,2）.

【题目点拨】

本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

13、2,1.

【解题分析】

根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案.

【题目详解】

解：直线y=-2％+2是由直线丁=-工工向上平移2个单位长度得到的一条直线.由直线y=-工》向右平移1

.222

个单位长度得到y=--(x-4)=--x+2.

.22

故答案是:2；1.

【题目点拨】

本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键.

14、y=lx±l.

【解题分析】

根据平行直线的解析式的k值相等可得k=L然后求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式列式计算即可

求得直线解析式.

【题目详解】

解：•••直线y=kx+b与直线y=lx-3平行，

k=l,即y=lx+b

b

分别令x=0和y=0,得与y,x轴交点分别为(0,b)和0)

.1b

..S=—x|b|x|-—|=1,..b=±l

22

:.y=lx±l.

故答案为：y=lx±l.

【题目点拨】

本题考查两直线相交或平行问题，以及三角形面积问题，熟记平行直线的解析式的k值相等是解题的关键.

15、4

【解题分析】

延长F至G,使CG=AE,连接DG,由SAS证明4ADE丝ZiCDG,得出DE=DG,ZADE=ZCDG,再证明

△EDF^AGDF,得出EF=GF,设AE=CG=x,则EF=GF=3+x,在RtZ\BEF中，由勾股定理得出方程，解方程得出

AE=2,从而求得BE的长即可.

【题目详解】

解：延长F至G,使CG=AE,连接DG、EF,如图所示:

•..四边形ABCD是正方形,

AD=AB=BC=CD=6,ZA=ZB=ZDCF=ZADC=90°,

.,.ZDCG=90°,

^△ADE^DACDG中,AE^CG

AA=ZDCG=90°

■AD=CD

/.△ADE^ACDG(SAS),

/.DE=DG,NADE=NCDG,

.,.ZEDG=ZCDE+ZCDG=ZCDE+ZADE=90°,

VNEDF=45。，

NGDF=45°,

在4EDF和4GDF中，JDE=DG

，乙EDF=4GDF

IDF^DF

.,.△EDF^AGDF(SAS),

.\EF=GF,

是BC的中点，

；.BF=CF=3,

设AE=CG=x,贝!]EF=GF=CF+CG=3+x,

在RtaBEF中，由勾股定理得:32+(6-X)2=(3+X)2,

解得：x=2,即AE=2,

.\BE=AB-AE=6-2=4.

【题目点拨】

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了方程的思想，证明三角形全等是解本题的

关键.

16、(3,1)；

【解题分析】

先求出点A,B的坐标，再判断出AABO义ACAD,即可求出AD=2,CD=1,即可得出结论；

【题目详解】

如图，过点C作CD±x轴于D,

令x=0,得y=2,

令y=0,得x=L

・・・A(l,0),B(0,2),

AOA=1,OB=2,

VAABC是等腰直角三角形，

.\AB=AC,ZBAC=90°,

.\ZBAO+ZCAD=90°,

VZACD+ZCAD=90°,

AZBAO=ZACD,

VZBOA=ZADC=90°,

AAABO^ACAD,

AAD=BO=2,CD=AO=1,

AOD=3,

・・・C(3,1)；

【题目点拨】

此题考查一次函数综合，解题关键在于作辅助线

17、5或"

【解题分析】

利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为3cm、4c7”时；二是当这个直

角三角形的一条直角边为3cm,斜边为4cm.然后利用勾股定理即可求得答案.

【题目详解】

当这个直角三角形的两直角边分别为3cm、4c7”时，

则该三角形的斜边的长为：732+42=5(皿),

当这个直角三角形的一条直角边为3cm,斜边为4cm时，

则该三角形的另一条直角边的长为：行，=屿(cm).

故答案为5或近.

【题目点拨】

此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，注意分类讨论是解题关键.

18、1

【解题分析】

试题分析：平均数为：(3+7+4+6+5)+5=5,

岸=|x[(3-5)叶(7-5)]+(4-5>+(6-5)]+(5-5)1]

=1x(4+4+l+l+0)

=1.

故答案为1.

点睛：本题考查方差的定义：一般地，设"个数据*1,XI,…&的平均数为则方差

1_

整=—[(n-x)i+(N—…+(炉一X)/它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

n

三、解答题(共66分)

19、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解题分析】

(1)根据菱形的性质得到AB〃CD,AD=CD,NADB=NCDB,推出AADG丝Z\CDG,根据全等三角形的性质即可

得到结论；

(2)由全等三角形的性质得到NEAG=NDCG,等量代换得到NEAG=NF,求得△AEGs^FGA,即可得到结论.

【题目详解】

解：(1)•.•四边形ABCD是菱形，

AAB#CD,AD=CD,ZADB=ZCDB,

AD=CD

在4ADG与ACDG中，<ZADG=ZCDG,

DG=DG

/.△ADG^ACDG(SAS),

.\AG=CG；

(2)VAADG^ACDG,AB/7CD

/.ZF=ZFCD,ZEAG=ZGCD,

:.ZEAG=ZF

VZAGE=ZAGE,

/.△AEG^AFAG,

.AGEG

''~FG~~AG'

.\AG2=GE«GF.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.

20、(1)见解析；(2)见解析；(3)ABEF为等腰三角形，见解析.

【解题分析】

(1)由平行线的性质得出NA+NABC=180°,由已知得出NC+NABC=180°，证出AB〃BC,即可得出四边形ABCD

是平行四边形；

(2)由平行四边形的性质得出BC=AD,AB//CD,得出NCFB=NABF,由已知得出CF=BC,得出NCFB=NCBF,

证出NABF=NCBF即可；

(3)作FG±BE于G,证出FG/AD//BC,得出EG=BG,由线段垂直平分线的性质得出EF=BF即可.

【题目详解】

解：(1)证明：••,ADIIBC,

ZA+ZABC=180°：

••,ZA=ZC

.ZC+ZABC=180°

ABIICD

.•四边形ABCD是平行四边形

(2)证明：

・••F点为CD中点

CD=2CF

CD=2AD

CF=AD=BC

ZCFB=ZCBF

CDHAB

ZCFB=ZFBA

ZFBA=ZCBF

BF平分/ABC

(3)ABEF为等腰三角形

G

D_______•"7

玷/V_\------/---7*C

A乙------------「QB

理由：如图，延长EF交B延长线于点G

DAHBG

ZG=ZDEF

•••F为DC中点

DF=CF

XVZDFE=ZCFG

ADFE^ACFG(AAS)

FE=FG

ADHBC,BEJAD

BE-LCD

ZEBG=90°

在RtAEBG中，F为BG中点

1

BF=-EG=EF

2

「ABEF为等腰三角形.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；熟

练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键/

21、x=4

【解题分析】

先移项，再两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，最后进行检验即可.

【题目详解】

解：移项得：A/2X+1-X-1>

两边平方得：2x+l=(x—1>,

整理得：%2—4%=0>

解得：％=0,々=4,

经检验％=0不是原方程的解，舍去，

，x=4是原方程的解.

【题目点拨】

本题考查了解无理方程的应用，解此题的关键是能把无理方程转化成有理方程，注意：解无理方程一定要进行检验.

22、(1)①45；②△ADEgz^ECF,理由见解析；(2)275.

【解题分析】

(1)①根据矩形的性质得到NA5C=NBCD=90°,根据角平分线的定义得到NEBC=45。，根据三角形内角和定

理计算即可；

②利用ASA定理证明_ADE=_ECF；

(2)连接证明四边形是矩形，得到NE=BH,根据勾股定理求出9即可.

【题目详解】

(1)①I•四边形ABCD为矩形，

/.ZABC=ZBCD=90°,

；BE平分NABC,

.\ZEBC=45°,

.\ZBEC=45°,

故答案为45；

②△ADEgZkECF,

理由如下：•••四边形ABCD是矩形，

AZABC=ZC=ZD=90°,AD=BC.

VFE1AE,

.\ZAEF=90°.

/.ZAED+ZFEC=180°-NAEF=90°.

VZAED+ZDAE=90°,

/.ZFEC=ZEAD,

"."BE平分NABC,

.­.zEBC=^zABC=45°

2

...NBEC=45°.

:.NEBC=NBEC.

ABC=EC.

，AD=EC.

在aADE和4ECF中，

ZDAE=ZCEF

<AD=EC,

/ADE=ZECF

：.AADE^AECF；

(2)连接HB,如图2,

VFH/7CD,

AZHFC=180°-ZC=90°.

・・・四边形HFCD是矩形.

・・・DH=CF,

VAADE^AECF,

ADE=CF.

ADH=DE.

ZDHE=ZDEH=45°.

VZBEC=45°,

AZHEB=180°-ZDEH-ZBEC=90°.

VNH/7BE,NB/7HE,

・・・四边形NBEH是平行四边形.

・・・四边形NBEH是矩形.

/.NE=BH.

・・,四边形ABCD是矩形，

AZBAH=90°.

・・•在RSBAH中,AB=4,AH=2,

BH=后/1=右1=2「

.NE=20.

【题目点拨】

本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

23、第一次每个足球的进价是100元.

【解题分析】

设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，根据数量关系：第一次购进足球的数量-10个=

第二次购进足球的数量，可得分式方程，然后求解即可；

【题目详解】

设第一次每个足球的进价是8元,

则第二次每个足球的进价是1.2%元,

40003600

根据题意得,=10,

x1.2%

解得：x=100,

经检验：尤=100是原方程的根，

答：第一次每个足球的进价是100元.

【题目点拨】

考查分式方程的应用，关键是理解题意找出等量关系列方程求解.

24、(1)y=-2x+4；(2)见解析.

【解题分析】

(1)根据三角形面积公式得到OC=AC=LOA=2,则C(2,0),然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

2

(2)当APLx轴时，AP〃OB,利用OC=AC可得至!]AP=OB,根据平行四边形的判定方法可得到四边形OBAP为平

行四边形，于是过点