2022-2023学年广东省广州市花都区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市花都区八年级第一学期期末数学试

卷

一.选择题（共10小题，满分30分）

1.若分式工有意义，则x的取值范围是（）

x-2

A.x>2B.xW2C.x#0D.xW-2

2.若一个三角形的两边长分别为3c/n、6cm,则它的第三边的长可能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

3.如图，已知A8=AC,点D、E分别在线段A5、AC上，BE与CD相交于点。，添加以

下哪个条件仍不能判定AABE之八4。。（

C.BD=CED.BE=CD

4.下列运算正确的是（）

A.〃3・Q4=〃12B.屋+次=〃4C.(〃)4=anD.Qab)2=ab2

5.下列因式分解变形正确的是（）

222

A.2a-4。=2（屋-2a）B.a-2〃+l=(Q-1)

C.-〃+4=（〃+2）（a-2）D.a2-5a-6=(a-2)(〃-3)

6.将分式在工中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（）

x+y

A.扩大2倍B.缩小到原来的£

C.保持不变D.无法确定

7.多项式x2+m+25是完全平方式，那么根的值是（）

A.10B.20C.±10D.±20

8.如图，在△A3C中，ZC=90°,ZA=15°,ZDBC=60°,BC=1,则AZ)的长为()

B

ADC

A.1.5B.2C.3D.4

9.如图，RtZ\ABC中，ZABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（)

A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ABACD.ZDAC=ZC

10.如图，BN为/MBC的平分线，P为BN上一点,且尸OLBC于点D,ZAPC+ZABC

=180°,给出下列结论：®ZMAP=ZBCP；②PA=PC；®AB+BC=2BD■,④四边形

BAPC的面积是△尸8。面积的2倍，其中结论正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二.填空题（共6小题，满分18分）

11.计算多汽（-6ab）的结果是.

O

12.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为.

13.因式分解：-4y=.

14.若2加=5,4"=3,则22=.

15.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有

槽的棒0A,组成，两根棒在。点相连并可绕。转动，C点固定，OC=CD=DE,点、

D,E可在槽中滑动.若/BDE=75。，贝°.

16.如图，在边长为2的等边AABC中，。是BC的中点，点E在线段上，连接BE,

在BE的下方作等边△BEF,连接DF.当4BDF的周长最小时，ZDBF的度数是

三.解答题(本题共9题，合计72分)

17.计算：ai,a+(-a2)34-a2.

求证：AABC^AADC.

19.已知2H-7X=7,求代数式(2x-3)2-(x-3)(2x+l)的值.

0

1、.x"-4x+4

20.先化简(1-,然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作

2

x-lx-11

为X的值代入求值,

21.如图所示,

(1)写出顶点C的坐标；

(2)作△ABC关于y轴对称的△AiBCi,并写出6的坐标;

(3)若点A?(a,b)与点A关于x轴对称，求a-b的值.

x

22.如图，为△ABC中，/A4C=90°,点E是BC上一点，AB=BE,连接BD是/

ABC的角平分线，交AE于点F,交AC于点O,连接DE.

(1)若/C=50°,求/CAE的度数；

(2)求证：DE=AD.

23.如图①，在等边AABC中，M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角

/AC/I的平分线上一点，且AM=MN.

(1)尺规作图：在直线BC的下方，过点8作NCBE=NCBA,作NC的延长线，与BE

相交于点E.

(2)求证：ABEC是等边ABEC；

(3)求证：ZAMN=6Q°.

24.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.

(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成

的.用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是；

(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形(。、

6为直角边)和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究

a、b、c之间满足怎样的等量关系；

(3)利用(1)(2)的结论，如果直角三角形两直角边满足。+6=17,濡=60,求斜边

c的值.

图1图2

25.如图，已知等腰直角△A2C中，ZA=90°,AB=AC,以BC为边在点A的另一侧作

等边ABCD,点、F,G分别在线段BC,BD上,ZCDF=15°,且CF=BG,CG与DF

相交于点〃，延长DP交AC于E.

(1)求证：△EHC是等边三角形；

(2)试判断线段AE和。”的数量关系，并说明理由.

(3)若点M是AC边上的动点，AB=a,AE=b,BC=c,求周长的最小值(结

果用含a,b,c的整式表示).

参考答案

选择题（共10小题，满分30分）

1.若分式有意义，则x的取值范围是（）

x-2

A.x>2B.x丰2C.%W0D.尤W-2

【分析】分式有意义时，分母X-2W0,由此求得x的取值范围.

解：依题意得：x-2W0,

解得xW2.

故选：B.

【点评】本题考查了分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不等于零.

2.若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm,则它的第三边的长可能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

【分析】首先设第三边长为立加，根据三角形的三边关系可得6-3Vx<6+3,再解不等

式即可.

解：设第三边长为xcm,根据三角形的三边关系可得：

6-3<尤<6+3,

解得：3cx<9,

故选：C.

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的

两边的差，而小于两边的和.

3.如图，已知4B=AC,点。、E分别在线段48、AC上，BE与C。相交于点O,添加以

下哪个条件仍不能判定△ABEgAACD（

C.BD=CED.BE=CD

【分析】根据全等三角形的判定定理判断.

解：A、当/B=/C时，利用ASA定理可以判定

B、当AE=A。时，利用SAS定理可以判定AABE之△ACD；

C、当2O=CE时，得至(JAZ)=AE,

利用S4S定理可以判定△ABE/△ACZ)；

D、当BE=Cr>时，不能判定△ABEgA4CD；

故选：D.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

4.下列运算正确的是()

A.a3,a4=a12B.a2+a2=a4C.(a3)4=a12D.(ab)2=ab2

【分析】利用合并同类项的法则，同底数幕的乘法的法则，累的乘方与积的乘方的法则

对各项进行运算即可.

解：A、a3,a4=cz7,故A不符合题意；

B、a2-+ai=2a2-,故B不符合题意；

C(〃)』12,故c符合题意；

D、(4匕)三42,故。不符合题意;

故选：C.

【点评】本题主要考查合并同类项，幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，解答的关

键是对相应的运算法则的掌握.

5.下列因式分解变形正确的是()

A.2a2-4a=2(a2-2a)B.a2-2a+l=(tz-1)2

C.-a2+4=(a+2)(a-2)D.a1-5a-6=(a-2)(a-3)

【分析】A提取公因式，B、C利用公式，。利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错.

解：：选项A提取公因式不彻底，2a2-4a=2a(a-2),故A错误；

a2-2a+l=(a-1)2,故选项2正确；

-a2+4=-(a2-4)=-(a+2)(a-2)W(a+2)(a-2),故选项C错误；

a2-5a-6=(a-6)(a+1)W(a-2)(a-3),故选项。错误.

故选：B.

【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法、十字相乘

法是解决本题的关键.

6.将分式在工中的X、y的值同时扩大2倍，则分式的值（）

x+y

A.扩大2倍B.缩小到原来的费

C.保持不变D.无法确定

【分析】应用分式的基本性质进行计算即可得出答案.

解：根据题意，尤、y的值同时扩大2倍，

2X2x-2y2（2x-y）2x-y

2x+2y2（x+y）x+y-

所以分式的值不变.

故选：C.

【点评】本题重要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行求解是解决本

题的关键.

7.多项式/+；依+25是完全平方式，那么的值是（）

A.10B.20C.±10D.±20

【分析】根据完全平方公式即可求出答案.

解：由于（x±5）2=x2+10x+25

'.m—+10

故选：C.

【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础

题型.

8.如图，在△ABC中，/C=90°,ZA=15°,ZDBC=60°,3。=1,则AD的长为（）

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出/BDC=30°,然后根据30°角所对的直角边

等于斜边的一半求出再求出/ABC,然后求出/A8D=15°,从而得到

A,根据等角对等边可得AD=B£>,从而得解.

解：VZDBC=60°,ZC=90°,

ZBDC=90°-60°=30°,

...BZ)=2BC=2X1=2,

VZC=90°，ZA=15°,

AZABC=90°-15°=75。,

：.ZABD=ZABC-ZDBC=75°-60°=15°,

ZABD=ZA,

・・・AO=8O=2.

故选:B.

【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角

形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键.

9.如图，中，ZABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()

A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ZBACD.ZDAC=ZC

【分析】证明△AZ)石乡△ADB即可判断A,B正确,再根据同角的补角相等，证明NEDC

=ZBAC即可.

解：由作图可知，/DAE=/DAB,ZDEA=ZB=90°,

VAD=A£>,

AAADE^AADB(A4S),

DB—DE,AB—AE,

ZAE£)+ZB=180°

AZBAC+ZBDE=180°,

:/EDC+/BDE=180°,

/EDC=NBAC,

故A,B,C正确，

故选：D.

【点评】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟

练掌握基本知识，属于中考常考题型.

10.如图，3N为/的平分线，P为BN上一点、,且尸于点D,ZAPC+ZABC

=180°,给出下列结论：①NMAP=NBCP；®PA=PC-③AB+BC=2BD：④四边形

BAPC的面积是△P2D面积的2倍，其中结论正确的个数有（）

C.2个D.1个

【分析】过点P作PK_LAB,垂足为点K.证明RtZkBPK丝RtZkB尸。，APAK必PCD,

利用全等三角形的性质即可解决问题.

解：过点P作PKLAB,垂足为点K.

■：PK1AB,PDLBC,ZABP=ZCBP,

：.PK=PD,

在RtZkBPK和RtABPD中，

(BP=BP

1PK=PD,

RtABPTC^RtABPDqHL),

:.BK=BD,

VZAPC+ZABC=180°,S.ZABC+ZKPD=180°,

：.ZKPD=ZAPC,

：.ZAPK=ZCPD,故①正确，

在△P4K和中，

2AKP=NPDC

<PK=PD，

ZAPK=ZCPD

:.APAK/APCD(ASA),

：.AK=CD,PA=PC,故②正确，

：.BK-AB=BC-BD,

：・BD-AB=BC-BD,

：.AB+BC=2BDf故③正确，

VRtABP^RtABPZ),APAK名APCD(ASA),

:.SABPK=SABPD,SMPK=S/\PDC,

••s四边形ABCP=S四边形KB£)P=2s4PBD.故④正确.

故选：A.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

二.填空题(共6小题，满分18分)

11.计算少人(-6")的结果是-ZQb.

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行求解即可.

解：■层.(-6ab)

=—X(-6)层+精

3

=-2a3/?.

故答案为：

【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的运算法则的

掌握.

12.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6.

【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题.

解：,••多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

则内角和是720度，

7204-180+2=6,

这个多边形的边数为6.

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关

键.

13.因式分解：尤2丫-4y=y(x-2)(x+2).

【分析】首先提取公因式y,再利用平方差公式分解因式即可.

解：4-4y=y(尤2-4)=y(x-2)(x+2).

故答案为：y(x-2)(x+2).

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因

式是解题关键.

14.若2m=5,4'=3,则2""2"=15.

【分析】根据同底数累的乘法法则求解.

解：4"=22n=3,

2m+2n=2m«22"=5X3=15.

故答案为：15.

【点评】本题考查了同底数幕的乘法，解答本题的关键是掌握同底数累的乘法法则.

15.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有

槽的棒04。8组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点

D,E可在槽中滑动.若/BDE=75°,则/CDE=80°.

【分析】由等腰三角形的性质可得NO=NCOO,ZDCE=ZDEC,由外角性质可得NO

=25°,即可求解.

解：，：OC=CD=DE,

：.ZO=ZCDO,ZDCE=ZDEC,

ZDCE=ZO+ZCDO=2ZO,

：.ZDEC=2ZO,

：.ZBDE=ZO+2ZDEC=3ZO^15°,

：.ZO=25°,

：.ZDCE=ZDEC=50°,

AZCDE=80°,

故答案为：80.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推

理是本题关键.

16.如图，在边长为2的等边△ABC中，。是BC的中点，点E在线段AD上，连接3E,

在BE的下方作等边连接DE当△2DF的周长最小时，4的度数是30°

【分析】连接CR由条件可以得出再根据等边三角形的性质就可以证

明ABAE经ABCF,从而可以得出NBCF=NBAD=30°,作点。关于CF的对称点G,

连接CG,DG,则ED=PG,依据当3,F,G在同一直线上时，£>尸+2厂的最小值等于

线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到NDB尸的度数.

解：如图，连接CR

•/AABC,都是等边三角形，

：.AB=BC=AC,BE=EF=BF,ZBAC=ZABC=ZACB=ZEBF=ZBEF=ZBFE=

60°,

：./ABC-ZEBD=ZEBF-ZEBD,

：.ZABE=ZCBF,

在△BAE和△BCF中，

'AB=BC

<ZABE=ZCBF)

BE=BF

:.ABAE义ABCF(SAS'),

：.ZBCF=ZBAD=30°,

如图，作点。关于C尸的对称点G,连接CG,DG,则ED=PG,

.•.当2,F,G在同一直线上时，DF+3尸的最小值等于线段BG长，且8GLCG时，△

BOE的周长最小，

由轴对称的性质，可得NDCG=2NBCF=60。，CD=CG,

ADCG是等边三角形，

:・DG=DC=DB,

:./DBG=NDGB=±NCDG=30。,

故答案为：30°.

A

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用.凡是涉及最

短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点

关于某直线的对称点.

三.解答题(本题共9题，合计72分)

17.计算：a3,a+(-a2)3-r-a2.

【分析】根据同底数幕的乘法和除法的运算法则，幕的乘方的运算法则解答即可.

解：原式=4+(-a6)4-a2

=a4-c^-^cr

=a4-a4

=0.

【点评】本题主要考查了同底数累的乘法和除法的运算法则，累的乘方的运算法则，熟

记褰的运算法则是解答本题的关键.

【解答】证明：•.'N1=N2,

：.ZACB=ZACD,

\*AC=AC,BC=DC,

：.AABC^AADC.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.

ASA.AAS.HL.

注意:AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

19.已知2/-7兀=7,求代数式(2x-3)2-(x-3)(2x+l)的值.

【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把2d一7x=7代

入计算，得到答案.

解：(2x-3)2-(x-3)(2x+l)

=4x2-12x+9-2x2-x+6x+3

=2F-7x+12,

当2d-7%=7时，原式=7+12=19.

【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键.

2

20.先化简(1」不)鱼，然后从-的范围内选取一个你喜欢的整数作

xTx2-l

为X的值代入求值，

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的X的

值代入计算可得.

(x+1)(X-1)

解:原式=

x-1(x-2)2

_x+1

x-2

+1,

.•・可取x=0,

则原式=-4.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和

运算法则.

21.如图所示，

(1)写出顶点C的坐标；

(2)作AABC关于〉轴对称的△AiSG,并写出6的坐标;

(3)若点Az(a,b)与点A关于x轴对称，求a-6的值.

J4

【分析】(1)根据点的坐标的定义写出坐标即可；

(2)作出A、B、C三点关于〉轴的对称点4、Bi、G即可;

(3)根据轴对称的性质求出a、6的值即可；

解：(1)C(-2,-1).

(2)△ABC关于y轴对称的△A1BC1如图所示；

(3)VA(1,2)与4(a,b)关于龙轴对称，

可得：a=l,b=-2,

.\a-b=3.

【点评】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于

中考常考题型.

22.如图，RtAABC/A4C=90°,点E是BC上一点，AB=BE,连接BD是/

ABC的角平分线，交AE于点F,交AC于点D,连接DE.

(1)若NC=50°,求/C4E的度数；

(2)求证：DE=AD.

【分析】(1)根据角平分线定义和三角形内角和定理即可解决问题；

(2)证明△A3。g△EB。(SAS),即可解决问题.

【解答】(1)解：在Rt^ABC中，ZBAC=90°,

VZC=50°,

ZABC=40°,

•：AB=BE,是/ABC的角平分线，

：.BD±AEZABD=ZCBD=—/ABE=20°,

f2

ZAFD=90°,

ZADB=90°-20°=70°,

：.ZCAE=90°-70°=20°；

(2)证明：在△ABO和△EBD中，

'AB=EB

<ZABD=ZEBD，

BD=BD

.,.△ABDmAEBD(SAS),

J.AD—ED.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是正确寻找全等三角形.

23.如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不含端点8,C),N是AABC的外角

/AC"的平分线上一点，且

(1)尺规作图：在直线BC的下方，过点8作作NC的延长线，马BE

相交于点E.

(2)求证：△BEC是等边△3EC；

(3)求证：ZAMN=60°.

A

BMCH

【分析】(1)以8为圆心，以任意长为半径画弧，交AB、两边为。和足以F为

圆心，以DF为半径画弧，交前弧于G,作射线BG,交NC的延长线于E,则NCBE=

ZCBA；

(2)证明ABCE三个角都是60°,可得结论；

(3)作辅助线，构建三角形全等，证明(SAS),得ZBAM

=ZBEM,证明根据三角形外角的性质可得结论.

解：(1)如图所示：

E

(2)证明：•••△ABC是等边三角形,

AZABC=ZACB^60°,

：.ZACH=120°,

:CN平分NACH,

：.ZHCN=ZBCE=6Q°,

'：ZCBE=ZCBA=60°,

：.ZEBC=ZBCE=ZBEC=60°,

ABEC是等边△BEC；

(3)证明：连接ME,

AABC和△BCE是等边三角形，

；.AB=BC=BE,

在△A3M和中，

'AB二BE

•・•<ZABM=ZEBM，

BM=BM

AAABM^AEBM(SAS),

:.AM^EM9ZBAM=ZBEM,

9：AM^MN,

:,MN=EM,

：.NN=NCEM,

:/HCN=NN+NCMN=60°,

ZBEC=ZBEM+ZCEM=60°,

・・・ZCMN=ZBEM=ZBAM,

*：ZAMC=ZABC+ZBAM=/AMN+/CMN,

：.ZAMN=6Q°.

【点评】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质和判定，作一个角等于已知

角的基本作图，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三

角形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键.

24.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.

(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成

的.用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是A〉：

(a+b)2-2ab；

(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为出b、c的全等的直角三角形(a、

6为直角边)和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究

a、b、c之间满足怎样的等量关系；

(3)利用(1)(2)的结论，如果直角三角形两直角边满足。+6=17,ab=60,求斜边

c的值.

a

【分析】（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减

去两个长方形的面积即可得出答案；

（2）中间的是边长为c的正方形，因此面积为。2,也可以从边长为（a+b）正方形面积

减去四个直角三角形的面积即可；

（3）利用（2）中的结论，代入计算即可.

【解答】解（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即〃+尻；

方法二：阴影部分也可以看作边长为Q+/的面积，减去两个长为0,宽为b的长方形

面积，即（a+b）2-lab,

由两种方法看出a2+/?2=（a+b）2-2ab,

故答案为：a2+b2=（a+b）2-2ab；

（2）中间正方形的边长为c,因此面积为c2,

也可以看作从边长为（。+6）的面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即c2=（a+b）

2-2ab,

也就是c2=a2+b2,

所以c2=a2+b2；

（3）a+b=\l,ab=60,

.,.c2-=cr+b-

=(a+6)2-2ab

=172-2X60

=169,

/.c=13,

答：斜边的长为13.

【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前

提，将公式进行适当的变形是解决问题的关键.

25.如图，已知等腰直角3c中，ZA=90°,AB=AC,以BC为边在点A的另一侧作

等边△BCD,点F,G分别在线段BC,BD上,NCDF=1