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文档简介
勾股定理经典例题勾股定理1a2+b2=c2cba勾股定理2知识要点:1.勾股定理:对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有2.勾股定理逆定理:直角三角形的判定:如果三角形的三边长a、b、c有关系:,那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2a2+b2=c2cbaABC蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米?GE34512513(小方格的边长为1厘米)练习1:6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2+b2=c2中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;等③用含字母的代数式表示组勾股数:
(n为正整数);
(n为正整数);
(n为正整数);练习2:题型一:直接考查勾股定理例一.在中,⑴已知,.求⑵已知,,求分析:直接应用勾股定理的长的长利用对角对边,分清直角边,斜边练习3:解:⑴⑵
代王中学教学课件例题2如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?题型二:利用勾股定理测量长度分析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!解:根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12练习4:例题3
.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?A小汽车小汽车BC观测点例题4.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过24km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?例题5如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.练习5:解:如图2,根据勾股定理,AC2+CD2=AD2
设水深AC=x米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=(x+0.5)2解之得x=2.故水深为2米.代王中学教学课件例题6
、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。
解析:设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96
总结升华:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。
例题7、一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
练习6:代王中学教学课件【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:OC=1米(大门宽度一半),
OD=0.8米(卡车宽度一半)
在Rt△OCD中,由勾股定理得:
CD==0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
=(一)用勾股定理求两点之间的距离问题例题8
、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
类型三:勾股定理的实际应用
练习7:
解析:(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:BC=500m,AB=
由勾股定理可得:
所以
(2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
代王中学教学课件(二)用勾股定理求最短问题
例题9如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
练习8:
解:
如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得
∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).
答:最短路程约为10.77cm.
代王中学教学课件利用勾股定理作长为的线段
练习9:例、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。思路点拨:要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题练习10:
解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。
总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
代王中学教学课件【变式】在数轴上表示的点。看作是直角三角形的斜边,
为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
解析:可以把练习11:四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
练习12:【答案】:连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
练习13:思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。解析:作AB⊥MN,垂足为B。
在RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,
∴AB=AP=80。(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为:18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。
答:拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。
如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),
由勾股定理得:BC2=1002-802=3600,∴BC=60。
如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
思路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.练习14:解:连接AD.
因为∠BAC=90°,AB=AC.又因为AD为△ABC的中线,
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°.又因为∠CDF+∠ADF=90°.
所以∠EDA=∠CDF.所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理:AF=BE=12.
在Rt△AEF中,根据勾股定理得:
,所以EF=13。
如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
练习15:16、已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为________
A6cm2 B8cm2 C10cm2 D12cm2ABEFDC练习16:17、直角三角形的面积为,斜边上的中线长为,则这个三角形周长为()(B)
(C)(D)(A)c练习18:解:设两直角边长为X和Y因斜边上的中位线为d则斜边长为2d则X²+Y²=(2d)²=4d²因三角形的面积为S则XY/2=SXY=2S则(X+
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