【新人教版高中数学选择性必修第一册课时作业】空间向量及其加减运算

空间向量及其加减运算

（45分钟100分）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.对于空间向量,有以下命题：

①单位向量的模为1,但方向不确定；

②如果一个向量和它的相反向量相等,那么该向量的模为0;

③若a//b,b//c,则a//c;

④若ABCD-ABCD为平行六面体,则京=D%’.

其中真命题的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

2.在平行六面体ABCD-A'B，CD中，能与向量心'相等的向量有（）

A.0个B.3个

C.6个D.9个

3.在空间四边形0ABC中,6k+京-4等于（）

A.OAB.ABC.OCD.AC

4.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中，下列各式中运算结果为向量A&的是

AB

①（八B+BC）+CG；

②（AAi+ADi）+I）iCi；

③（X5+丽）+菽i；

④（IX+?Oi）+箴］.

A.①③B.②④C.③④D.①②③④

5.（2013•成都高二检测）设A,B,C,D是空间不共面的四个点，且满足品•辰=0,

AD・AC=0,AD・AB=0,则4BCD的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.无法确定

二、填空题（每小题8分，共24分）

6.在正方体ABCD-ABCD中，向量表达式丽-的+&的化简结果是.

—♦—>—♦

7.在平行六面体ABCD-A'B'CD中，AB=a,AD=b,AA-c,则BD'=,

—>

A'C=.

8.化简:AB-AC+BC-BD-DA=.

三、解答题（9题,10题14分,11题18分）

9.如图，几何体ABCDEF-ABCDEF为正六棱柱，在顶点连接的向量中,

⑴与m相等的向量有哪些？

⑵而与B'D',AE,A'E'相等吗？

10.如图，已知空间四边形ABCD中，向量AB=a,AC=b,AD=c,若M为BC的中点,G

为4BCD的重心,试用a,b,c表示向量AG.

11.（能力挑战题）线段AB,AC,AD不共面，连接

BC,CD,DB,取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,如图所示,

试判断四边形EFGH的形状，并用向量的相关知识给

出证明.

答案解析

1•【解析】选D.①为真命题.模为1的向量叫单位向量，但方向不唯一;②为真命

题.相反向量的模相等，且方向相反，所以如果一个向量和它的相反向量相等，那

么该向量为零向量，模为0;③为真命题.平行向量的方向要么方向相同，要么方

向相反，具有传递性；④为真命题.AB与D'C'的方向相同，且大小相等，所以是相

等向量.

2.【解析】选B.相等向量的模相等，并且方向相同，所以，与AA'相等的向量有

BB；CC；DD；共3个.

3.【解析】选C.6k+M—CB=OB—CB=OB+&=&.

4.【解析】选D.①（而十员）+西一X+西一宿；

②（AX+AT51）+/*1=而+/充1=AG；

③（X5+丽）+氤1=AB.+菽1=宿；

④（而+不1）+及4=丽+瓦21=记.

5.【解析】选0.BC•BD=（AC-AB）・（AD-AB）=AC・AD-AC・AB-AB・AEH-AB-

AB2>0,同理而・DOO,CB-CD>0,所以ABCD是锐角三角形.

6.【解析】DDt-AB+BC

二D.-DC+BC

=BC+CD1=BD1.

答案:

7.【解析】BD-BA+AD+DD*

—>—>—>

=-AB+AD+AA--a+b+c.

A'C=A'A+AB+BC

二-AA'+AB+AD

=-c+a+b

=a+b-c

答案；-a+b+ca+b-c

8.【解题指南】根据向量的减法运算法则将品-辰化为鼻，根据加法运算将

一m—DA化为—BA即可解决.

【解析】原式=(CB+BC)-(而+亦)

=O-BA=-BA=AB.

答案:品

9•【解析】⑴与AB相等的向量有而,A'B',E'D'.

⑵由正六棱柱的性质可知，BD与B'D',AE,A'E'分别平行且相等，

，BD二B'D上AE二A'E'.

【举一反三】若本例条件不变，所求问题改为：与启平行的向量有多少个？

［解析］可知在顶点连接的线段中，与AD平行的有BC,B'C',A'D',F'E',FE共5

条.

根据平行向量的定义可知，与届平行的向量共有

5X2+1=11(个).

10.【解析】在ABCD中，注意到三角形重心的性质，

得届AD+辰=c+三血

3

=c+-(-DB+-DC)

322

=c+-(AB-AD+AC-AD)

3

=c+-(a+b-2c)

3

=-(a+b+c).

3

【拓展提升】用已知向量表示指定向量的方法

用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形.通过向量的平移等手段将指定

向量放在与已知向量有关的三角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向

量表示出来，然后转化为已知向量的线性式.

11.【解析】四边形EFGH是平行四边形.证明如下：

EH=EA+AH=-(BA+AD)BD,

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