江苏省南通市示范初中2023-2024学年高二年级上册数学期末联考试题含解析

江苏省南通市示范初中2023-2024学年高二上数学期末联考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知43,1,0),5(5,2,2),C(2,0,3),则点C到直线48的距离为()

A.3B.布

C.2V2D.VW

2.设acR,若函数y=e"'+3x,xeH有大于零的极值点，贝！I

A.a>-3B.a<—3

11

C.ci>—D.a<—

33

3.过抛物线的焦点厂的直线交抛物线于不同的两点AB,则』十点的值为

IAFI\BF\

A.2B.1

1

C.-D.4

4

4.已知命题P：若直线/与抛物线。有且仅有一个公共点，则直线/与抛物线C相切，命题/若机>5,则方程

22

+」一=1表示椭圆.下列命题是真命题的是

m-3m+1

A.〃v(F)B.(r7)/\q

C.P^QD.(^>)A(-,^)

5.设名，是两个不同的平面，/是一条直线，以下命题正确的是

A.若/_L(Z,tz_1_，，贝U/u，B.若////。//尸，贝u，

C芾ILa,al1/3,贝!|/，尸D.若///。,。，，，贝！尸

6.中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名

著，该书

476石R77石

C.78石0.79石

V22I

7.设椭圆。：々+v与=1（。>6>0）的左焦点为尸，。为坐标原点.过点F且斜率为一的直线与C的一个交点为

a2b22

Q（点。在x轴上方），且|。耳=[0。|,则C的离心率为（）

1

V3B.-

V3

A/2D至

V3

8.已知双曲线=—2=1（fl>0,>>0）的左、右焦点分别为B，闺玛|=2c.若双曲线M的右支上存

ab

a3c

在点P'使sin/P^B会前，则双曲线M的离心率的取值范围为（）

C.(1,2)D.(2,+oo)

9.已知等差数列｛4｝中，/=15,则%+%+%+%=。

A.15B.30

C.45D.60

10.圆Y+y2+2x—2y—4=0截直线（27TI+1）X+（3加+1）y一5加一1=0所得弦的最短长度为（）

A.2B.2拒

C.2A/3D.4

11.对于公差为1的等差数列｛4｝,见=2；公比为2的等比数列｛2｝,4=4,则下列说法不正确的是（）

A.an=n

B.b"=2"i

C.数列｛In2｝为等差数列

D.数列｛为d｝的前n项和为5—1）2用+2

12.已知尸是直线2x+3y+8=0上的动点，PA,P8是圆炉+）?—2x—2y+1=0的切线，A,8为切点，C为圆心,

那么四边形HLC3的面积的最小值是()

A2B.272

C.3D.273

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知正三角形边长为“，则该三角形内任一点到三边的距离之和为定值且a.类比上述结论，在棱长为a的正四

2

面体内，任一点到其四个面的距离之和为定值____.

14.若不等式了2一公+人＜0的解集为(2,3),则。+小=

15.矩形A3CZ＞中，AB=2AD,在CZ＞边上任取一点则的最大边是A5的概率为

16.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在等差数列｛&｝中，％=—186,

。90+“100=0•

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛|。』｝的前〃项和7；.

18.(12分)已知数列｛为｝和也｝满足q=2,«„+^„_1=3(n＞2)

(1)若q=2，求｛&｝的通项公式；

(2)若伪=。，证明｛4｝为等差数列，并求｛&｝和｛2｝的通项公式

19.(12分)已知/■(x)=lgt^(aH—1)是奇函数.

2-x

(1)求〃的值；

(2)若g(x)=/(x)+备，求gg]+g]—£|的值

20.(12分)已知抛物线C：V=2px经过点(1,2).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)经过抛物线C的焦点尸的直线/与抛物线交于两点M,N,且与抛物线的准线交于点Q.若|MN|=20|Q同，求

直线/的方程.

2

21.(12分)如图，已知双曲线C：《-丁=1,过向双曲线。作两条切线，切点分别为A(0%)，B(x2,y2),

且X]<0,%>0.

(1)证明：直线24的方程为三-％y=L

(2)设尸为双曲线。的左焦点，证明：ZAFP+ZBFP=n.

22.(10分)已知点(6,1)是椭圆E：旦+其=l(a〉6〉0)一点，且椭圆的离心率为当

/b2

(2)设椭圆的左顶点为A,过点A向上作一射线交椭圆E于点5,以A3为边作矩形A3C。，使得对边C。经过椭圆

中心O.

(i)求矩形A3C。面积的最大值;

(ii)问：矩形A8C。能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】应用空间向量的坐标运算求AC在上投影长及AC的模长，再应用勾股定理求点C到直线A3的距离.

AD.Ar

【详解】因为AB=(2,1,2),AC=(-1,-1,3),所以-------=1

\AB\

设点C到直线AB的距离为d,则d=7lAC|2-1=M.

故选：D

2、B

【解析】设>=中'+3%,则/'(x)=3+ae”，若函数在xCR上有大于零的极值点

即/⑴=3+a*=0有正根，当有了'(》)=3+。*=0成立时，显然有a<0,

13

此时x=—ln(——).由％>0,得参数a的范围为a<—3.故选B

aa

考点：利用导数研究函数的极值

3、D

【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点46确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方

11

程联立，求出口%以及％+%的值，然后通过抛物线的定义将由+西化简，最后得出结果

【详解】因为直线交抛物线于不同的两点A、B,

所以直线的斜率存在,

设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+^,

x2=y<IAiii

由｛i可得V—左,+京=0,%+%=/+彳,

y=kx+_12J16162

因为抛物线的准线方程为y=

所以根据抛物线的定义可知|4司=%+；,忸耳=%+：，

1

11_1_1%+为+]

所以--4,综上所述，故选D

+,1+-7T

1\AF1\1\B1F\~%+%%+]%%+；(%+%)+一

16

【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质,

考查了计算能力，是中档题

4、B

【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题P为假；当机>5时,

m+l>m-3>0,命题。为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.

【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点,

直线与抛物不相切，可得命题。是假命题，

当相>5时，m+l>m—3>0,

22

方程一二+二一=1表示椭圆

m—3m+1

命题q是真命题，

则(「夕)Aq是真命题.

故选:B.

【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.

5、C

【解析】对于A、B、D均可能出现///，，而对于C是正确的

6、C

【解析】设出未知数，列出方程组，求出答案.

【详解】设甲、乙、丙分得的米数为x+d,x,x-d,贝!!(x+d)—(x—d)=36,解得：d=18,(x+d)+x+(x—d)=180,

解得：x=60,所以x+d=60+18=78(石)

故选：C

7、D

【解析】连接。和右焦点尸，可知|0。|=；|"’|,可得N尸0尸=90。，由勺2=：得.匕=一2,写出两直线方程,

联立可得。点坐标，。点坐标代入椭圆标准方程可得4、从C关系.

【详解】设椭圆右焦点为尸'，连接。尸'，

O

v|C>F|=|O(2|,\OF\=\OF'\,：.\OQ\=^\FF\,：.ZFQF'=9Q,\-kFQ=~,：.kF,Q=-2,尸0过尸(一c,0),

22

尸。过尸(c,0),

则世：y=g(x+c),F'Q：y=-2(x—c),

A2

，又，="—〃，解得彳4

a9

8、A

a3国'用”，C表示出IPKL再由点尸的位置列出不等式求

【解析】利用三角形正弦定理结合

sin/尸耳B

解即得.

I呷

【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在△产石£中，由正弦定理得:

sinNP片心sinNPgK

因瓦a万航=乐万3c'于是得匕IPE」I=靠IP'F而I点尸在双曲线时的右支上'即用I万＞2%

r\2

从而有|尸鸟|=’二，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有。，

3c-a

因此，2£_〉C_。，而整理得3c2—4ac—片＜0,即3e?—4e—1＜0,解得

3c-a33

又e〉l,故有1＜6＜如夕，

3

所以双曲线M的离心率的取值范围为(1,2*)­

故选:A

9、D

【解析】根据等差数列的性质，可知％+%5=%+。9=24，从而可求出结果.

【详解】解：根据题意，可知等差数列｛4｝中，心=15,

贝（］4+45=%+〃9=2a8,

所以q+%+。9+%5=4〃8=4x15=60.

故选：D.

10、A

【解析】由题知直线过定点（—2,3）,且在圆好+/+2%—2y—4=0内，进而求解最值即可.

【详解】解：将直线（2加+l）x+（3相+l）y—5m一1=0化为（x+y-l）+m（2x+3y-5）=O,

x+y-l=0x--2

所以联立方程<得

2x+3y—5=0J=3

所以直线（2m+l）x+（3m+l）y—5加—1=0过定点（―2,3）

将/+/+2%—2y—4=0化为标准方程得（x+lF+（y—1）2=6,即圆心为（一口），半径为r=#，

由于（—2+1）2+（3-1）2<6,

所以点（―2,3）在圆（x+以+（y—#=6内，

所以点（—2,3）与圆（x+以+（y—丁=6圆心（T1）间的距离为d=逐，

所以圆/+;/+2%一2丁-4=0截直线（27〃+1卜+（3m+1）丁—5加—1=0所得弦的最短长度为2后三=2

故选：A

11、B

【解析】由等差数列的通项公式判定选项A正确；利用等比数列的通项公式求出2=2",即判定选项B错误；利用

对数的运算和等差数列的定义判定选项C正确；利用错位相减法求和，即判定选项D正确.

【详解】对于A:由条件可得q=2—1=1,4=1+〃—1=〃，

即选项A正确；

对于B由条件可得条=2,〃=2X2"T=2",

即选项B错误；

对于C：因为a=2",所以In，=ln2"=〃ln2,

则lnb“+]-如A*=（n+l）ln2-nln2=In2,

即数列｛山2｝是首项和公差均为m2的等差数列,

即选项C正确；

n

对于D：anb=n-2,设数列｛隔包｝的前九项和为S〃,

贝！|S“=]2+2.22+…+/.2",

2sH=1"+2"+…+也•，

上面两式相减可得—S=2+2、++=20—2

"1-2

所以邑=2+(〃—1)-2川，

即选项D正确.

故选：B.

12、D

【解析】由圆C的标准方程可得圆心为(1,1),半径为1,根据切线的性质可得四边形面积等于|H4|,

|B4|=^\PCf-l，故求解|PC|最小时即可确定四边形MB面积的最小值.

【详解】圆洋x2+/-2x-2j+l=0即(x—I)?+(y—I,=1,

表示以C(l,1)为圆心，以1为半径的圆，

由于四边形PACB面积等于2x-x\PA\x\AC\=\PA\,耐=J|PC1—1,

故当|PC|最小时，四边形MC5面积最小，

又|PC|的最小值等于圆心C到直线/：2x+3y+8=0的距离乙而4=卷*=a，

11A/22+32

故四边形PACB面积的最小值为713-1=26，

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1Q瓜

13、---a

3

【解析】利用正四面体内任一点可将正四面体分成四个小四面体，令它们的高分别为4,生,％,也，由体积相等即可求

得4+力2+4+%；

【详解】正三角形边长为e则该三角形内任一点到三边的距离分别为4,为，4，即有：

S=^-a2=+4+%)，解得九+4+4~~^~a

同理，棱长为。的正四面体内，任一点到其四个面的距离分别为4,生,久,也，即有：

=

V+4+/+，4)，解得4+a+%+力4~~^a

故答案为：逅口

3

【点睛】本题考查了利用空间几何体的等体积法求高的和为定值，属于简单题；

14、11

【解析】根据题意得到2与3是方程d—依+/,=()的两个根，再根据两根之和与两根之积求出。力，进而求出答案.

【详解】由题意得：2与3是方程无2—依+b=o的两个根，则2+3=。，2x3=/，所以a+〃=5+6=H.

故答案为：11

15、73-1

【解析】先利用勾股定理得出满足条件的长度，再结合几何概型的概率公式得出答案.

【详解】设|AB|=2,当|AM|=2时，|。町|=也2-12=5|MC|=2-V3；当|8M|=2时，|。/|=2—6,

所以当M到。,C的距离都大于2-若时，A3N的最大边是A5,所以的最大边是A5的概率为

p=2-2(2-73)=^_b

2

故答案为：V3-1

16、,21n2-2]

【解析】根据零点定义，分离出。，构造函数g("r)=ex-2x,通过研究g(x)="-2x的值域来确定。的取值范围

【详解】根据零点定义，则用一2%+。=0

所以一a=ex-lx

令g(尤)=e%_2尤

则g'(%)=ex-2,令g\x)=ex-2=Q

解得％=In2

当xvln2时，g<0,函数gCx)="-2x单调递减

当x>ln2时，g'(x)>0,函数g(x)="-2x单调递增

所以当x=In2时取得最小值，最小值为2—21n2

所以由零点的条件为—。22-2山2

所以21n2—2,即。的取值范围为(9,2In2—2]

【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)an=2n-190

e189n-n2,n<95,

⑵T=4

"[n2-189n+17860,n>96.

【解析】(1)设｛&｝的公差为d,根据题意列出关于4和d的方程组，求解方程组，再根据等差数列的通项公式，即

可求出结果.

(2)对数列｛4｝中项的正负情况进行讨论，再结合等差数列的前〃项和公式，即可求出结果.

【小问1详解】

解：设｛&｝的公差为d,因为电=-186,“90+^100=0，

a1+d=—186,=—188,

所以4解得

3+1884=0,d=2,

故%=-188+(n-1)x2=2n-190.

【小问2详解】

解：设｛4｝的前〃项和为S“，贝！IS“="2—189”.

当〃<95时，«„<0,

所以<=同+|词+|%|+…+|。"|=一4~a2~a3~--~an

所以4=寓|=189〃—〃2；

当〃296时，«„>0

4=同+同+同+…I@|+|佝61”+同=-3+%++<395)+(<396++4)

——2(%+2++为5)++2++%5+%6++%)

=S“-2s95="2-189a+17860.

fl89n-n2,n<95

所1以1=4

”[n2-189n+17860,n>96'

,、31/Y\M-1

18、⑴an=-+-x(-l)

(2)证明见解析，an=n+l,bn=l-n

【解析】(1)代入可得4=-4T+3,变形得为一|=-卜篙一3]构造等比数列求｛%｝的通项公式；

(2)先由已知得a,-1—%_i=2(〃22),先分别求出｛a21｝，｛%J的通项公式，然后合并可得｛4｝的通项公式，

进而可得｛2｝的通项公式

【小问1详解】

当a“=b”，2时，%=b,i,所以。“+。”_1=3,即a“=-a“_]+3,

整理得一_!=_1%__|>

所以g1是以q—|=g为首项，-1为公比的等比数列

故""一5=5x(—1)'即a“=5+5乂(—1)

【小问2详解】

当时，由a“+2i=3,a,i+〃=l,得a“+i+〃=3,

所以%+1_1_1=2522)

因为4=0,所以。2=3,

则｛%1｝是以4=2为首项，2为公差的等差数列，为T=2+(左—l)x2=2左，左eN*;

｛%J是以4=3为首项，2为公差的等差数列，41t=3+(左—l)x2=2左+1,左eN*

综上所述，an=n+\

所以a“一a“T=(〃+l)—〃=1,n>2,

故｛4｝是以2为首项，1为公差的等差数列

当下22时,bn=1-an_x=l-n,且伪=。满足bn=l-n,

所以a=l-n

19、(1)a=l；(2)4

【解析】(1)根据奇函数的定义/(%)+/(-%)=0,代入化简得4-々2%2=4—无2,进而可得。的值；(2)设

4

h（x）=-----,-可得/?(—%)+/无)=4,根据奇函数的性质得0,进而可得结果.

1+4"

【详解】解：（1）因为/（x）=ig字竺是奇函数，所以/（%）+/（-%）=0,

2-x

2+ax2-ax^„

即1g不----+lg-.......=0,整理得4-々~尤2=4一/，又。。一1,所以。=1

2-x2+x

444

（2）/i（x）=-~~—,S^j/z（-x）+/z（x）=-~~—+-~~—=4,

1+41+41+4

因为了⑴是奇函数，所以=0

所以g+g[-g]=0+4=4

【点睛】本题主要考查了已知函数的奇偶性求参数的值，根据函数的奇偶性求函数的值，属于中档题.

20、(1)抛物线C的方程为：/=4x,准线方程为九=—1

(2)x-y-1=0或x+y-l=0.

【解析】(1)将点代入抛物线求出0即可得出抛物线方程和准线方程；

(2)设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长|MN|和|Q周即可求出.

【小问1详解】

将(1,2)代入/=2力可得4=2夕，解得p=2,

所以抛物线C的方程为丁=4%，准线方程为x=-1；

【小问2详解】

由题得方(1,0),设直线方程为x=9+l,t^O,

设M(石，％)，"(%,%)，

x=ty+l

联立方程〈、，可得y2—4/y—4=0,则%+%=4,，

y=4%

所以|^/2\^=玉+9+〃+%)+4=4产+4,

(2\

因为直线x=9+l与准线1=—1交于点。，则。-1,一一，

<t)

则以|=J（-1-1）2+[-。-。]

因为WW|=20|QK，所以4/+4=2应•J4+。,解得.=±1,

所以直线/的方程为x—y—1=0或x+y—1=0.

21、(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】(1)设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线PA的

方程，化简即为结果；(2)再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.

【小问1详解】

显然直线24的斜率存在，设直线24的方程为y-1=左(彳-1),

三_丫2=]

联立《3>得（3/—1）尤2一6左（左—i）x+3（左一1）2+3=0,则

p-1=左（%-1），

△=36左2（左—1）2_4（3左2—1）x3（左2—2左+2）=0,化简得左2+左_]=0.

因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标

-6k（k-l）_3k2-3kk—1，则丁火

2得力=

2（3^-1）—3左2—1342—1

故/：)=^"(%_%)+必，则郎=?_^-+y；，即当_yy=L

【小问2详解】

同理可得心：充-)%=1，又孰与J均过P。，1)，

所以g-y=1，m一%=L

jr

故L：］_y=L/（一2,0）,"•以=（3』）・（%+2,%）=3玉+6+加

FP-FB=（3,1）•（9+2,%）=3%2+6+%，

又因为玉<0,%>0,所以看京卜后,%26,

3%C％+6_T［+；］

贝［］cos（FP,FA）二

G+2Z；呼3

MH—

12

10f+

tj_屈

/z7D77o\_3X2+y2+6

222

'/V3+l-7（x2+2）+y|2^036，