高考数学大一轮复习 核心素养提升练五十四 10.8 抛物线 理（含解析）新人教A-新人教A高三数学试题

核心素养提升练五十四抛物线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在x轴上,其上点P(-3,m)到焦点的距离为5,则抛物线方程为 ()A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x【解析】选B.设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则-(-3)=5,即p=4,所以抛物线方程为y2=-8x.【变式备选】(2018·玉溪模拟)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为 ()A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=10x【解析】选C.因为抛物线y2=2px,所以准线为x=-.因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以2+=4,即p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.2.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),过抛物线上一点M(p,p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|FM|= ()A.1∶ B.1∶C.1∶2 D.1∶3【解析】选C.由已知直线l的方程为y=2x-,联立得N,-p,所以|NF|=+=p,|MF|=p+=p,所以|NF|∶|FM|=1∶2.3.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 ()A.x2=y B.x2=yC.x2=8y D.x2=16y【解析】选D.因为-=1的离心率为2,所以=2,即==4,所以=.x2=2py的焦点坐标为0,,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由已知=2,即p=8.所以C2的方程为x2=16y.4.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为 ()A.(0,0) B.,1C.(1,) D.(2,2)【解析】选D.过M点作准线的垂线,垂足是N,则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2).5.已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.F,0,那么M4-,4在抛物线上,即16=2p4-,即p2-8p+16=0,解得p=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·西安模拟)如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则·=________.

【解析】不妨设直线AB的方程为y=1,联立解得x=±2,所以A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以=(1,0),=(-1,0),所以·=-1.答案:-17.(2018·正定模拟)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.

【解析】|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,所以C,-a,F+b,b,又抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,所以即所以b2=a2+2ab,2-2·-1=0,又>1,所以=1+.答案:1+8.已知正△AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y2=3x上,则△AOB的边长是________.

【解析】由抛物线的对称性得∠AOx=30°,所以直线OA的方程为y=x,联立,解得A(9,3).所以|AO|==6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,直线l1:y=kx+1(k∈R,且k≠0)与抛物线E相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直线l2:y=-1于点S,T.(1)求a的值.(2)若|ST|=2,求直线l1的方程.【解析】(1)因为点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,所以a=4.(2)由(1)得抛物线E的方程为x2=4y.设点B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意得=4y1,=4y2,由消去y,得x2-4kx-4=0,解得x1,2==2k±2.所以x1+x2=4k,x1x2=-4.直线AB的斜率kAB===,故直线AB的方程为y-1=(x-2).令y=-1,得x=2-(由题意知x1+2≠0),所以点S的坐标为.同理可得点T的坐标为.所以|ST|=====,因为|ST|=2,所以|x1-x2|=2|k|.由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得20k2=16k2+16,解得k=2或k=-2,所以直线l1的方程为y=2x+1或y=-2x+1.10.(2019·衡水模拟)已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t. (1)求抛物线C的方程.(2)抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t,由点P在抛物线上,则at=.所以a×=,则a2=1,由a>0,则a=1,故抛物线的方程为y2=x.(2)因为A点在抛物线上,且yA=1.所以xA=1,所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线l的方程x-3=m(y+1).即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1·k2=·===-,为定值.(20分钟40分)1.(5分)(2018·哈尔滨模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于 ()A. B.3 C. D.2【解析】选B.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=4,所以|PQ|=3d,不妨设直线PF的斜率为-=-2,因为F(2,0),所以直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立得x=1,所以|QF|=d=1+2=3.2.(5分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为 ()A. B. C. D.2【解析】选C.焦点F(1,0),设A,B分别在第一、四象限,则点A到准线l:x=-1的距离为3,点A的横坐标为2,纵坐标为2,AB的方程为y=2(x-1),与抛物线方程联立得2x2-5x+2=0,所以B的横坐标为,纵坐标为-,S△AOB=×1×(2+)=.3.(5分)(2018·正定模拟)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为 ()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.如图所示,作出抛物线的准线l1及点A,B到准线的垂线段AA1,BB1,设直线l交准线于点M,|BF|=m,由抛物线的定义知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m,由BB1∥AA1知=,即=,所以|MB|=2m,|MA|=6m,所以∠AMA1=30°,∠AFx=∠MAA1=60°.4.(12分)设直线l的方程为x=m(y+2)+5,该直线交抛物线C:y2=4x于P,Q两个不同的点. (1)若点A(5,-2)为线段PQ的中点,求直线l的方程.(2)证明:以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1,2).【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立,消去x得y2-4my-4(2m+5)=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,因为A为线段PQ的中点,所以=2m=-2,解得m=-1,所以直线l的方程为x+y-3=0.(2)因为x1+x2=m(y1+y2)+2(2m+5)=4m2+4m+10,x1x2=·==(2m+5)2,所以·=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2),即·=[x1x2-(x1+x2)+1]+[y1y2-2(y1+y2)+4],所以·=[(2m+5)2-(4m2+4m+10)+1]+[-8m-20-2(4m)+4]=0,所以BP⊥BQ,即以线段PQ为直径的圆恒过点B(1,2).5.(13分)(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ.(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知F,设l1:y=a,l2:y=b且ab≠0,A,B,P,Q,R,记过A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2,所以k1=,k2==-b,又因为ab+1=0,所以