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文档简介
专题三二次函数中等腰三角形存在性问题探究方法点睛:构造等腰三角形的一般思路:平面直角坐标系中已知一条线段,构造等腰三角形,用的是“两圆一线”:分别以线段的两个端点为圆心,线段长为半径作圆,再作线段的垂直平分线。动点产生的等腰三角形的一般解法,以三角形ABC为等腰三角形为例:代数法设未知数,表示出A,B,C三个顶点的坐标.利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.分类讨论:AB=BC,BC=CA,AB=AC.几何法设未知数,表示出A,B,C三个顶点的坐标.利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度.分类讨论:AB=BC,BC=CA,AB=AC.典例剖析例:(2020桂林中考改编)如图,已知抛物线y=a(x+6)(x﹣2)过点C(0,2),交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为D,对称轴DE交x轴于点E,连接EC.(1)直接写出a的值,点A的坐标和抛物线对称轴的表达式;(2)若点M是抛物线对称轴DE上点,当△MCE是等腰三角形时,求点M的坐标;专题过关1、(2021朝阳中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点1、(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点,点N在抛物线的对称轴上,当△BMN为等边三角形时,请求出点M的横坐标.2、(2021南充中考)(12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.3、(2021济南中考改编)抛物线过点,点,顶点为.(1)求抛物线的表达式及点的坐标;(2)如图1,点在抛物线上,连接并延长交轴于点,连接,若是以为底的等腰三角形,求点的坐标;/4、(2021宿迁中考改编)如图,抛物线与轴交于A(-1,0),B(4,0),与轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.(1)求抛物线的表达式;(2)如图②,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作轴的垂线交BC于点H,当△PFH为等腰三角形时,求线段PH的长.
5、(2021绥化中考)如图,已知抛物线与轴交于点,点,(点在点的左边),与轴交于点,点为抛物线的顶点,连接.直线经过点,且与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;(2)点是抛物线上的一点,当是以为腰的等腰三角形时,求点的坐标;6、(2020黔东南中考改编)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,﹣3),顶点D的坐标为(1,﹣4).(1)求抛物线的解析式.(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标.7、(2020遵义中考)如图,抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B,点M是直线BC上一动点,过点M作MP∥y轴,交抛物线于点P.(1)求该抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;8、(2020枣庄中考改编)如图,抛物线交x轴于,两点,与y轴交于点C,AC,BC.M为线段OB上的一个动点,过点M作轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.(1)求抛物线的表达式;(2)试探究点M在运动过程中,是否存在这样点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.9、(2020济南中考改编)如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),点B(3,0)与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0m3),过点E作直线l⊥x轴,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式及C点坐标;(2)当m=1时,D是直线l上的点且在第一象限内,若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形,求点D的坐标;10、(2020宜宾中考改编)如图,已知二次函数图像的顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图像上,过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M,N两点(1)求二次函数的表达式;(2)P为平面内一点,当时等边三角形时,求点P的坐标;11、(2020宿迁中考改编)二次函数的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,顶点为E.(1)求这个二次函数的表达式,并写出点E的坐标;(2)如图①,D是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD的垂直平分线恰好经过点C时,求点D的坐标;12、(2020武汉中考改编)将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线,再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线.(1)直接写出抛物线,的解析式;(2)如图(1),点在抛物线对称轴右侧上,点在对称轴上,是以为斜边的等腰直角三角形,求点的坐标;13、(2020泸州中考)如图,已知抛物线经过,,三点.(1)求该抛物线的解析式;(2)经过点B的直线交y轴于点D,交线段于点E,若.①求直线解析式;②已知点Q在该抛物线的对称轴l上,且纵坐标为1,点P是该抛物线上位于第一象限的动点,且在l右侧.点R是直线上的动点,若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,求点P的坐标.14、(2021怀化中考改编)(14分)如图所示,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.(1)求抛物线的解析式;(2)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点,点R在x轴上,是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.15、(2021广安中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点,其中点坐标为,点坐标为,连接、.动点从点出发,在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动;同时,动点从点出发,在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接,设运动时间为秒.(1)求、的值;(2)在线段上方的抛物线上是否存在点,使是以点为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.16、(2021张家界中考改编)如图,已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点.
(1)求二次函数的表达式;(2)求顶点的坐标及直线的表达式;(3)判断的形状,试说明理由;17、(2021上海中考)已知抛物线经过点P(3,0)、Q(1,4).(1)求抛物线的解析式;(2)若点A在直线PQ上,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC,①当Q与A重合时,求C到抛物线对称轴的距离;②若C落在抛物线上,求C的坐标.18、(2021衡阳中考改编)(12分)在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“雁点”.例如(1,1),(2021,2021)…都是“雁点”.(1)求函数y=图象上的“雁点”坐标;(2)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),P是抛物线y=﹣x2+2x+3上一点,连接BP,以点P为直角顶点,构造等腰Rt△BPC,是否存在点P,使点C恰好为“雁点”?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.19、(2021随州中考改编)(12分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点D的坐标为(1,﹣4).(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图2,M是直线BC上一个动点,过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N,Q是直线AC上一个动点,当△QMN为
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