2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.

1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

Cc.y=-2Dn.y=2

XX

3.下列命题

①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；

③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；

④圆内接四边形的对角互补.

其中正确的命题共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.已知在RtZ\ABC中，NC=90°,AB=3,BC=2,那么tanB的值等于（）

A.—B.豆C.豆D.

3325

5.在同一平面直角坐标系中，函数（AW0）和丁=区（攵#0）的图象大致是（）

x

ABACAB=BC

A.=B.NB=NDC.ZC=ZAEDD.

ADAEAD-DE

7.用疝〃{mb}表示a,b两数中的最小数，若函数y=加〃{/+1,1-%2},则y的图象为（）

8.如图，矩形ABCD的顶点A,8在x轴的正半轴上，反比例函数），=上在第一象限内的图

Q

象经过点。，交2c于点E.若AB=4,CE=2BE,tanZAOD=4，则攵的值为（)

4

D.12

9.如图，二次函数y=ox2+Zzr+c的图象经过点A（-3,0）,其对称轴为直线x=-l,有

下列结论：①出?cVO；②〃+b+cVO；③2〃-b=0；@4ac-b2>0；⑤若P（-5,yi）,。

（"z,力）是抛物线上两点，且则实数机的取值范围是-5VmV3.其中正确结

论的个数是（)

10.如图，Rt^ABC中，A8=BC,点。是AB的中点，连接CD,过点B作BGJ_CD,分

别交CO,C4于点E,F,与过点A且垂直于4B的直线相交于点G,下列结论正确的是

（）

A.EF=GFB.NADF=NCDB

C.AF--^-=-ABD.S4ABe=5S&BDF

2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n-0有一个根是2,则m+n—.

12.如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为IOOTT,扇形的圆心

角为120。，这个扇形的面积为.

13.点A,B,C,。都在。0上，AB=AC＞。为。。上的一点，/ABC=NOOC=67.5°,

C。的延长线交AB于点P,若CD=2,则8尸=

14.如图，抛物线)，=以2一尤+1"#0)与线段48有两个不同的交点，已知A(-I,0),

B(1,1),则“的取值范围是.

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15.计算：(-2)-2-(3.14-n)0-4cos30°+|2-

114+2a

16.先化简，后求值：(r―77")^5'其中a=-2+&

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17.如图，在边长为1的正方形网格中，AABC的顶点均在格点上，把AABC绕点C逆时

针旋转90°后得到△△山£.

(1)画出△4BiC；

(2)求在旋转过程中，。所扫过的面积.

18.如图，一次函数y=x+l与反比例函数y=K的图象相交于点A(2,3)和点注

x

(1)求反比例函数的解析式；

(2)过点B作BCLx轴于C,求SAABC;

（3）是否在y轴上存在一点。，使得8D+CD的值最小，并求出£＞坐标.

五、（本大题共2小题，每小题1（）分，共20分）

19.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米.某天该深潜器在海面下1800

米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°,该深潜器在同一深度向正前

方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°.请判断沉船C是否在

“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；（精确到

（参考数据：加七1.414,«、1.732）

海面

......"A..........B......................

*、

20.如图，。。是△ABC的外接圆，8c为。。的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并

延长交。0于力点，连接BE.

（1）求证：DB=DE；

（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F,已知DE=3&，求弧DC、线段DF.

六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

21.已知：如图，在AABC中，点。在边8c上，AE//BC,BE与A。、AC分别相交于点F、

G,A^FGFE.

(1)求证：△CAQsaCBG；

(2)联结。G,求证：DG'AE=AB'AG.

22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且

每件的利润率不得高于45%,经试销发现，销售量），（件）与销售单价x（元）符合一次

函数y--x+120.

（1）若该服装获得利润为卬（元），试写出利润W与销售单价X之间的关系式；销售单

价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？

（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围.

七、（本大题共1小题，共14分）

23.在△ABC中，A8=5,BC=1,AC=3.

（1）求证：ZA=120°.

（2）在（1）的基础上，请画一个三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角

三角形.

（3）以BC为边向下侧作一个等边△BCO,连接AD,那么AD的长是多少？

BB

备用图

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.

1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.

解：4不是轴对称图形，是中心对称图形；

8、是轴对称图形，也是中心对称图形；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形.

故选：B.

2.下列函数中，y随犬的增大而减小的是（）

A.y=-^-xB.y=—^-xC.y=1-D.y=—

【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项

系数为负数时，随着x增大而减小.

解：A、函数的图象是），随着x增大而增大，故本选项错误：

B、函数y=-^x中的Y0,V随着x增大而减小，故本选项正确；

C、。两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故C、。错误.

故选：B.

3.下列命题

①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧;

②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；

③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等:

④圆内接四边形的对角互补.

其中正确的命题共有（

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质判断.

解：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；

②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；

③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题;

④圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；

故选：A.

4.已知在Rt&48C中，/C=90°,AB=3,BC=2,那么tanB的值等于（）

2辰

B.亭。・隼

【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即

可.

解：如图，由勾股定理得，

AC=VAB2-BC2=V32-22=V5»

.\tanB=—=2^5,

故选：c.

5.在同一平面直角坐标系中，函数y=fcr+l（AWO）和y=K（ZWO）的图象大致是（）

X

【分析】分两种情况讨论，当左>0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析

出ZVO时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案.

解：①当上>0时，y=Ax+l过一、二、三象限；y=区过一、三象限；

②当上<0时，y=Ax+l过一、二、四象象限；丫=区过二、四象限.

观察图形可知，只有C选项符合题意.

故选：C.

6.如图，已知N1=N2,添加下列条件后，仍无法判定△ABCs/vlOE的是（）

ABACABBC

=B.NB=NDC.ZC=ZAED=

AD-AEAD-DE

【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可.

解：VZ1=Z2,

：.ZDAE=ZBAC,

若丝考,NDAE=NBAC,

ADAE

：.AABC^AADE,故A不符合题意；

若ND4E=/5AC,NB=ND,

:.XABCsMDE,故8不符合题意；

若NC=NAE£>,ZDAE=ABAC,

：./\ABC^/\ADE,故C不符合题意；

7AB=BC>NQAE=/8AC,

ADDE

.••无法判断△ABC与△4£>£相似，故D符合题意;

故选：D.

7.用加6}表示a,b两数中的最小数，若函数y=min（x2+l,1-x2},则y的图象为（)

X2,又由于8｝表示a,6两数中的最小数，则加

1-小｝表示尤2+1与|中的最小数；据解析式即可画出函数图象.

解：根据题意，，"加｛/+1,I-/｝表示N+|与1-N中的最小数,

不论x取何值，都有N+I2I-N,

所以y=l-%2；

可知，当x=0时，y=l：当y=0时，x=±l；

则函数图象与无轴的交点坐标为（1,0）,（-1,0）；与y轴的交点坐标为（0,1）.

故选：C.

8.如图，矩形A8CD的顶点A,8在x轴的正半轴上，反比例函数y=K在第一象限内的图

X

tanNAOO=3，则攵的值为（）

4

D.12

An?

【分析】由tan/AOD=y=3可设A£）=3a、OA=4af在表示出点。、E的坐标，由反

0A4

比例函数经过点。、E列出关于。的方程，解之求得。的值即可得出答案.

解：-：tanZAOD=—^—,

0A4

・••设A£>=3。、OA=4a,

则3C=AO=3a,点。坐标为（4a,3a）,

•:CE=2BE,

：.BE=—BC=a,

3

•・・A8=4,

・,•点E(4+4〃，a),

•.•反比例函数y=K经过点。、E,

X

.\k=\2a1=(4+467)a,

解得：■或。=0(舍)，

则Z=12X工=3,

4

故选：A.

9.如图，二次函数y=⑪2+数+。的图象经过点4(-3,0),其对称轴为直线x=-l,有

下列结论：®abc<0-,②a+6+cVO：③2“-h=0；@4ac-h2>0；⑤若P(-5,y\),Q

(m,y2)是抛物线上两点，且则实数机的取值范围是-5<根<3.其中正确结

论的个数是()

【分析】①观察函数图象的开口方向、对称轴、图象与〉轴的交点即可判断；

②根据点A(-3,0)关于直线*=-1的对称点为(1,0),当x=l时，y=0即可判

断；

③根据对称轴方程得。与》的关系，即可判断；

④根据图象与x轴有两个交点，A>0即可判断；

⑤根据图象开口向上，对称轴左侧y随x最大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大即

可判断.

解：①观察图象可知：

a>0,b>0,c<0,

,\abc<0,

.••①正确；

②•.•二次函数>=办2+法+。的图象经过点A(-3,0),其对称轴为直线x=-l,

.,.二次函数丫=公2+公+c的图象经过点A(-3,0)关于直线》=-1的对称点(1,0),

故当x=l时，y—0,即a+b+c=0,

.••②错误；

③对称轴x=-即-?=-1

2a

得b=2a,

2a-b—Q,

二③正确；

④因为抛物线与x轴有两个交点，

所以△>(),即62-4ac>0,

."Aac-b2<0.

.••④错误；

⑤；(-5,yi)关于直线》=-1的对称点的坐标是(3,yi),

.,♦当时，-5<m<3.

...⑤正确.

故选：C.

10.如图，Rl^ABC中，AB=BC,点。是AB的中点，连接8,过点8作8GLC。，分

别交C£),C4于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,下列结论正确的是

()

B./ADF=NCDB

D.S4ABe=5SABDF

2

【分析】根据全等三角形的判定和性质得到FG=FZ),得到EF区FG,故A选项错误；

根据余角的性质得到/4。尸=/。。8.故8选项正确；根据等腰直角三角形的性质得到

4C=Q&由全等三角形的性质得到AG=AO=*A8=/BC,根据相似三角形的性质

得至|JFC=24尸，求得AB=《AC=&8,故C选项错误；根据三角形的面积公式得到S

△ABC=6SMDF.故。选项错误.

解：如图，：BG，C£),

：.ZBED=ZABC=90°,

-,.Zl+Z3=90°,/l+N4=90°,

二/3=/4.

在△ABG与△BCD中，

'N3=N4

<AB=BC，

ZBAG=ZCBD=90°

:.△ABGmABCD(ASA),

：.AG=BD,

又BD=AD,

：.AG=AD；

在△AFG与△Aa中，

AG=AD

<NFAG=NFAD=45°，

AF=AF

：./\AFG^/\AFD(SAS),

:.FG=FD,Z5=Z2,

在Rt/XOEF中，DF>FE

：.GF>FE,

:.EFWFG,故4选项错误；

又N5+/3=N1+/3=9O°,

；.N5=/1,

.*.Z1=Z2,即/ADF=NCDB.

故B选项正确；

•••△A8C为等腰直角三角形，

：.AC=4^B,

'：/^AFG^AAFD,

：.AG^AD^—AB=—BC,

22

■:AAFGS^BFC,

.AG=AF

,•而一而‘

：.FC=2AF,

：.AF=—AC=J^AB,故C选项错误;

33

"：AF=—AC,

3

所以S^ABF--^SMHC；

o

又。为中点，

S〉BDF=

:•SdBDF=FS&ABC,BPSAABC=6SABDF.

故。选项错误.

故选：B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11.若关于x的一元二次方程「+加计2〃=0有一个根是2,则加+〃=-2.

【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入d+3+2〃=。得到4+2加+2〃=0得/根

=-2,然后利用整体代入的方法进行计算.

解：:2(〃W0)是关于x的一元二次方程］2+3+2〃=0的一个根，

.•.4+2〃?+2〃=0,

/.n+m=-2,

故答案为：-2.

12.如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100m扇形的圆心

角为120°,这个扇形的面积为300TT.

【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，

然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可.

解：•.•底面圆的面积为100m

.♦.底面圆的半径为10,

.,.扇形的弧长等于圆的周长为20TT,

设扇形的母线长为「，

则12%「=20TT,

180

解得：母线长为30,

，扇形的面积为ir〃=nXIOX3O=3OOH,

故答案为：300n.

13.点A,B,C,。都在上，窟=血，。为。。上的一点，/ABC=/O£»C=67.5°,

C。的延长线交AB于点P,若CZ)=2,则2尸=,近

【分析】连接。B,根据三角形的内角和得到/QOC=180°-67.50-67.5°=45°,根

据圆周角定理得到N8OC=90°,推出。C=返8C,ZPCB=45°,由

2

=45°,NPBC=40CD=B5°,证得△CPBs^OCC,根据相似三角形的性质即可求

得结果.

解：连接AC、OB,

♦：OD=OC,

：.ZOCD=ZODC=67.5°,

AZDOC=180°-67.50-67.5°=45°,

••唬求，

・・・NABC=NAC8=67.5°,

ZA=45°,

AZBOC=90°,

♦：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

J?

・・・OC=XABC,

2

•；NBCP=NCOD=45°,NPBC=NOCD=675°,

:.△CPBS^ODC,

.PB_BC

••—,

CD0C

.•号S，

，P8=2&,

故答案为：2&.

14.如图，抛物线丫=依2-》+1Q#o)与线段A8有两个不同的交点，己知A(-1,0),

B(l,1),则“的取值范围是l4a<?或aW-2.

-8----------

【分析】分情况讨论，。＞0时，二次函数与直线由两个交点，且两个交点的横坐标

满足OVxWl；。＜0时，当工=-1时，yWO.

解：设直线AB的解析式为：y=kx+b(4工0),则

邕。解得:k=2

b=2

二.直线AB的解析式为：^=~2X+~2f

当。＞0时，开口向上,

，线段AB和抛物线y=o¥2_]+i(a#o)的图象有两个交点，且当天=1时，

-x+l=^r+」,

22

QI

・•・△=(--)2-46zX—＞0,a-1+121,

22

解得：lW〃v]；

当4Vo时，开口向下，

・・•线段AB与抛物线的图象有两个交点,

・•・当元=-1时，yWO,

・・・〃+l+lWO,

:・aW-2,

,Q,

综上所述：■或aW-2.

故答案为：IWaV1•或〃＜-2.

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15.计算：|-4|+«-(-2)-2-(3.14-71)°-4cos30°+|2-而云

【分析】先计算绝对值，负指数累，算术平方根，零指数累，特殊角的三角函数值，然

后计算加减法即可得到答案.

=1

4'

114+2a_

16.先化简，后求值：（或7上了）・一不，其中a=-2+&

a—1

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将。的值代入化简后的式

子即可解答本题.

11).4+2a

解:

a-la+1a^~l

a+l-a+1.(a+l)(a-l)

(a+1)(a-l)2(2+a)

2

-2（2+a）

_1

―初，_

当“=-2+&时，原式=门

-2+VL2+2cV22

四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△4BC绕点C逆时

针旋转90°后得到△△出C.

（1）画出△48C；

（2）求在旋转过程中，CA所扫过的面积.

【分析】（1）根据要求画出图形即可.

（2）利用扇形的面积公式计算即可.

解：（1）则△48C为所求作的图形.

22

(2)1/AC=VAB2+BC2=72+3=713-NACAI=90°，

二在旋转过程中，。所扫过的面积为:

Si二火山0L

3604

18.如图，一次函数y=x+l与反比例函数)，=上的图象相交于点A(2,3)和点B.

x

(1)求反比例函数的解析式；

(2)过点8作BCLx轴于C,求SA4fic；

(3)是否在y轴上存在一点£>,使得BD+CD的值最小，并求出D坐标.

【分析】(1)根据反比例函数y=K的图象过点A(2,3),可求出k的值，进而确定

反比例函数关系式;

(2)求出点8的坐标，得出点C的坐标，根据三角形面积计算公式进行计算即可;

(3)作C关于y轴的对称点C,连接BC交)，轴于点。，连接C£>,此时DB+C。最小,

求出直线8c的关系式进而得出与y轴的交点坐标即可.

解：(1)I•反比例函数y4过点A(2,3),

:.k=2X3=6,

...反比例函数的关系式为y

X

'y=x+lx।=-3X2=2

(2)方程组4

6的解为，丫1=-2'［丫2=3'

y=—

x

又(2,3),

...点B(-3,-2),

又轴，

...点C(-3,0),BC=2,

.,.SA4BC=—X2X(2+3)=5；

2

(3)存在，理由为：

作C关于)，轴的对称点。，连接2。交y轴于点。，连接CZ),此时。B+CD最小，

C(-3,0),

：.C(3,0),

设直线8c的关系式为y=nvc+n9

将B(-3,-2),C(3,0)代入得，

f-3m+n=-2

I3m+n=0

解得〃?=，-，n=-1,

,一次函数的关系式为y=4『1,

当x=0时，y=-1,

.•.点力(0,-1).

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米.某天该深潜器在海面下1800

米处作业(如图)，测得正前方海底沉船C的俯角为45°,该深潜器在同一深度向正前

方直线航行2000米到8点，此时测得海底沉船C的俯角为60°.请判断沉船C是否在

“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；(精确到0.01)

(参考数据：72^1-414,、/5七1.732)

海面

【分析】过点C作CZ)垂直延长线于点D,设8为x米，在Rt^ACD和RtABCD

中，分别表示出和8。的长度，然后根据AB=2000米，求出x的值，求出点C距离

海面的距离，判断是否在极限范围内；

解：(1)过点C作CD垂直AB延长线于点£>,

设C£)=x米，

在RtAACD中，

VZDAC=45°,

^•AD—Xf

在RtABCD中，

•：ZCBD=60Q,

.'.AB=AD-BD=x--^-Ar=2000,

3

解得：xg4732.05,

...船C距离海平面为4732.05+1800=6532.05米<7062.68米,

沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内.

20.如图，。0是AABC的外接圆，8c为。。的直径，点E为AABC的内心，连接AE并

延长交。。于。点，连接8E.

(1)求证：DB=DE；

(2)若过C点的切线与BD的延长线交于点F,已知DE=3&,求弧DC、线段DF、

CF围成的阴影部分面积.

【分析】（1）欲证明区只要证明NQBE=NOE8；

（2）连接CD、0D,根据SBI=SAC"-（S扇形OCQ-SAOCQ）计算即可；

【解答】（1）证明：・・任是△ABC的内心.

：.ZBAE=ZCAEfNEBA=/EBC,

；NBED=/BAE+NEBA,/DBE=/EBC+NDBC,ZDBC=ZEACf

:./DBE=/DEB,

:.DB=DE.

（2）解：连接CD、OD.

u：ZBAD=ZDAC,

・

・・BD=CD，

:・BD=CD,

•・,8。是直径，

：.ZBDC=90°,

・・・NDBC=NDCB=45°,

〈FC是切线，

：.ZBCF=90°,

AZDCF=45°,

•••△CQF是等腰直角三角形，

,:DE=DB=3&,

：.OD=OC=3,DF=CD=BD=3近,

2

/.SWI=SACDF~（S扇形OCD-S&OCD）3^2X3^7^-_———-—~3X3）

236022

9兀

4

A

3c

D

六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

21.已知：如图，在△4BC中，点。在边BC上，AE//BC,BE与A。、AC分别相交于点R

G,AC=FG-FE.

(1)求证：△C4Os/\C8G；

(2)联结£>G,求证：OG・AE=AB・AG.

【分析】（1）通过证明AE4Gs可得NE4G=NE,由平行线的性质可得NE=

NEBC=NFAG,且/4CO=N8CG,可证△CADSACBG；

（2）由相似三角形的性质可得要多，且/OCG=NACB,可证△CQGsaCAB,可

CBCG

得塔关，由平行线分线段成比例可得祟给■，可得结论-

ABCBCBGC

【解答】证明：（1）•.•A^=FGFE.

.嗡噂且/—EF4

：./\FAG^/\FEA,

；./E4G=/E,

'：AE//BC,

：.Z£=NEBC,

：.ZEBC=ZFAG,且NAC£)=N8CG,

.".△CAD^ACBG；

(2),:XCADs^CBG,

:.空0,且N£>CG=/ACB,

CBCG

.,.△CDG^ACAB,

•・•DG—~CG~,

ABCB

,JAE//BC,

.AEAG

•,瓦量

.AGGC

•.二一I,

AEBC

.DGAG

••—-1

ABAE

：.DG*AE^AB-AG.

22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且

每件的利润率不得高于45%,经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次

函数y=-x+120.

（1）若该服装获得利润为W（元），试写出利润卬与销售单价X之间的关系式；销售单

价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？

（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围.

【分析】（1）根据利润等于销售量乘以每件的利润可列出卬关于，的函数关系式，将其

写成顶点式，再按照二次函数的性质及试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利

润率不得高于45%,可得符合题意的x值，从而可得相应的最大利润.

（2）先由题意得出利润等于5