2024高考二模模拟训练数学试卷2（解析版）

备战2024高考二模模拟训练卷(2)

一、单选题

1.已知集合/x2-4x+3<0},8={x|3<x<6},则()

A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.0

【答案】D

【分析】解不等式求出集合A,再由交集的定义即可得出答案.

【详解】•­•A-(xlx2-4x+3<0}={x|l<x<3},5={x|3<x<6\,:.Ac\B=0.

故选：D.

2.若复数z满足三为纯虚数，且同=2,贝！|z的虚部为()

1+1

A.±1B.±72C.V2D.1

【答案】B

【分析】设2=“+川伍力eR),利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得b的值，即为所求虚部.

[详解]设2=<7+出(4,6©11),

*=0

Za+bb—a-i、”,2

为纯虚数,，

T+i~^—+—■—1..ci——b

工0

[2

22

X|z|=|d-Zri|=\J+bI=V2Z?=2,/.b=2J解得：b=±V2，

，z的虚部为±VL

故选：B.

3

3.若且cos2a+cos2a一,贝ljtana=)

210

1

AB.一

-T4

D.g或-7

c-i

【答案】C

【分析】利用诱导公式和二倍角公式化为齐次式，化弦为切，得到方程，求出答案.

【详解】cos2a+cos[^+2a=cos2a-sin2a=cos2a—2sinacosa

试卷第1页，共25页

cos2-2sin6Zcosa1-2tana3

cos2a+sin2a1+tan2a10

整理得312112。+20匕11。-7=0,解得tana=；或-7,

又。所以tana〉0,故tani=；.

故选：C.

4.在“BC中，。为8C的中点，£为4。边上的点，且存=3反，则丽=（）

A.--AB+-ACB.-AB--AC

2423

C.-AB--ACD.--AB+-AC

2423

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解.

【详解】由£为/。边上的点，且方=3或，

得丽=的+丽=!就+，酝=，IC-4（CA+ASI」A8—AC.

4242、>24

5.2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次为：大寒、小寒、

冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立

夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、小雪、霜降

三个节气的日影长之和为34.5寸，冬至到秋分等七个节气的日影长之和为73.5寸，问立秋的日影长为（）

A.1.5寸B.2.5寸C.3.5寸D.4.5寸

【答案】D

【分析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列{%,},由题意可得为+%+%=34.5,

凡=73.5,从而即可求出数列的首项外与公差为d,从而根据等差数列通项公式求出用。即为立秋的日影长.

【详解】解：因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列{。“},

由题意可知q+。3+。5=34.5,则3a3=34.5,故的=11.5,

试卷第2页，共25页

7

又§7=-(«1+a7)=7a4=73.5,解得%=10.5,

所以数列的公差为d=a4—a3=—l,at=a4-3<i=10.5+3=13.5,

所以立秋的日影长为«io=«1+9rf=13.5-9=4.5,

故选：D.

6.已知抛物线C：必=4x的焦点为尸，直线x=(>l)交抛物线。于4,8两点，且点/在第一象限，若△/加

为等腰直角三角形，则|//|=()

A.4+2收B.3+2后C.2+2后D.4+72

【答案】A

【分析】法一先由抛物线的对称性知为直角，再由焦点厂(1,0),得到直线//的方程，与抛物线方

程联立，得到点力的坐标，然后利用抛物线的定义求解；法二由抛物线的对称性知//E8为直角，设直线

x与x轴交于点M&0),易得|/叫=忸时=|刊="1,再由x一代入抛物线方程，得到点/的

坐标，解得/,再由以尸|=后("1)求解。

【详解】解：法一由抛物线的对称性知//EB为直角，且44网=?.易知焦点尸(1,0),

所以直线/尸的方程为y=x-l.

fy2=4xx=3+2-72

联立方程，得.,,且X=/>1,得l,

[y=x~^[y=2+2.2

由抛物线的定义得|/尸|=3+2行+1=4+2行，

TT

法二由抛物线的对称性知//必为直角，且44网=—.

4

设直线x=f«>l)与x轴交于点跖则M&0),|/闾=忸时=|bM—

将x=f代入抛物线方程，可得小,2«),所以"1=2”，

得/=3+2-\/2，

所以M尸卜拒«-1)=亚x(3+2a_l)=4+2a,

故选：A.

7.现有〃个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最

试卷第3页，共25页

后一个球谁赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是（

A.若〃=4,则甲有必赢的策略B.若〃=6,则乙有必赢的策略

C.若〃=9,则甲有必赢的策略D.若〃=11,则乙有必赢的策略

【答案】C

【详解】分析：如果甲先抓，若n=9,则甲有必赢的策略.必赢的策略为：甲先抓1球，当乙抓1球时，甲

再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球；这时还有4个小球，轮到乙抓，按

规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；甲再抓走所有

剩下的球，从而甲胜.

详解：现有〃个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，

每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.

如果甲先抓，若片9,则甲有必赢的策略.

必赢的策略为：

①甲先抓1球，

②当乙抓1球时，甲再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球；

③这时还有4个小球，轮到乙抓，按规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，

无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；

④甲再抓走所有剩下的球，从而甲胜.

故选C.

点睛：本题主要考查推理论证，意在考查学生推理论证的能力和分析能力.

8.已知直线V=丘+，与函数y=/sin（0x+e）（/>0,。>0）的图象恰有两个切点，设满足条件的左所有可能取

值中最大的两个值分别为勺和且占〉◎，则（）

k,75左77匕5k,7

A—L>—R—<—<—C—<—<—D——

k233左235/3k25

【答案】B

【分析】根据结论恒成立可只考虑V=sinx的情况，假设切点坐标，则只需考虑西+汇=2兀，X2+X2'=4TI,

其中-g<X2<X]<0的情况，可将》表示为3t•汩2；ma^/（^）=tanx-x+7if-^<x<ol

“（X）=<X<X。],利用导数可求得了（x）,/z（x）的单调性，从而对苫进行放缩即可求得所求范围.

71—Xy2,jK2

【详解】••,对于任意/>0,0>0,夕eR,与的范围恒定，

K2

试卷第4页，共25页

只需考虑V-sinx的情况，

设匕对应的切点为（石,sinxj,（x；,sinx［）,xl＜x［,

设左2对应的切点为H,Sin%），（芯,sin芯）,x2＜x^,

sinx）=cosx，1•K—cos西—cos再，k?=cosx2=cosx2，

jr

,二只需考虑石+X：=2兀，马+芯=4兀，其中—/＜工2＜玉＜0的情况，

则左sin%：-sin须sin（2K-X））-sin^2sinxx

Xj-x1（2兀一再）-%]2兀-2q

r

sinx2-sinx2_sin（4TT-x2）-sinx2_2sinx2兀

X；-X2（4兀一%2）-^2271-2C2、2<%2<石<。

.kx_sinXj4TI-2X2_sin112TI-X2

k2sinx22TI-2xrsinx2兀一']'

2sinx2sin/

1=COSXj,--------二COSX、,

又27i-2x1

4兀-2x1一

二.sin%j=（再-兀）COS%1,sinx2=（x2-2TI）COSX2；

令/（x）=tan%一%+兀1~~r<x<0],则/，（％）=——---1=s'nJ=tan2x>0,

、2jcosxcosx

.・•/⑴在1-1,o）上单调递增，/（0）＞0,

设/（x。）=tanx0-x0+7i=0,x0<0=>（7i-x0）cosx0+sinx0=0,

71sinx

0<----Ll<1

--<方<再〈/，又sinx2<sin再<0,

22sinx2

~715

02兀+一

kx_sin再2,71—/<2兀-％<____2=

ksinx兀一再483

2271-X17宜1H,-兀-

33

sinrjr\一/、f?i-x）cosx+sinx

令〃x二咏q-。，贝__j__,

兀一2）（兀一x）

令,（x）=（兀-x）cosx+sinx（-］＜x＜/）,贝Ij/（x）=一（兀一x）sinx＞0,

；，（x）在C上单调递增,

/（x）＜I%）=（7i-x0）cosx0+sinx0=0,

即〃（x）＜0,.1〃⑺在［q,%］上单调递减，’

试卷第5页，共25页

271-X?71-X]

kx_sin%12兀一工2_2兀一工2_1兀71_5

sin>TI-XX——In〉1T——

ksinx71-X]兀-X2兀一匹71~X兀一I2里3；

sinx兀一々222

2T

5匕7

综上所述：§7＜相

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑

不含变量的函数歹=$也》的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得%的范围.

尢2

二、多选题

9.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣

爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参

加太极拳社团的有12名，则（）

A.这五个社团的总人数为100

B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C.这五个社团总人数占该校学生人数的4%

D.从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%

【答案】BC

【分析】计算出五个社团的总人数，可判断A,C;计算出脱口秀社团的人数，判断B;计算脱口秀社团或舞蹈社

团的人数占五个社团总人数的比例，可判断D.

【详解】由于参加朗诵社团的同学有8名，该社团人数占比为10%,

故社团总人数为80人，故A错误；

合唱团人数为80x30%=24,舞蹈社团人数为80x25%=20人，

故脱口秀社团的人数为80-24-12-20-8=16,

试卷第6页，共25页

故脱口秀社团的人数占五个社团总人数的三=20%,故B正确；

80

QA

五个社团总人数占该校学生人数的赢=4%,故C正确；

脱口秀社团人数占五个社团总人数的20%„

舞蹈社团的人数占五个社团总人数的25%,因此这两个社团人数占五个社团总人数的45%,

故从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%,D错误，

故选：BC

2222

10.已知W7R0,曲线耳：J+<=曲线£=直线/：±+上=1,则下列说法正确的是()

mnmnmn

A.当”=3机时，曲线其离心率为逆

3

B.当"=3加时，曲线与离心率为

一3

C.直线/与曲线片有且只有一个公共点

D.存在正数加，〃，使得曲线用截直线/的弦长为百

【答案】ACD

【分析】A,B选项将条件带入化简计算即可；C选项利用直线方程过的点，以及双曲线的性质分析即可，先

找出曲线耳与xj轴的交点，判断直线/与曲线心的关系，然后通过它们的关系求出弦长的表达式，找出特

殊值即可验证D选项.

22

【详解】当〃=3机时，曲线耳：2+k=1是焦点在y轴上的椭圆，

a-^9m2,b-,c—y/a2-b2--yJSm2，

离心率e=£=^^=^l,故A正确.

av9m23

22

当〃=3"时，曲线与：J-上方=1是焦点在x轴上的双曲线，

m29m2

222

a=,b=19m2,c=y]a+b=yjiOn，

离心率e=£=Y^=&U,故B错误，

ayjm2

又如7*0,直线：/：二+上=1过点(",0),(0,"),斜率左=一幺,

mnm

22

双曲线与：二-5=1的渐近线方程为夕=±2x,

mnm

试卷第7页，共25页

直线/过用的一个顶点且与用的渐近线平行,

所以直线/与曲线片有且只有一个公共点，故C正确.

22

曲线用：片+「=1与X轴的交点是(加,0),(-见0),

mn

与y轴的交点是(0,〃),(0,f).

722

所以直线/与曲线互相交，弦长为而二，当机="=1时，Ex-.x+y=l,l-.x+y=l,曲线及截直线/的

弦长为及，

故D正确，

故选：ACD.

11.如图是函数"x)=g(?：：x的部分图像,则g(x)的解析式可能是()

C1)

23

A.xB.xC.%3D.-x

【答案】AC

【分析】由函数/(X)为偶函数，得到g(x)必为奇函数，排除8选项；根据X-0+时，g(x)>0,可排除。

选项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数y=/(x)的图像关于y轴对称，所以函数/(X)为偶函数，

又由了=署为奇函数，则函数g(x)必为奇函数，排除3选项；

当Xf。时,/(x)>o,可得g(x)>0,排除。选项.

对于A中，函数/(》)=｛詈为偶函数，且当xe(-万,0)。(0,疳时，/(%)>0,

当x=0或x=±%时，可得/(x)=0,

/、x(l+x2)cosx+|1-x2)sinx

又由ra=」—)1—--,

，+i)

当0<x<l时，r(x)>0,所以函数〃x)在了轴右侧先单调递增，且/

试卷第8页，共25页

所以函数/（X）在X附近存在单调递减区间，选项Z符合;

对于C中，函数/（司二炉;sinx为偶函数,

当x£0)u(0,苏时，/(x)>0,当x=0或x=±乃时，可得/(%)=0,

112

x3（1+x2）cosx+-%3\l-5x2sinx

又由r«=，）/J—,

■+i）

当o<x<g时，/'（x）>o,所以函数〃x）在了轴右侧先单调递增，且/

所以函数/（X）在X=］附近存在单调递减区间，选项C符合.

故选：AC.

【点睛】方法点拨：利用三角函数的性质，可以得到函数的零点以及导函数在某区间上的符号，以此来检

验对应函数的图像是否符合题意.

12.已知等边三角形48。的边长为6,M,N分别为的中点，如图所示，将△/的沿AW折起至

得到四棱锥则在四棱锥4-中，下列说法正确的是（）

A.当四棱锥/'-MNC8的体积最大时，二面角H-血W-8为直二面角

B.在折起过程中，存在某位置使平面4NC

C.当四棱锥H-MNC8体积的最大时，直线42与平面MNC2所成角的正切值为叵

7

D.当二面角/'-的余弦值为g时，△/'NC的面积最大

【答案】ACD

【分析】由四棱锥4-MNC3的体积最大，即高最大即可判断A选项；令平面/WC,则8NLHN,

推出矛盾即可判断B选项；由线面角的定义即可判断C选项；

由面面角的定义求得4〃=3,进而求出为等腰直角三角形即可判断D选项.

试卷第9页，共25页

如图，取血W中点尸，易得A'FLMN,由于四边形8CNM的面积为定值，要使四棱锥H-MNC8的体积

最大，

即高最大，当/'尸，面3CW时，此时高为4尸最大，二面角为直二面角，A正确；

若BALL平面/WC,则8N_LHN,又BN=正-32=3A'N=3，则A'B=dAN。+NB?=6，

又48=6,A'B<6,故8NL4N不成立，即不存在某位置使平面4NC,B错误;

由上知，当四棱锥4-体积的最大时，即二面角Z'-AGV-8为直二面角，4F上面BCNM,

此时直线48与平面MNC8所成角即为乙4'8/，易得四边形8CNM为等腰梯形，取BC中点。，易得

FD1BC,且即=至1,

2

I--------------?3-

故BF=JBD2+DF。=}+容=孚，又心LBF,故tan/4'B尸=祭=*]=母，C正确;

F

如图，取跖V中点尸，易得A'FLMN,取3C中点。，易彳导FDLMN,故4'FD即为二面角

的平面角，即cos///D=；,

故A'斤=A'F2+DF?-2A'F-DF-cosZA'FD,又A'F=FD=^,解得/'D=3,又A'B=A'C,A'D工BC,

2

.__________i9

故A,C2=yjA'D2+DC2=3后，又4N=CN=3,此时AA'NC为等腰直角三角形，面积最大为-A'N-NC=~,

故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

试卷第10页，共25页

13.的展开式中的常数项为.

【答案】2912

【分析】结合二项式展开式的通项公式以及乘法分配律求得正确结果.

【详解】的展开式的通项公式为&产(-2y婷=(-

令8—2/=0/=4,令8—2〃=一2,〃=5.

则(1-X?)[x-的展开式中的常数项为1X(-2)4・C”(-2)5.C；=2912.

故答案为：2912

14.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年〜前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原

理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上

部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的

直径和高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的§(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下

部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为cm.

【答案】?64

27

【分析】设沙堆的高为”，根据细沙的体积相等可得出；1=Q1，可得出”=白O〃，即可得解.

327327

【详解】设圆锥形容器的底面圆半径为「，高为力，则圆锥形容器的体积为k=

22

当细沙在上部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径为]，高为

细沙的体积为匕KJ'

当细沙在下部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面半径为，，设此时沙堆的高为片,

।127f88121—7，878064/、

贝nU—万r'h=—V=—x—7irh,可得。=——h=—x8=—(erm.

327273272727v7

试卷第11页，共25页

一.64

故答案为：—.

27

【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥体积的高为求解，解题的关键在于利用细沙的体积相等建立等式得出〃

与。的等量关系，同时也应分析出当细沙在上部时，细沙的体积与圆锥形容器的体积比，进而结合圆锥的体

积公式来求解.

15.直线4：y=2x和公＞=履+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的左的两个可能取值:

和.

【答案】-2也二1（答案不唯一）

2

【分析】根据给定条件，按等腰三角形底边所在直线分类，结合斜率的意义及二倍角的正切求解作答.

【详解】令直线4,，2的倾斜角分别为a，。，则tana=2,tan8=人,

当围成的等腰三角形底边在直线4上时，a=20,。€（0,勺，tana=tan2e=,'tan：$=2,

21—tanvI—k

整理得左左—1=0,而左＞0,解得左二1二1；

2

0tarizy。乂。A.

当围成的等腰三角形底边在直线4上时，e=2a,3=tan"tan2a='3如=—=」,

1-tana1-23

所以左的两个可能取值-2,立」.

2

故答案为：-2；正二

2

X21

16.用min｛机,〃｝表示〃?，"中的最小值,设函数/(x)=min一,x——x>o),若函数g(x)=/(x)-cx2为

exx

增函数，则实数C的取值范围是

【答案】—00,一

2121

【分析】设函数小）=3-八？=3-'+不、＞°）‘求导,分珍2、°。＜2两类讨论可得存在唯一的

试卷第12页，共25页

使尸（%）=0,设函数/（；0=〃诩£,x-1｝（x>0）,进一步分析g（x）=/（x）-cx2为增函

值范围.

【详解】设函数尸（x）="-60.

下面考察函数了=厂（可的符号：

对函数y=尸（可求导得/（x）=勺"一1一5">0.

当xZ2时，尸（“<0恒成立；

——12

当0<x<2时，x（2-x）<x+（jx）=1,

,,工，/、x（2-尤）111II

从而尸无）=」——---<--1--7<1-1---=--7Vo.

eA-x2exx2x2x2

.♦.尸（x）<0在（0,+“）上恒成立，故>=尸（%）在（0,+e）上单调递减.

又尸（1）=：>0,b（2）=?-1<0,.1.F（l）F（2）<0„

且曲线y=尸卜）在［1,2］上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的％e（1,2）,

使尸(%)=o.

x21

XGXOO

/.XG(O,XO),F(x)>0；(0?+),F(x)<0；X=%0时,—二x---

exx

x--,0<x<XQ

/(x)=minx

X2

—,X>X。

,ex

12

x----ex,0<x<1H--z—2cX,0<X<XQ

X

从而/?(%)=g(x)-c。=<,h'[x)=<X

2

X2x(2-x)、

-----CX,X>X.--------ZCX,X>XQ

ex0

由函数〃（x）=g（x）-cx2为增函数，且曲线y="（x）在（0,+8）上连续不断知〃（x）N0在（0,%）,（%,+oo）上恒

成立.

①当x>x°时，x（2：x）一2cxz0在（x0,+s）上恒成立,即2cvj在（X。,+8）上恒成立,

2—JQx—3

1己M（X）=~,x>X。,贝!J"（无）=x-，X>尤。，

当X变化时，"'（无），"（X）变化情况列表如下：

试卷第13页，共25页

X(工0,3)3(3,+00)

-0+

1/(%)极小值

•••〃""/"(到极小二“⑶:一:，

o_ii

故，，2CVTT在(尤0,+8)上恒成立”只需2C4MX*=-j,即。4一点.

②当0<x<x0时，/«x)=l+3-2cx,当C40时，〃。)>0在(0,%)上恒成立，

综合①②知，当C4——时，函数"(x)=g(尤)-ex?为增函数.

故实数C的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想，分类讨论思想，考查逻辑推理与数

学运算能力等核心素养，属于难题.

四、解答题

17.设｛。“｝是等差数列，％=T0,且4+10,a3+8,a4+6成等比数列.

(1)求数列｛与｝的通项公式；

⑵记｛g｝的前"项和为S”，求当〃为何值时，S”取得最小值.

(3)求数列｛%｝的前20项和金的值.

【答案】⑴氏=2”-12

(2)〃=5或〃=6

(3)蜃=600

【分析】(1)根据等比数列定义，结合等差数列通项公式可构造方程求得｛%｝的公差d,进而可求得。“；

(2)利用等差数列求和公式可表示出J,根据S,的二次函数性可确定，取得最小值时〃的取值；

(3)由等差数列定义可证得数列｛的〃｝是以-8为首项，4为公差的等差数列，由等差数列求和公式可求得

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结果.

【详解】⑴a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，.[Q+8)2=(g+10)(%+6)，

设等差数列｛叫的公差为d,则(-2+2d『=d(-4+3d),解得：4=2,

=〃]+(〃—l)d——10+2(〃—1)=2n—12.

(2)由(1)得：S/(%+♦“)="伽-22)“2_lh=L_UY_里，

"22V2J4

当〃=5或〃=6时，S〃取得最小值-30.

(3).•.。2(〃+1)—"2〃="=4,“2=%+"=—8,

70x19

•.•｛%｝是以-8为首项，4为公差的等差数列，.乜。=20乂(-8)+不一乂4=600.

18.在。中，6sin2Z=asin中.

(1)求角A的大小；

⑵再从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使“存在且唯一，求》5。

的面积.

19

条件①：sinC=—；

条件②：cos5=；；

7

条件③：a=-c-

条件④：6+c=13.

【答案】(1)Z=三；

(2)答案见解析.

【分析】(1)利用正弦定理和三角公式求出cos/=L,即可求出A；

2

(2)分类讨论，6种不同的情况，分别选择对应的条件，利用正余弦定理解三角形，利用面积公式求出三

角形的面积.

【详解】(1)在“5C中,bsin24="sinB,由正弦定理得：sinBsin2A=sinAsinB,

因为43为三角形的内角，所以sin/wO,sinB。0,

所以2cos/=1,即cosA=—.

2

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因为北（0,兀），所以/=1.

（2）选条件①②，只知道三个角，三角形不唯一（相似三角形的的对应角相等），不合题意，舍去.

兀197

选条件①③，则有：sinC=茄,a=­c.

205

7sin47

对于。=1c,由正弦定理得:

sinC5

sin/=@

而由4=方可得:

2

19sinZ了1(^37

因为sinC=——所以w一.

20sinC19195

20

所以三角形无解，不合题意，舍去.

jrIQ

选条件①④，则有：4=g，sinC=—,b+c=13.

因为/=g,所以sin/=且,cos4=—

322

19Q_sin/_2晚,所以"迎c

因为sinC=茄，由正弦定理得:

csinC191919

20

由6+c=13得：b=13—c.

2

10A/3F

由余弦定理/=b22-2bccosA得:=(13-C)2+C2-(13-C)C,

+c19

整理得：783c2-39X192C+(13X19)2=0.

H^jA=(39x361)2-4x783x(13xl9)2=7138053>0,且j+c,=39x361

>0,年2=”Ho,

783783

所以关于。的方程有两正解，所以三角形有两解，不合题意，舍去.

jr17

选条件②③，则有：4=三，cosB=-a=­c

5

因为/=g，所以sin4=在,cos4=—

322

因为cos8=；,所以sin8=Jl-cos2g=

所以sinC=sin(/+=sin/cos8+cos/sin8=

272714

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所以qin三4=—c、=7:，由正弦定理得：07与已知条件相符.

sinC5<355

IT

但是只知道三个角，三角形不唯一（相似三角形的的对应角相等），不合题意，舍去.

TT1

选条件②④，则有：cosB=h,b+c=\3.

因为力所以sin/==L.

322

因为cos8二所以sinB-cos28=

7

所以sinC=sin(4+8)=sinAcosB+cosAsinB=旦LL迪力

272714

bc

由正弦定理工c

得:4G56.

sin5sinC7T

而6+c=13,解得：6=8,c=5.

所以AABC的面积为S=—bcsin^4=—x8x5x——=106.

222

选条件③④，贝！1有：4=g，。=：。，b+c=13.

nD

由余弦定理=/+。2一cos/得：=b2+C1-2bcCOSy

242Q

即--c2=0,解得：b=-c（b=—'c舍去）.

2555

又6+c=13,所以b=8,c=5.

所以A4BC的面积为S=—besin/=—x8x5x卫^=106.

222

19.如图，在四棱锥尸-4BCO中，E4_L平面4BCD,NABC=NBAD=9。。,AD=AP=4,AB=BC=2,M

为PC的中点点N在线段NO上.

（1）点N为线段的中点时，求证：直线H〃面BAW；

4

（2）若直线MN与平面P8C所成角的正弦值为不，求二面角C-8M-N所成角。的余弦值.

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p

【答案】(1)详见解析；(2)贤.

【分析】(1)连结点/C,BN,交于点E,连结建，推导出四边形Z8CN为正方形，由此能证明直线尸川I

平面3MN；(2)分别以48,AD,AP为x,