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文档简介
2021-2022学年天津市河北区九年级上期末数学试卷
一、选择区:本大题共10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合目要求的
1.如图,O。是正五边形A8CDE的外接圆,则正五边形的中心角/AOB的度数是()
2.有一条弧的长为21R7W,半径为2aw,则这条弧所对的圆心角的度数是()
A.90°B.120°C.180°D.135°
3.下列事件是必然事件的是()
A.”边形的每个内角都相等
B.同位角相等
C.分式方程有增根
D.三角形内角和等于180°
4.用2、3、4三个数字排成一个三位数,则排出的数是偶数的概率为()
A.AB.AC.旦D.2
2453
5.如图,点P是口ABC。边AB上的一点,射线CP交D4的延长线于点E,则图中相似的
6.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,S.DE//BC,胆=a,DE=10,
EC2
则8C的长为()
第1页共22页
A
C.12D.11
7.已知点A(-2,yi),B(3,”)是反比例函数y=K(kVO)图象上的两点,则有(
X
A.yi<0<y2B.j2<0<yiC.yi<”<0D.y2<yi<0
8.函数-a与>=且(aWO)在同一直角坐标系中的图象可能是()
A.若点(2,4)在其图象上,贝I](-2,4)也在其图象上
B.当左>0时,y随x的增大而减小
C.过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线,垂足分别A、B,则矩形0AP2的面积为上
D.反比例函数的图象关于直线>=Z和丫=-x成轴对称
10.如图,。是等边△ABC边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C
与。重合,折痕为EF,点E,歹分别在AC和上,贝UCE:CF=()
4567
二、填空题:木大题共8个小题,每小题3分,共24分
第1页共22页
11.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为.
12.若△ABCs/vfB'C,且△ABC与△A,B'C的面积之比为1:3,则相似比
为.
13.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同,通过
多次摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在0.25附近,则估计口袋中白球大约有
个.
14.已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则圆锥的全面积是.
15.如图,在平面直角坐标系中,已知点。(0,0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似
中心,作出△AOB的位似则位似中心的坐标为.
16.如图,的半径为6cm8为。。外一点,交。。于点A且。动点P从
点A出发,以2ncm/s的速度在。。上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止,当点P
运动的时间为s时,BP与。。相切.
二IokB
17.如图,在正方形A3CZ)中,AB=2,点E为AB的中点,于点O,则AO=.
_________,C
AEB
18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点、B,点C均落在格点
上.
(Z)计算的长等于.
第2页共22页
(II)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个△AOE,使△AOE〜△ABC,
且满足点。在AC边上,点E在边上,AE=2.简要说明画图方法(不要求证明).
三、解答题;本大题共6个小题,共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
19.(5分)一定质量的氧气,它的密度p(kg岛是它的体积V(m3)的反比例函数,当
时,p=i.43左g/扇.(1)求p与V的函数关系式;(2)求当V=2,/时求氧气的
密度p.
20.(6分)现有两组相同的扑克牌,每组两张,两张牌的牌面数字分别是2和3,从每组牌
中各随机摸出一张牌,称为一次试验.
(1)小红与小明用一次试验做游戏,如果摸到的牌面数字相同小红获胜,否则小明获胜,
请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?
(2)小丽认为:“在一次试验中,两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况,所以
出现'和为4'的概率是』”,她的这种看法是否正确?说明理由.
21.(7分)如图,为了计算河两岸间的宽度,我们在河对岸的岸边选定一个目标作为点A,
再在河岸的这一边选点B和点C,使AB±BC,然后再选点E,使ECLBC,BC与AE
的交点为D测得80=120米,。。=60米,£C=50米,请求出两岸之间A8的距离.
22.(8分)如图,AB1BC,DCLBC,E是8c上一点,MA£±DE.
(/)求证:AABEsAECD;
(II)若AB=4,AE=BC=5,求EO的长.
第3页共22页
23.(10分)如图,在△ABC中,NC=90°,A2=10,AC=8,将线段AB绕点A按逆时
针方向旋转90°到线段AD△EPG由△ABC沿CB方向平移得到,且直线E尸过点D
(1)求N1的大小.
24.(10分)如图,在平面直角坐标系尤0y中,反比例函数y=典的图象与一次函数>=左(x
x
-2)的图象交点为A(3,2),B(x,y).
(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标;
(2)若C是y轴上的点,且满足AABC的面积为10,求C点坐标.
第4页共22页
2021-2022学年天津市河北区九年级上期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择区:本大题共10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合目要求的
1.如图,OO是正五边形4BCOE的外接圆,则正五边形的中心角/A08的度数是()
A.72°B.60°C.54°D.36°
【分析】由圆周角定理知,ZAOB=360°+5=72°.
【解答】解:是正五边形ABCOE的外接圆,
AZAOB=360°+5=72°.
故选:A.
【点评】本题考查了圆周角定理,由等弧所对的圆心角相等来解决问题.
2.有一条弧的长为如on,半径为2cm,则这条弧所对的圆心角的度数是()
A.90°B.120°C.180°D.135°
【分析】根据弧长公式:/=史曳(弧长为/,圆心角度数为小圆的半径为R),代入即
180
可求出圆心角的度数.
【解答】解:由题意得,2n=n,X.2,
180
解得:n=180.
即这条弧所对的圆心角的度数是180°.
故选:C.
【点评】本题考查了弧长的计算,解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式,及公式字
母表示的含义.
3.下列事件是必然事件的是()
A.〃边形的每个内角都相等
B.同位角相等
第5页共22页
C.分式方程有增根
D.三角形内角和等于180°
【分析】必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.
【解答】解:A.〃边形的每个内角都相等是随机事件;
B.同位角相等是随机事件;
C.分式方程有增根是随机事件;
D.三角形内角和等于180°是必然事件;
故选:D.
【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题,要学会关注身边的事
物,并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题,提高自身的数学素养.用到的知
识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定
条件下,可能发生也可能不发生的事件.
4.用2、3、4三个数字排成一个三位数,则排出的数是偶数的概率为()
A.AB.Ac.3D.2
2453
【分析】首先利用列举法可得:用2,3,4三个数字排成一个三位数,等可能的结果有:
234,243,324,342,423,432;且排出的数是偶数的有:234、324、342、432,然后
直接利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解::用2,3,4三个数字排成一个三位数,等可能的结果有:234,243,324,
342,423,432;
•.,排出的数是偶数的有;234、324、342、432;
排出的数是偶数的概率为:2=2
63
【点评】此题考查了列举法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之
比.
5.如图,点尸是边上的一点,射线CP交D4的延长线于点E,则图中相似的
C.2对D.3对
第6页共22页
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可.
【解答】解:..•四边形A8CO是平行四边形,
:.AB//DC,AD//BC,
:.△EAPs^EDC,AEAPsACBP,
:.AEDCsACBP,
故有3对相似三角形.
故选:D.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质,熟练掌握相似三角
形的判定方法是解题关键.
6.如图,在△ABC中,D,E分别是45和AC上的点,^.DE//BC,胆=a,DE=10,
EC2
则BC的长为()
【分析】根据已知条件得到迪力,根据相似三角形的性质即可得到结论.
AC7
【解答】解:•.•胆=旦,
EC2
•••A-E=--5,
AC7
■:DE//BC,
:.AADE^AABC,
•AE=DE;
"ACBC,
•A=M
"7BC)
:.BC=14,
故选:B.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用,在判定两个三角形相似时,
应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.
7.已知点A(-2,yi),B(3,”)是反比例函数y=K(fc<0)图象上的两点,则有()
第7页共22页
A.^i<0<y2B.y2<0<yiC.yi<y2<0D.y2<yi<0
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限,再根据各象限内
点的坐标特点解答.
【解答】解:•••反比例函数y=K(/<0)中,/<0,
X
・・・此函数图象在二、四象限,
•・•-2<0,
・,•点A(-2,yi)在第二象限,
・力1>0,
V3>0,
(3,丁2)点在第四象限,
”的大小关系为y2VoVyi.
故选:B.
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点
的坐标特点,比较简单.
8.函数-〃与>=包(〃W0)在同一直角坐标系中的图象可能是()
【分析】本题只有一个待定系数〃,且。?0,根据〃>0和〃<0分类讨论.也可以采用
“特值法”,逐一排除.
【解答】解:当〃>0时,函数》=奴2-〃的图象开口向上,但当x=o时,y=一〃<0,
故5不可能;
当4<0时,函数y=〃%2-4的图象开口向下,但当x=0时,y=-〃>0,故。、。不可
第8页共22页
可能的是A.
故选:A.
【点评】讨论当〃>0时和。<0时的两种情况,用了分类讨论的思想.
9.对于反比例函数y=K&W0),下列所给的四个结论中,正确的是()
x
A.若点(2,4)在其图象上,则(-2,4)也在其图象上
B.当左>0时,y随x的增大而减小
C.过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线,垂足分别A、B,则矩形0AP8的面积为4
D.反比例函数的图象关于直线y=尤和y=-尤成轴对称
【分析】根据反比例函数的性质一一判断即可;
【解答】解:A、若点(2,4)在其图象上,则(-2,4)不在其图象上,故本选项不符
合题意;
B、当k>0时,y随x的增大而减小,错误,应该是当k>Q时,在每个象限,y随龙的
增大而减小;故本选项不符合题意;
C、错误,应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线,垂足分别A、B,则矩形OAP8
的面积为因;故本选项不符合题意;
。、正确,本选项符合题意,
故选:D.
【点评】本题考查反比例函数的性质,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质,灵活
运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
10.如图,。是等边△ABC边A8上的一点,且A。:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C
与。重合,折痕为ER点E,尸分别在AC和BC上,则CE:CF=()
【分析】借助翻折变换的性质得到。E=CE;设AB=3七CE=x,则AE=34-x;根据
第9页共22页
相似三角形的判定与性质即可解决问题.
【解答】解:设4。=%,则。8=2%,
•••AABC为等边三角形,
:.AB=AC=3k,ZA=ZB=ZC=ZEDF=60°,
/.ZEDA+ZFDB=120°,
又:NEZM+/AE£)=120°,
:.ZFDB=ZAED,
:.△AEDsdBDF,
••--ED=---A-D-=---A-E,
FDBFBD
设CE—x,贝!jED—x,AE—3k-x,
设CF=y,则。F=y,FB=3k-y,
•xk3k-x
・•丁3k-y=2k'
,fky=x(3k-y)
I2kx=y(3k-x)
;.三=生
y5
CE-.CF=4:5.
故选:B.
解法二:解:设则。8=24,
,//XABC为等边三角形,
:.AB=AC^3k,/A=/B=/C=/EDF=60°,
:.ZEDA+ZFDB=120°,
又:NEZM+/AE£)=120°,
ZFDB=ZAED,
:.AAEDs^BDF,由折叠,得
CE=DE,CF=DF
AAED的周长为4k,ABDF的周长为5k,
.♦.△AEO与尸的相似比为4:5
ACE-.CF=DE:AF=4:5.
第10页共22页
故选:B.
【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题;解题的关键是借助相似三角形的判
定与性质(用含有左的代数式表示);对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要
求.
二、填空题:木大题共8个小题,每小题3分,共24分
11.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2:亚.
【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线,构建直角三角形,解
三角形,可.
【解答】解:设正六边形的半径是r,
则外接圆的半径r,
内切圆的半径是正六边形的边心距,因而是退r,
2
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2:V3.
故答案为:2:
【点评】考查了正多边形和圆,正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线,连接半径,
把正多边形中的半径,边长,边心距,中心角之间的计算转化为解直角三角形.
12.若△ABCS/XA,B'C,且△ABC与B'C的面积之比为1:3,则相似比为
K_V3_-
[分析]根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答.
【解答】解::△ABCs△A,B'C,△ABC与B'C的面积之比为1:3,
...△ABC与B'C的相似比为1:小京
故答案为:1:V3-
【点评】本题考查了相似三角形的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
13.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同,通过
多次摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在0.25附近,则估计口袋中白球大约有15
个.
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率,进而求出白
球个数即可.
【解答】解:设白球个数为:x个,
.摸到红色球的频率稳定在0.25左右,
第11页共22页
口袋中得到红色球的概率为0.25,
•-•---5--_1—,
x+54
解得:尤=15,
即白球的个数为15个,
故答案为:15.
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,根据大量反复试验下频率稳定值即概率得
出是解题关键.
14.已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则圆锥的全面积是24n.
【分析】首先求得底面周长,即侧面展开图的扇形弧长,然后根据扇形的面积公式即可
求得侧面积,即圆锥的侧面积,再求得圆锥的底面积,侧面积与底面积的和就是全面积.
【解答】解:底面周长是:2X3TT=6TT,
则侧面积是:Ax6nX5=15ir,
底面积是:nX32=9'n:,
则全面积是:15ir+9n=24n.
故答案为:241T.
【点评】本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系
是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
15.如图,在平面直角坐标系中,已知点。(0,0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似
中心,作出△AOB的位似△CDE,则位似中心的坐标为(2,2).
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心.
【解答】解:如图所示,点尸即为位似中点,其坐标为(2,2),
第12页共22页
【点评】此题主要考查了位似变换,正确掌握位似中心的定义是解题关键.
16.如图,的半径为6c7九,8为。。外一点,交。。于点A且。动点P从
点A出发,以2mv"/s的速度在。。上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止,当点P
运动的时间为1或5s时,BP与。。相切.
【分析】分为两种情况:求出/POB的度数,根据弧长公式求出弧AP长,即可求出答
案.
•直线与。。相切,
/OPB=90°,
':AB=OA=OP,
:.OB=2OP,
:.ZPBO=30°,
AFOB=60°,
弧AP的长是"6=2m
180
第13页共22页
即时间是2n+27i=l(秒);
当在P点时,直线5尸与。0相切,
此时优弧APP的长是(360-60A兀上二患m
180
即时间是l(ht+2Tr=5(秒);
故答案为1或5.
【点评】本题考查了切线的性质,含30度角的直角三角形性质,弧长公式得应用,关键
是求出弧AP的长.
17.如图,在正方形ABCD中,42=2,点E为A8的中点,于点O,则4。=_型5_.
【分析】首先利用勾股定理求出DE,再利用三角形的面积公式求出OA即可.
【解答】解:•.•四边形ABCD是正方形,
:.AD=BC=2,ZDAE=9Q°,
":AE=EB^l,
,*•DE=d+]2=^/^,
*:AO±DEf
:.1XDEXAO=^XAEXAD,
22
5
故答案为空G.
5
【点评】本题考查正方形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练
掌握基本知识,属于中考常考题型.
18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点、B,点C均落在格点
上.
(/)计算18的长等于5.
(II)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个使〜△A8C,
且满足点。在AC边上,点E在A8边上,AE=2.简要说明画图方法(不要求证明)」
第14页共22页
点M,N,连接MN交AC于点D使得包■=§,取点P,连接PC交AB于点E,使得地
CD-1EB
【分析】(I)根据勾股定理计算即可;
(II)在AC,42上分别截取A£>=2.5,AE=2即可解决问题;
【解答】解:(I)AB=^32+42=5.
(II)如图,取点M,N,连接交AC于点。,使得殁=5,
CD3
取点尸,连接PC交AB于点E,使得里•=?,连接OE.△ADE即为所求.
EB3
故答案为:取点M,N,连接MV交AC于点。,使得胆=$,取点P,连接PC交A8
CD3
于点E,使得胆=2,连接DE.△ADE即为所求.
EB3
【点评】本题考查作图-应用与设计,勾股定理,相似三角形的性质和判定等知识,解
题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
三、解答题;本大题共6个小题,共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
19.(5分)一定质量的氧气,它的密度p(kg岛是它的体积V(机3)的反比例函数,当
时,p—i.43kg/mi.(1)求p与V的函数关系式;(2)求当V=2:/时求氧气的
密度p.
第15页共22页
【分析】首先根据题意,一定质量的氧气,它的密度P(W)是它的体积V(m3)的
反比例函数,将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式;进一步求解可得答案.
【解答】解:(1)设p=区,当V=10〃尸时,p—l.43kg/m3,
v
所以1.43=&_,即4=14.3,
10
所以p与V的函数关系式是p=ll&;
(2)当V=2/时,把M=2代入得:p=7.15(依//),
所以当y=2"3时,氧气的密度为7.15(版/信).
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两
个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.
20.(6分)现有两组相同的扑克牌,每组两张,两张牌的牌面数字分别是2和3,从每组牌
中各随机摸出一张牌,称为一次试验.
(1)小红与小明用一次试验做游戏,如果摸到的牌面数字相同小红获胜,否则小明获胜,
请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?
(2)小丽认为:”在一次试验中,两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况,所以
出现‘和为4'的概率是工”,她的这种看法是否正确?说明理由.
3
【分析】(1)根据题意画树状图,再根据概率公式求出概率,即可得出答案;
(2)根据概率公式求出和为4的概率,即可得出答案.
【解答】解:(1)根据题意画树状图如下:
2323
数字相同的情况有2种,
贝IP(小红获胜)—P(:数字相同,=—>
2
P(小明获胜)=P(数字不同)=—>
2
则这个游戏公平;
(2)不正确,理由如下;
因为“和为4”的情况只出现了1次,
第16页共22页
所以和为4的概率为工,
4
所以她的这种看法不正确.
【点评】此题考查了游戏的公平性,关键是根据题意画出树状图,求出每件事情发生的
概率,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
21.(7分)如图,为了计算河两岸间的宽度,我们在河对岸的岸边选定一个目标作为点A,
再在河岸的这一边选点B和点C,使AB±BC,然后再选点E,使ECLBC,BC与AE
的交点为D测得80=120米,OC=60米,EC=50米,请求出两岸之间A8的距离.
【分析】利用两角对应相等可得利用相似三角形的对应边成比例可得
AB的长.
【解答】解:':ABLBC,ECLBC,
:.ZABC^ZBCE=90°,
':NADB=/CDE,
:.AABD^AECD,
.AB=BD
*"CECD)
即:旭=丝&,
5060
解得AB=100.
答:两岸之间AB的距离为100米.
【点评】本题考查相似三角形的应用,用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似;
相似三角形的对应边成比例.
22.(8分)如图,AB1BC,DC±BC,E是BC上一点,S.AE1DE.
(/)求证:AABE^/\ECD;
(II)若AB=4,AE=BC=5,求ED的长.
第17页共22页
【分析】(I)先根据同角的余角相等可得:NDEC=/A,利用两角相等证明三角形相
似;
(II)先根据勾股定理得:8E=3,根据△ABEs△EC。,列比例式可得结论.
【解答】(I)证明:\'AB±BC,DC±BC,
.•.NB=NC=90°,/BAE+NAEB=90°,
\'AE1DE,
:.ZA£D=90°,
:.ZAEB+ZDEC=9Q°,
:.ZDEC=ZBAE,
:.AABEsAECD;
(II)解:Rt/XABE中,':AB=4,AE=5,
:.BE=3,
':BC=5,
;.EC=5-3=2,
由(1)得:△ABEs△EC。,
•AB=EC;
"AECD'
-±=_2_r
"s应,
:.DE=^-.
2
【点评】本题考查了相似或全等三角形判定与性质,解直角三角形,熟练掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键.
23.(10分)如图,在△ABC中,NC=90°,AB=IO,AC=8,将线段AB绕点A按逆时
针方向旋转90°到线段AD△EFG由AABC沿C8方向平移得到,且直线EF过点。.
(1)求N1的大小.
第18页共22页
(II)求AE的长.
【分析】(I)由旋转的性质得,AD=AB,ZABD=45°,再由平移的性质即可得出结
论;
(II)先判断出进而得出△ADEs/vlCB,得出比例式求出AE即可;
【解答】解:(I)•••线段是由线段绕点A按逆时针方向旋转90°得到,
ZDAB=90°,AD=AB,
:.ZABD=45°,
4EFG是ZXABC沿CB方向平移得到,
J.AB//EF,
.•.N1=NABO=45°;
(II)由平移的性质得,AE//CG,
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