人教A版数学选修1－1练习第一章常用逻辑用语1.2.2

第一章1.2A级基础巩固一、选择题1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p：1<x<2；q：2x>1，则p是q成立的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵1<x<2⇒2x>1，而2x>1eq\o(⇒,/)1<x<2，故选A．2．一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(B)A．m>1，n<－1 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0[解析]先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,n)>0,\f(1,n)<0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0.))从而A，B，C，D中只有B满足题意．3．“x>1”是“eqlog\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0”的(B)A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件[解析]eqlog\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0＝eqlog\s\do8(\f(1,2))1，∴x＋2>1即x>－1，而x>1⇒x>－1，反之不然．故选B．4．(2018·浙江，6)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．5．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a⇔(a－mb)·a＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔m＝1，故选C．6．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(A)A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b，∴a>b＋1是a>b的充分条件．又∵a>b⇒a－b>0eq\o(⇒,/)a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要条件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．二、填空题7．若条件p：(x＋1)2>4，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的__充分不必要___条件.[解析]因为(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以2<x<3，所以q⇒p，即q是p的充分不必要条件．8．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的__充分不必要___条件.[解析]点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.三、解答题9．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p是q的什么条件.(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．[解析](1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0eq\o(⇒,/)x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为两个三角形相似eq\o(⇒,/)两个三角形全等，而两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件．(3)因为m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根，而方程x2－x－m＝0无实根eq\o(⇒,/)m<－2，所以p是q的充分不必要条件．(4)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q.而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以qeq\o(⇒,/)p.所以p是q的充分不必要条件．B级素养提升一、选择题1．设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]若a1<a2<a3，则a1<a1q<a1q2，若a1>0，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0<q<1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，∴甲⇒丁且丁eq\o(⇒,/)甲，故选B．3．(2018·天津文，3)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由x3>8⇒x>2⇒|x|>2，反之不成立，故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件．故选A．4．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A．5．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一个零点的充分不必要条件是(A)A．a<0 B．0<a<eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)<a<1 D．a≤0或a>1[解析]因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无交点．数形结合可得，a≤0或a>1，即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a≤0或a>1，应排除D；当0<a<eq\f(1,2)时，函数y＝－2x＋a(x≤0)有一个零点，即函数f(x)有两个零点，应排除B；同理，排除C．故选A．二、填空题6．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的__充分不必要___条件.[解析]圆心为(a，b)，半径r＝eq\r(2).若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有eq\f(|a－b＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．7．已知全集S，若p：AB，q：∁SB∁SA，则p是q的__充要___条件.[解析]利用集合的图示法，如下图，AB⇒∁SB∁SA，∁SB∁SA⇒AB⊆S.∴p是q的充分条件，也是必要条件，即p是q的充要条件．8．已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是__m≤－8___.[解析]p：x>－eq\f(m,2)，q：x<0或x>4，由条件知p⇒q，∴－eq\f(m,2)≥4，∴m≤－8.C级能力提高1．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[解析]充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两不等实根，设为x1、x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，∵方程有一正根和一负根，设为x1、x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0，综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.2．(2016·浙江杭州高二检测)设p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－12≥0,3－x≥0,x＋3y≤12))，q：x2＋y2>r2(x、y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数r的取值范围.[解析]设A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－12≥0,3－x≥0,x＋3y≤12)))))