5月大数据模拟卷01（山东、海南专用）（解析版）高中数学

5月大数据精选模拟卷01(山东、海南专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知命题，：Vx>0,ln(x+l)>0,则一^为().

A.Vx>0>ln(x+l)<0B.3x0>0,ln(^+l)<0

C.Vx<0,ln(x+l)<0D.3x0<0,ln(x0+1)<0

【答案】B

【详解】

对命题否定时，全称量词改成存在量词，即三%>0,ln(%+l)«0；

故选：B.

2.已知集合A={x|-2cx<1},8=卜”=4},那么AU6RB=().

A.(-2,1)B.(-2,0)C.(ro,l)D.(YO,0)

【答案】C

【详解】

B=={x|x>01，:.dRB={x|x<0}

VA=|x|-2<x<l|,/.AudRS=(-oo,l).

3.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每

珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和

两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74,若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，

再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为()

1

74

5

D.

24

【答案】A

【详解】

由题意，在个、1\百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，

再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有〃=C：C：=24种,

①当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到

的数字不大于300,有C；C；=2；

②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数

字不大于300,有C；=l；

2+1217

所以所拨数字不大于300的概率为P=1-----=一=一.

24248

故选：A.

4.某学校组建了演讲，舞蹈、航模、合唱，机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加其中一

个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统

计图：

人数

200合唱

150机器人

100、演讲

50

5010%

\航模舞蹈〉

0\20%

演讲舞蹈航模合唱机器人社团15%/

则选取的学生中参加机器人社团的学生数为（)

2

A.50B.75C.100D.125

【答案】B

【详解】

山题意，本次调查的人数为50+10%=500人，

其中合唱比赛所占的比例为黑=04=40%,

所以机器人所占的比例为1—10%—20%-15%-40%=15%.，

所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为500xl5%=75人.

故选：B.

5.函数〃x)=S+e-Dtanx的部分图像大致为().

【答案】D

【详解】

因为/(力=卜、+于*)1211厂工力%万+'/€2，定义域关于原点对称,

且f(~x)=(/+e-r)tan(-x)=-/(x),

所以函数为奇函数，故排除C选项，

当x=0时，/(0)=0,故排除B选项；

当尤=1时，/(1)>0,故排除A,

3

故选：D

6.如图所示，已知在△ABC中，。是边A8上的中点，则C/5=（）

A.BC--BA

2

B.-BC+-BA

2

C.-BC--BA

2

D.BC+-BA

2

【答案】B

【详解】

CD=BD-BC=-BA-BC=-BC+-BA.

22

故选：B

7.若圆台的上、下底面面积分别为4,16,则圆台中截面的面积为（）.

A.10B.8C.9D.872

【答案】C

【详解】

如图，将圆台补成圆锥

设圆台上底面中心。1到圆锥顶点的距离为力，圆台的高为2x,中截面面积为S

4

416

则涔记了‘整理得力=2》，

4S4S

乂*而彳,所以彳"正守‘解得$=9

故选:C

8.已知定义在(—,0)D(0,+8)上的奇函数“X)在(―8,0)上单调递增，且满足〃-1)=一2,则关于X

2

的不等式“X)〈嚏+sin4x的解集为().

A.(-oo,-l)U(l,-H»)B.(-l,0)U(l,+oo)

C.(-oo,-l)U(0,l)D.(-l,O)U(O,l)

【答案】C

【详解】

：/(X)为(Y°，0)u(0,+00)上的奇函数,，/(-X)=-/(x),

222

令g(x)=/(x)-二，则g(-X)=/(T)+—=-/(X)+==—g(X)，

XXX

，g(x)为(-QO,0)D(0,+8)上奇函数；

2

•・"(X)在(-00,0)上单调递增，y=-一在(-00,0)上单调递增，

，g(x)在(f,0)上单调递增，由奇函数性质知：g(x)在(0,+“)上单调递增；

1)=-2,.•.g(_l)=〃-l)+2=0,则g(l)=0,

又/(■!)>/(1)=一/(-1)=2,当x=|■时，2+sin乃x=[+sin/='|,

5?仅]<sin至不成立,

,当工=5时，〃X)<—+sin7rx不成立，即g

⑴2

由此可在坐标系中画出g(x)与y=sin也大致图象如下图所示：

5

y

由图象可知：当xe(-oo,—l)U(O/)时，g(x)<sin;rx,

2

即当XW(F,-1)U(O,1)时，/(j：)<-+sin7TX.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

2

9.已知复数4=----(i为虚数单位)，下列说法正确的是().

-1+z

A.4对应的点在第三象限

B.Z］的虚部为—1

C.z：=4

D.满足忖=团的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上

【答案】AB

【详解】

22(-1-z)

由题意，复数4=—:__］一［,

-1+z(-l+z)(-l-z)

所以复数Z1在复平面内对应的点(-1,-1)位于第三象限，所以A正确；

由4=一1—1,可得复数的虚部为一1，所以B正确；

由z：—==仅。2=_4,所以c不正确；

由㈤=J(-1)2+(-1『-V2,

6

所以满足目=匕|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为、历的圆上，所以D不正确.

故选：AB.

10.已知函数/(x)=Acos(x+e)+«A＞0,财＜?,若函数y=|/(x)|的部分图像如图所示，则下列

说法正确的是().

B.函数/(X)的图像关于点［-1兀对称

C.将函数y=2sinx+l的图像向左平移?兀个单位可得函数/(x)的图像

6

D.函数/(x)在区间一］,0上的值域为［6+1,3］

【答案】BC

【详解】

结合函数y=|f(x)|的图像易知，函数f(x)的最大值3,最小值为—1，

则4=2,/(x)=2cos(x+o)+l,

代入点(0,2),则2cosc+1=2,cos°=；,

因为网＜］，所以9=9，/(x)=2cos［x+qj+l,

x+y=k?r{keZ),即*=一2+左乃(keZ),函数/(x)关于*=一5+左万(％wZ)对称，A错误；

%+方=5+呵左？Z),即x=?+"■仕eZ),函数/(x)关于点(2+版'［(ZeZ)对称，B正确;

7

函数y=2sinx+l的图像向左平移之兀个单位，

6

得出(x)=2sin[x+K+l=2sin(x+?+/)+l=2cos[x+q+1,C正确；

当工£一于°时，工+3"£~~6~3'cos^x+—€—,1,f(x)e[2,3],D错误.

22

11.已知双曲线C：土—匕=1的左、右顶点分别为A,B,点尸是。上的任意一点，则()

39

A.双曲线C的离心率为空

3

B.焦点到渐近线的距离为3

9

C.点P到两条渐近线的距离之积为一

4

D.当尸与A、3不重合时，直线B4，的斜率之积为3

【答案】BCD

【详解】

对于A,a=y/3,b=3,c=Va2+b2-2-^3'e—=2,故A错误；

对于B,双曲线的右焦点玛(26,0)到渐近线丁=。》=向的距离为4=^^21=3,故B正确;

对于C,设P(Xo，X))，满足,一,=1，即3x；-乂=9,则点尸到两条渐近线的距离之积为

“|百”。|椁"%|二网-园」,故c正确；

A/3+T5^+144

对于D,设。(』,坊)，由C得3片一y；=9,kpA=%,。胃，

XQ+>/3XQ—75

23x2-9

怎A8=v/^=+T=3,故D正确；

xQ—3x0-3

故选：BCD

12.如图，在棱长为1的正方体ABC。-4与GR中，P,M，N分别为棱CG，CB,CO上的动点

8

（点P不与点C,G重合），若CP=CM=CN,则下列说法正确的是（)

4

A.存在点尸，使得点A到平面M的距离为一

B.用过P,M，2三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

C.平面「

D.用平行于平面M的平面a去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为3近

【答案】ABD

【详解】

A.连接AG，3G，Am）,CQ，4O,4C,如图所示:

因为CP=CM=CV,所以易知MNI/BD,NPI/C、D,MP/IBC、,且平面M/VP//平面BQ。,

乂已知三棱锥A-各条棱长均为0,所以三棱锥A一为正四面体,

所以A到平面BQ。的距离为:

因为A4L平面BCCg,所以A4_L6C1,又Bq工B。,且440片。=片，

9

所以BGJ.平面ABC，又4。U平面ABC，所以AC,

同理可得AC,且8C|CC|O=G，所以A。，平面BG。，

又因为A0=g,所以A到平面PMN的距离€（半,、疗），且竽<g<6,故正确；

B.如图所示，连接2P并延长交。C的延长线于。点，连接并将其延长与相交于4，

CPCMCQ,

因为CP=CM，且CP//。，,CM//A。，则后；~=言；=岸，所以D4'=OR,所以A即为A，

DD、L）/\"Q

连接AA.

所以过P，M，2的截面为四边形ADfM,

由条件可知MP//BG，8C|//AA，且所以四边形ARPM为梯形，故正确；

C.连接BR,由A可知平面脑VP//平面5G。,

乂因为Be平面BG。，。任平面BG。，所以8。不平行于平面5G

所以8。//平面PMV不成立，故错误；

10

D.在8片上取点P1,过点6作/]《//MP交4G于鸟，过名作PM〃MN交CQ于M,以此类推,

依次可得点N2，M1,M2,此时截面为六边形，

根据题意可知：平面《《乂外必〃2//平面MNP,

不妨设3耳=无，所以RM]=RM=N2Ml=Ox，所以6《=2①=”|〃2=血(1一力，

所以六边形的周长为：3[V2X+V2(1-X)]=3A/2,故正确：

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(l+x)”'+(l+3x)”(九〃eN*)展开式中x的系数为11,当f的系数取最小值时，/的系数是

【答案】5

【详解】

(l+x)'"+(l+3x)”(九〃eN*)展开式中x的系数为11,

即C；+3C；=11,即加+3〃=11，所以加=11—3〃，

炉的系数为第+9C；=、2)+1)

_(ll-3n)(10-3n)9n(n-l)

-+

22

=9n2-36〃+55=9(〃-2)2+19，

当〃=2时，/系数的最小值为1%则〃2=11—3〃=5,

即(l+xf+(l+3x)2中/的系数为。；=5,

II

故答案为：5.

14.一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字I,另两个面上标着数字2,还有一个面

上标着数字3,现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面上数字之和为则£（劣=.

［答案］—

3

【详解】

由题意可得，J的可能取值为2,3，4,5，6,

3121

又任意抛掷一次正方体，出现数字1的概率为一=—,出现点数为2的概率为一=一，出现点数为3的概率

6263

吟

则（）；；；（）（）iiiii5

PJ=2=x=,P^=3=1xl+lx|=|,pg=4=gX—+—X—+—X—

乙乙乙DJ/J36226?8

P（&=6）=*x*=l

0030

15.己知P是抛物线炉=4》上的动点，点尸在），轴上的射影是“，点A的坐标为（2,3）,则|R4|+|PM|的

最小值是.

【答案】Vio-i

【详解】

当x=2时，y2=4x2=8,所以y=±2&,即仅|=2加,因为3>2a,

所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线x=-1于点N,由抛物线的定义可知|尸MMIPM+IMIPQ，当三

点A,P,尸共线时,|R1|+|PF|最小,

此时为IRM+IPQ=14f1，又焦点坐标为F（l,0）,所以|A/n="（2—iy+32=而，

即1PM+1+1网的最小值为布，所以FM+1%1的最小值为屈-1.

故答案为：V10-1.

12

16.已知/(x)是定义在R上的偶函数且"0)=1,g(x)=/(x—l)是奇函数，则”2021)=

4/1-I

-----------------------------------------------------

/=1

【答案】o-I

【详解】

解：因为/(X)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(-X),

g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=-g(-x),

/(%-l)=-/(-x-l),

所以/(x)=/((x+D-1)=-/(-(x+1)-1)=-/(-%-2)=-f(x+2),

则f(x+2)=-f(x),所以/(x+4)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数.

因为g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(0)=0,

由g(x)=/(x-D，取x=0，得：“l)=/(-l)=g(0)=。，

又/(0)=1，所以/(2)=-/(0)=-1,/(3)=-"1)=0

所以f(l)+/(2)+f(3)+f(4)=0+(-l)+0+l=0

所以/(4〃+1)+〃4〃+2)+”4〃+3)+/(4〃)=0+(-1)+0+1=0,(neZ)

所以/(2021)=/(1)=0

13

4n-l

所以2/。）=[/（1）+/（2）+63）+/（4）]+[〃5）+/（6）+〃7）+〃8）]+...+[/（4"-3）+/（4“-2）+/（4"-1）]

i=\

=o+o+---+[o+(-i)+o]=-i.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①6sinC+cosC=^^,②sin28+sin2C-sin2A=sinBsinC，③

a

2cosA(ccos8+Z?cosC)=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

问题：在A/WC中，内角A，B,C所对的边分别为“，b,c,且________.

(1)求角A；

(2)若。是△ABC内一点，ZAOB=no°,ZAOC=150°,b=l,c=3,求tanZABO.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【详解】

方案一：选条件①

信.尸cb+csinB+sinC

(1),/，3sinC+cosC=----=-----------

asinA

y/3sinCsinA+cosCsinA=sin(A+C)+sinC

整理得（GsinA-cosA）sinC=sinC

/.V3sinA-cosA=l

sin（A—30。）=（

又0°<A<180。

/.A=60°

（2）•.•ZO4C+ZQ4B=60°,ZOAB+ZABO=180°-120°=60°

ZOAC=ZABO

AO3

在△ABO中,

sinZABOsin1200

AO=2^sinZABO

1AOAO

在Z\ACO中，sin150°-sinZACO-sin（30°-ZAB（9）

.­.AO=2sin（300-ZABO）

14

2sin(30°-NA3O)=2GsinZABO

整理得cosZABO=373sinZABO

h

tanZABO=—

9

方案二：选条件②

(1),.-sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC

h2+c2-a2=he

X0°<A<180°

，A=60°

(2)同方案一(2)

方案三：选条件③

(1),.^cosA(ccosB+hcosC)=a

：.2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=sinA

2cosAsinA=sinA

“1

cosA=—

2

又0°<A<180。

=60。

(2)同方案一(2)

已知等差数列的前〃项和为数列为等比数列，满足是打

18.｛q｝S“，｛d｝q=4=2,55=30,a+2

与&的等差中项.

(1)求数列｛%｝,｛2｝的通项公式；

(2)从数列｛%｝中去掉数列｛〃,｝的项后余下的项按原来的顺序组成数列｛%｝,设数列｛%｝的前〃项和为

T,，求十0.

【详解】

15

(1)设等差数列｛%｝的公差为4,等比数列｛2｝的公比为q.

5x4

•/«,=2.-.S5=10+—c/=30,:.d=2

an=2+2(〃-1)=2〃.

♦.也+2是a与2的等差中项，.1234+2)=么+&

又％=2,二2(2q2+2)=2q+2/,解得q=2

bn=2-.

(2)-：aM=120

，数列｛%｝前60项中与数列｛"｝的公共项共用6项，且最大公共项为a=26=64.

又《6=132,4=27=128,

27

.•.7^=567-(2+2+...+2)

=134+色包X2—2(1-27)

21-2

=4556-254

=4302.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCO是边长为1的正方形，PA1CD,E4=l，PD=&

E为PD上一点,HPE=2ED.

(1)求证：平面Q4C_L平面4BCD；

(2)求二面角P—CE—8的余弦值.

【详解】

16

(1)证明：在△R4D中，24=49=1,PD=6

：.PD2PA2+AD2

：.PAA.AD

又如_LC£＞，CDRAD=D,CD,ADu平面ABC。

平面ABCD

又24u平面PAC

平面B4C_L平面ABCD

（2）以A为原点，AB，AD.AP所在直线分别为％轴，V轴，z,建立如图所示的空间直角坐标系,

则B（1,O,O）,c（1,1,0）,P（0,0,l）

=(0,1,0).屈=(-PC=(1,1,-1)

in-CE=0

设平面PCE的一个法向量为而=（不y,zj,则＜

m-PC=0

TA。

3+y-4=o

%)=0

令x=i,解得＜

Z[=1

m=（0,1,1）

-,、[n-CE-0

设平面5CE的一个法向量为〃=（凡,％，Z2），贝"——

、-）n-BC=Q

F昔++。

乂二°

%=0

令々=1，解得

=3

〃=(1,0,3)

/---、m-n3=3加

/.cos(m,n)=—~-

\tn\\n\V2xV10-10

17

20.己知椭圆C:三+q=1(。〉。>0)的左，右焦点分别为K，鸟，过耳的直线/与椭圆。交于Af，N

a~b

两点，圆P是AMNK的内切圆.当直线/的倾斜角为45°时，直线/与椭圆C交于点(一

(1)求椭圆C的方程；

(2)求圆P周长的最大值.

【详解】

(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),则耳(-c,0),

当直线/的倾斜角为45。时，直线/的方程为)'=%+c,

又直线/与椭圆C交于点(-g,-1),；.C=1,.,/2=。2+1

将点(一§,一§)代入椭圆方程得：道旬+方=1

01

解得廿=1或/=一(舍)，.・.储=2

9

2

...椭圆C的方程为++9=1

(2)设圆尸的半径为r(r>0),

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=—1,|MN|=0,

18

=；（|MN|+|M^|+|N用）r=2&r=gx2x/

1

：.r=—

2

当直线/的斜率存在时，设为左，直线/的方程为丁=丘+我,

设N&,%)

y=kx+k

2得(2k2+1卜2+4&2工+2&2-2=0

由《X2

一十y=i

2

4k22k二2

—药，中2=罚

SAMNF]=5恒图|凹一%|hA।归一司

t

I---------------------16r8俨7）

=阳由玉+马）一一4卬;2=阳同+/下7T

:.2日=应1-------------

\（2k2+1）'

•_1LiJ

•.厂=一|1--------------7V-

（2公+1）-2

综上，

2

.•.当r=J•时，圆p的周长取得最大值乃.

2

21.某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位

工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀.考试结束后，组织部门从

所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64.假设该

市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩J服从正态分布N（82,64）.

（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人?

19

(2)该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有

参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖

一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10,11,L,99),若产生的两位数的数字相同，则可获

赠手机流量5G,否则获赠手机流量1G.假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动

赠予的手机流量总共有多少G?

参考数据：若《〜N(〃,b2),则b<J<〃+b)=0.68

【详解】

(I)由题意，随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64,

即〃=82,b=8,所以考试成绩优秀者得分J»9(),即€»〃+cr.

乂由尸(〃一b<J<〃+o■卜0.68,得〃+o■卜;(1—0.68)=0.16.

所以估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达20x0.16=3.2万人.

(2)设每位抽奖者获赠的手机流量为XG,则X的值为1，2,5,6,10.

可得尸(X=l)=(l®6)x寻温,

p(x=2)=o.i6x[2]

')UoJ10000

iX4

P(X=5)=(1-0.16)x—=----,

'7v7101000

P(X=6)=0.16X2X1X2=I^_

=10)=0.16x1-L16

10000

所以随机变量X的分布列为:

X\25610

75612968428816

p

100010000100001000010000

,756c1296u84/28816,

所以£(X)=lx----+2x-----+5x----+6x-----+i1n0x-----=1.624(G).

v71000100001000100001000()

20

因此，估计此次抽奖活动赠予的手机流量总值为20x1.624=32.48(万G).

22.已知函数/(x)=x