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文档简介

河南省郑州市106中学2024届高三最后一模数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如图所示,图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为()A. B. C. D.2.M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()A.π B.π C.π D.2π3.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.14.已知定点,,是圆上的任意一点,点关于点的对称点为,线段的垂直平分线与直线相交于点,则点的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆5.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°6.已知抛物线:()的焦点为,为该抛物线上一点,以为圆心的圆与的准线相切于点,,则抛物线方程为()A. B. C. D.7.等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中,,,现将沿BD折起,则当直线AD与平面BCD所成角为时,直线AC与平面ABD所成角的正弦值为()A. B. C. D.8.已知函数,则()A. B.1 C.-1 D.09.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是10.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.11.要得到函数的图像,只需把函数的图像()A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位12.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设(其中为自然对数的底数),,若函数恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为________.14.在平面直角坐标系xOy中,已知A0,a,B3,a+415.已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则的取值范围是__________.16.在如图所示的三角形数阵中,用表示第行第个数,已知,且当时,每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和,即,若,则正整数的最小值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.(1)为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如图的频率分布直方图:现从年龄在内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记4人中年龄在内的人数为,求;(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表:劳动节当日客流量频数(年)244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量(单位:万人)的影响,其关联关系如下表:劳动节当日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大?18.(12分)已知椭圆的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点.(I)求椭圆C的方程;(II)若M,N分别为椭圆C的左,右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线交于点Q,且,求点P的坐标.19.(12分)已知直线与抛物线交于两点.(1)当点的横坐标之和为4时,求直线的斜率;(2)已知点,直线过点,记直线的斜率分别为,当取最大值时,求直线的方程.20.(12分)已知数列满足:对任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比数列,求的通项公式;(3)设,,求证:若成等差数列,则也成等差数列.21.(12分)已知数列满足,,,且.(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)语音交互是人工智能的方向之一,现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱,它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度,从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人,具体数据如下:“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人?(2)根据列联表,能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为.故选:.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2、C【解析】

两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故选C.3、A【解析】

由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.4、B【解析】

根据线段垂直平分线的性质,结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点,如下图所示:所以有,而是中点,连接,故,因此当在如下图所示位置时有,所以有,而是中点,连接,故,因此,综上所述:有,所以点的轨迹是双曲线.故选:B【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了数学运算能力和推理论证能力,考查了分类讨论思想.5、C【解析】

如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.6、C【解析】

根据抛物线方程求得点的坐标,根据轴、列方程,解方程求得的值.【详解】不妨设在第一象限,由于在抛物线上,所以,由于以为圆心的圆与的准线相切于点,根据抛物线的定义可知,、轴,且.由于,所以直线的倾斜角为,所以,解得,或(由于,故舍去).所以抛物线的方程为.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线的斜率,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.7、A【解析】

设E为BD中点,连接AE、CE,过A作于点O,连接DO,得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,根据题中条件求得相应的量,分析得到即为直线AC与平面ABD所成角,进而求得其正弦值,得到结果.【详解】设E为BD中点,连接AE、CE,由题可知,,所以平面,过A作于点O,连接DO,则平面,所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,所以,可得,在中可得,又,即点O与点C重合,此时有平面,过C作与点F,又,所以,所以平面,从而角即为直线AC与平面ABD所成角,,故选:A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题,涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解,在解题的过程中,注意空间角的平面角的定义,属于中档题目.8、A【解析】

由函数,求得,进而求得的值,得到答案.【详解】由题意函数,则,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题,其中解答中根据分段函数的解析式,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9、D【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.10、A【解析】

根据题意,画出几何位置图形,由图形的位置关系分别求得的值,即可比较各选项.【详解】如下图所示,平面,从而平面,易知与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∴结合四个选项可知,只有正确.故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.11、A【解析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形,整理后与对比,从而可选出正确答案.【详解】解:.对于A:可得.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换,考查了辅助角公式.本题的易错点有两个,一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时,忘记乘了自变量前的系数.12、A【解析】

求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的定义,转化求出比值,,求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【详解】解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=−1,

过点P作PM垂直于准线,M为垂足,

由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+1,

记∠KPF的平分线与轴交于

根据角平分线定理可得,,当时,,当时,,,综上:.故选:A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

求函数,研究函数的单调性和极值,作出函数的图象,设,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,利用一元二次函数根的分布进行求解即可.【详解】当时,,由得:,解得,由得:,解得,即当时,函数取得极大值,同时也是最大值,(e),当,,当,,作出函数的图象如图,设,由图象知,当或,方程有一个根,当或时,方程有2个根,当时,方程有3个根,则,等价为,当时,,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,则,即(1)解得:,故答案为:【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导数,研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键,属于难题.14、(-53,【解析】

求出AB的长度,直线方程,结合△ABC的面积为5,转化为圆心到直线的距离进行求解即可.【详解】解:AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3设△ABC的高为h,则∵△ABC的面积为5,∴S=12|AB|h=即h=2,直线AB的方程为y﹣a=43x,即4x﹣3y+3若圆x2+y2=9上有且仅有四个不同的点C,则圆心O到直线4x﹣3y+3a=0的距离d=|3a|则应该满足d<R﹣h=3﹣2=1,即|3a|5得|3a|<5得-53<故答案为:(-53,【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用,求出直线方程和AB的长度,转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键.15、【解析】∵,∴,∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点,∴方程f(x)−g(x)=0有四个解,即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解,即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点,,作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下,,结合图象可知,<b<2,故答案为.点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16、2022【解析】

根据条件先求出数列的通项,利用累加法进行求解即可.【详解】,,,下面求数列的通项,由题意知,,,,,,数列是递增数列,且,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用,结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键.综合性较强,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大【解析】

(1)首先计算出在,内抽取的人数,然后利用超几何分布概率计算公式,计算出.(2)分别计算出投入艘游艇时,总利润的期望值,由此确定当日游艇投放量.【详解】(1)年龄在内的游客人数为150,年龄在内的游客人数为100;若采用分层抽样的方法抽取10人,则年龄在内的人数为6人,年龄在内的人数为4人.可得.(2)①当投入1艘型游船时,因客流量总大于1,则(万元).②当投入2艘型游船时,若,则,此时;若,则,此时;此时的分布列如下表:2.56此时(万元).③当投入3艘型游船时,若,则,此时;若,则,此时;若,则,此时;此时的分布列如下表:25.59此时(万元).由于,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考查分层抽样,考查超几何分布概率计算公式,考查随机变量分布列和期望的求法,考查分析与思考问题的能力,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.18、(I).(II)【解析】

(I)写出坐标,利用直线与直线垂直,得到.求出点的坐标代入,可得到的一个关系式,由此求得和的值,进而求得椭圆方程.(II)设出点的坐标,由此写出直线的方程,从而求得点的坐标,代入,化简可求得点的坐标.【详解】(I)∵椭圆的左焦点,上顶点,直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率,即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得:∴∴椭圆的方程为.(II)设由(I)易得顶点M、N的坐标为∴直线MP的方程是:由得:又点P在椭圆上,故∴∴∴或(舍)∴∴点P的坐标为【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系,考查两直线垂直的条件,考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中,首先阅读清楚题意,题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的,向量的数量积对应的坐标都有哪一些,应该怎么得到,这些在读题的时候需要分析清楚.19、(1)(2)【解析】

(1)设,根据直线的斜率公式即可求解;(2)设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,由韦达定理得,,结合直线的斜率公式得到,换元后讨论的符号,求最值可求解.【详解】(1)设,因为,即直线的斜率为1.(2)显然直线的斜率存在,设直线的方程为.联立方程组,可得则,令,则则当时,;当且仅当,即时,解得时,取“=”号,当时,;当时,综上所述,当时,取得最大值,此时直线的方程是.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式,直线与抛物线的位置关系,换元法,均值不等式,考查了运算能力,属于难题.20、(1)3;(2);(3)见解析.【解析】

(1)依据下标的关系,有,,两式相加,即可求出;(2)依据等比数列的通项公式知,求出首

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