宁夏吴忠市青铜峡高中2023-2024学年高一数学第二学期期末调研试题含解析

宁夏吴忠市青铜峡高中2023-2024学年高一数学第二学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或42．已知直线的倾斜角为，则（）A． B． C． D．3．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③4．已知点A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），则△ABC的面积为A．3 B．2 C．1 D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）A． B． C． D．8．阅读如图所示的程序，若运该程序输出的值为100，则的面的条件应该是（）A． B． C． D．9．某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是()A．简单随机抽样 B．系统抽样C．分层抽样 D．抽签法10．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如。在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．12．函数的零点个数为__________．13．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里．14．已知（），则________.（用表示）15．设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.16．在数列中，，，若，则的前项和取得最大值时的值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的最小正周期是．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．18．在中，分别是角的对边，.(1)求的值；(2)若的面积，，求的值.19．在平面直角坐标系下，已知圆O：，直线l：（）与圆O相交于A，B两点，且.（1）求直线l的方程；（2）若点E，F分别是圆O与x轴的左、右两个交点，点D满足，点M是圆O上任意一点，点N在线段上，且存在常数使得，求点N到直线l距离的最小值.20．已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．（1）求圆的方程；（2）若直线过定点，点在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.21．中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．(1)求的值；(2)若，求面积的最大值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：利用直线的斜率公式求解．解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选C．考点：直线的斜率．2、B【解析】

根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为,故直线斜率.故选：B【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题.3、B【解析】

说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.4、A【解析】

由两点式求得直线的方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，由两点间距离公式求得的长，从而根据三角形面积公式可得结果.【详解】∵点A（1，0），B（0，1），∴直线AB的方程为x+y–1=0，，又∵点C（–2，–3）到直线AB的距离为，∴△ABC的面积为S=．故选A．【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式、三角形面积公式以及直线方程的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5、D【解析】

试题分析：将函数的图象向右平移,可得，故选D．考点：图象的平移．6、D【解析】试题分析：由图可知，，∴，又，∴，∴，又．∴.考点：由图象确定函数解析式.7、A【解析】

由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。【详解】直线过定点，直线过定点,又因直线与直线互相垂直，即即，当且仅当时取等号故选A【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。8、D【解析】

根据输出值和代码，可得输出的最高项的值，进而结合当型循环结构的特征得判断框内容.【详解】根据循环体，可知因为输出的值为100，所以由等差数列求和公式可知求和到19停止，结合当型循环结构特征，可知满足条件时返回执行循环体，因而判断框内的内容为，故选：D.【点睛】本题考查了当型循环结构的代码应用，根据输出值选择条件，属于基础题.9、B【解析】由题意，抽出的号码是5,10,15，…，60，符合系统抽样的特点：“等距抽样”，故选B.10、B【解析】

找出不超过15的素数，从其中任取2个共有多少种取法，找到取出的两个和小于18的个数，根据古典概型求解即可.【详解】不超过15的素数为，共6个，任取2个分别为，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两个和小于18的共有11个基本事件，根据古典概型概率公式知.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据函数图象以及不等式的等价关系即可．【详解】解：不等式等价为或，

则，或，

故不等式的解集是．

故答案为：．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．12、3【解析】

运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【详解】由三角函数的诱导公式得，所以令，求零点的个数转化求方程根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出和的图象，观察两支图象的交点的个数为个，注意在做的图像时当时，,故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.13、【解析】

画出示意图，利用正弦定理求解即可.【详解】如图所示：为灯塔，为轮船，，则在中有：，且海里，则解得：海里.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.14、【解析】

根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解.【详解】因为，所以，故，解得，又，，所以.故填.【点睛】本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.15、【解析】

根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，则，故，又因为是奇函数，所以，则.【点睛】（1）形如的函数是周期函数，周期；（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.16、【解析】

解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，，得出所以，，，，进而得到结论；解法二：化简得，令，求得，进而求得，再由，解得或，即可得到结论．【详解】解法一：因为①所以②，①②，得即，所以数列为等差数列．在①中，取，得即，又，则，所以．因此，所以，，，所以，又，所以时，取得最大值．解法二：由，得，令，则，则，即，代入得，取，得，解得，又，则，故所以，于是．由，得，解得或，又因为，，所以时，取得最大值．【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为{x|x＝+，k∈Z}．【解析】试题分析析：本题是函数性质问题，可借助正弦函数的图象与性质去研究，根据周期公式可以求出，当函数的解析式确定后，可以令，，根据正弦函数的最大值何时取得，可以计算出为何值时，函数值取得的最大值，进而求出的值的集合.试题解析：(1)∵f(x)＝sin（＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是，∴，所以ω＝2.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.当4x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)时，sin取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为{x|x＝＋，(k∈Z)}．【点睛】函数的最小正周期为，根据公式求出，页有关函数的性质可按照复合函数的思想去求，可以看成与.复合而成的复合函数，譬如本题求函数的最大值，可以令，求出值，同时求出函数的最大值2.18、(1)4；(2)【解析】

（1）利用两角差的正弦和正弦定理将条件化成，再利用余弦定理代入，即可求得的值；（2）由可求得，的值，再由面积公式求得，结合余弦定理可得，解方程即可得答案.【详解】(1)∵，∴，∴∴，解得：.(2)，，，，，∵，∴.【点睛】本题考查两角差的正弦、正弦定理、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）等价于圆心O到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求解即可；（2）先设点，再结合题意可得点N在以为圆心，半径为的圆R上，再结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】解：（1）∵圆O：，圆心，半径，∵直线l：（）与圆O相交于A，B两点，且，∴圆心O到直线l的距离，又，，解得，∴直线l的方程为；（2）∵点E，F分别是圆O与x轴的左、右两个交点，，∴，，设，，则，，，，，即.又∵点N在线段上，即，共线，，，∵点M是圆O上任意一点，，∴将m，n代入上式，可得，即.则点N在以为圆心，半径为的圆R上.圆心R到直线l：的距离，又，故点N到直线l：距离的最小值为1.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点的轨迹方程的求法，属中档题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式可得半径r，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l1恒过定点P（1,1），设MN的中点Q（x，y），由已知可得，利用两点间的距离公式化简可得答案.【详解】（1）根据题意，圆的圆心为（0，0），半径为r，则圆心到直线l的距离，若直线截圆所得的弦长为，则有，解可得，则圆的方程为；（2）直线l1的方程为，即，则有，解得，即P的坐标为