2023年湖北省孝感市文昌高考数学一模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线C：5-5=1（4>0,人>0）的焦距为2c.点A为双曲线C的右顶点，若点A到双曲线C的渐近

a2b2

线的距离为』c,则双曲线C的离心率是（）

2

A.0B.6C.2D.3

2.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青

方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幕，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边

长为1,其中“正方形ABC。为朱方，正方形BEFG为青方”，则在五边形AGF/D内随机取一个点，此点取自朱方的概

率为（）

9

49

3.已知二次函数［（x）=f—瓜+。的部分图象如图所示，则函数g（x）="+f'（x）的零点所在区间为（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

4.如图，四边形A3CO为正方形，延长CO至E,使得DE=C£>,点P在线段CO上运动.设市=瓦

则1+>的取值范围是（）

DP

A.[1,2]B.[1,3]C.[2,3]D.[2,4]

5.若复数z=B（匕为虚数单位）的实部与虚部相等，则。的值为（）

2+z

A.3B.±3C.-3D.±6

6.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“■一”表示一个阳爻，表示一个阴爻）.若从含有两个及以上阳

爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）

嘲信“跚卜

犬修

■■

1123

A.-B.-C.—D.一

3234

x-y+l<0,

7.已知所为圆（x—iy+（y+l）2=l的一条直径，点M（x,y）的坐标满足不等式组＜2x+y+3»0,则磁.赤的

J.

取值范围为（）

"o1

A.万,13B.[4,13]

r7-

C.[4,12]D.-,12

22

8.双曲线二2=/的渐近线与圆（工-3）2+产=/（厂＞0）相切，则r等于（）

63

A.#B.2

C.3D.6

9.已知三棱柱ABC-A4G的所有棱长均相等，侧棱A4_L平面ABC,过AB1作平面a与平行，设平面a与

平面的交线为/,记直线/与直线AB,3C,CA所成锐角分别为a,d7,则这三个角的大小关系为（）

A.a>y>/3B.a-/3>y

C.y>(3>aD.a>0=y

10.已知。为坐标原点，角a的终边经过点尸（3,m）（加＜O）且sina=辿加，则sin2a=（）

10

4334

A.-B•一C・・一D.一一

5555

11.已知集合A={0,1,2,3},6=卜,=〃2-1,〃€力，P=Ac8,则P的子集共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

2

12.已知实数x,y满足三+丁"贝M+V—2,,2+,2-6%+7］的最小值等于（）

A.6^-5B.60-7C.76-V3D.9-672

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某种牛肉干每袋的质量M依）服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为N（2,b?）,

P（1.婚物2.1）=0.98.某旅游团游客共购买这种牛肉干loo袋，估计其中质量低于l.%g的袋数大约是袋.

14.已知平面向量2=（加,2）,力=（1,3）,且坂则向量2与石的夹角的大小为.

15.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，斜率为2的直线/与C的交点为A3,若|A/|+1BE|=5,则直线/的方

程为.

16.在正方体中，£为棱A4的中点，尸是棱4月上的点，且4尸=:F片，则异面直线所与BG

所成角的余弦值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=（2-x）e*+ax.

(I)已知x=2是/(x)的一个极值点，求曲线”X)在(OJ(O))处的切线方程

(H)讨论关于x的方程/(x)=alnx(aeR)根的个数.

18.(12分)已知函数/(x)=|2x-l|一卜+2|记(%)=卜+时一|无一时.

(1)解不等式/(%)>8；

(2)V%使得/(%)=g(X2)，求实数"?的取值范围.

x123nn

19.(12分)已知数列(｛%,｝满足^--+-一-+-__-+-•+-一-=T-

')2a｝-52a2-52%-52an-53

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)设数列」一的前〃项和为T“，证明：

[a„an+i]226

JT

20.(12分)如图，四边形ABC。中，ZADC=-,AD=AB=BC=2C£>,AE=EC,沿对角线AC将AACD

2

翻折成AACD',使得BD'=BC.

(1)证明：BE上CD'；

(2)求直线BE与平面A6。'所成角的正弦值.

21.(12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有

1-6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖

箱中装有2个红球与机(机22,meN*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，

若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同).

(1)若〃2=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;

(2)若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金1()0元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,

若商场希望X的数学期望不超过150元，求加的最小值.

22.(10分)若函数/0)=，一四7-如(加€夫)为奇函数，且x=/时/(x)有极小值/(%).

(1)求实数。的值与实数〃?的取值范围;

2

(2)若/(Xo)Z—-恒成立，求实数〃?的取值范围.

e

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由点到直线距离公式建立a,b,c的等式，变形后可求得离心率.

【详解】

ah_1

由题意440),一条渐近线方程为y=即区一冲=042+万=50

a~b~12sna~(c~—a~)1244211crr

—；—=—c•即------；------=-c,e—4e-+4=0，e=A/2•

c~4c4

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.

2.C

【解析】

首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.

【详解】

因为正方形ABC。为朱方，其面积为9,

五边形AGFID的面积为+SBGFE+^ADCI+^AIEF=37,

所以此点取自朱方的概率为以9.

故选:C

【点睛】

本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.

3.B

【解析】

由函数八刈的图象可知，0<八0)=。<1,式1)=1一》+。=0,所以1V6V2.

又/(x)=2x一瓦所以g(x)=e*+2x-Z),所以/(%)=廿+2>0,所以g(x)在R上单调递增，

又g(O)=l-4VO,g(l)=e+2-*>0,

根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0,1),

故选B.

4.C

【解析】

以A为坐标原点，以A3,A£)分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.

【详解】

以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形A3CD的边长为1,

则3(1,0),£(-1,1),设P(f,l)(0W),则Q,l)=x(l,0)+y(—l,l),所以/=%一丁，且y=l,

故尤+y=f+2e[2,3],

故选：C.

【点睛】

本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系,

是一道基础题.

5.C

【解析】

利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.

【详解】

z=]-bi=2-b-(2b+l)i又z的实部与虚部相等，

2+z5

:.b-2=2h+\,解得匕=一3.

故选:C

【点睛】

本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.

6.B

【解析】

基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.

【详解】

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的

基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，

31

所以，所求的概率P=：=^.

62

故选：B.

【点睛】

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.

7.D

【解析】

首先将磁•砺转化为记2只需求出用丁的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心T（l,-1）距离，数

形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为则亚•赤=（而+元）.（而+和）=

过T作直线x-y+l=O的垂线，垂足为8,显然MBWMTWMA，又易得A(-2,l),

|1-(-1)+1|372

所以加4=血_(_2)/+(_]_1)2=屈,TB=

2

--27

故ME.MF=MT-le[-,12].

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化

与划归的思想，是一道中档题.

8.A

【解析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.

【详解】

双曲线的渐近线方程为7=土'x,圆心坐标为(3,0).由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即「=

答案：A

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.

9.B

【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】

如图，D©=CG，G&=4G，设。为AG的中点，。|为GZ的中点,

由图可知过AB,且与BG平行的平面a为平面AB^,所以直线I即为直线AD,,

由题易知，ZD.AB,N^CB的补角，/"AC分别为。，［3,

设三棱柱的棱长为2,

在AqAB中，D1B=2底AB=2,叫=26,

c-8.(2南+"(2南_6

2x2x2石1010

在AO/C中，。£=而，BC=2,O[C=亚,

cosNQCB.(可+”(而匚656-石；

2x2x610"10

在AAAC中，CD1=4,AC=2,阴=26，

cosZDtAC=^==—,:.cosa=—,

'2A/555

cosa=cosp<cos/>:.a=/3>y.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.

10.C

【解析】

根据三角函数的定义，即可求出/〃=-1,得出P(3,-l),得出sine和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出结

果.

【详解】

根据题意，sina=/=———m,解得m——1,

金2+910

所以加=(3,-1),

诉凶•M3V10

所以sina=-------,cosa=-------，

1010

3

所以sin2。=2sinacosa=--.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.

11.B

【解析】

根据集合A中的元素，可得集合B,然后根据交集的概念，可得P,最后根据子集的概念，利用2"计算，可得结果.

【详解】

由题可知：A={0,1,2,3),B={x[x=1eA}

当77=0时，X=-1

当〃=1时，x=0

当“=2时，x=3

当〃=3时，x=8

所以集合B={x|x=/-1,〃eA}={-1,0,3,8}

贝！]P=Ac8={0,3}

所以P的子集共有2z=4

故选：B

【点睛】

本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P中有〃元素时，集合P子集的个数为2"，真子集个数为

2"-b非空子集为2"-1，非空真子集为2"-2,属基础题.

12.D

【解析】

设x=Jocose，y=sin。，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出.

【详解】

因为实数x,），满足;+R1,

设x=V^cos。，y=sin。，

.Jx2+y2-21+1x2+y2-6x+7H2cos20+sin:0-2|+|2cos2^+sin265/2cos+71=|-sin20\+

|cos30-60cos6+81,

cos2e_6应cose+8=（cos。-3应）2-10>0恒成立，

.--IX2+/-21+1X2+y2-6x+71=sin?O+cos?6-6&cos（9+8=9-6及cos6L9-60,

故则|/+》2-2|+*+9—6_¥+7]的最小值等于9_6&.

故选：D.

【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

根据正态分布对称性，求得质量低于1.9kg的袋数的估计值.

【详解】

1一098

由于〃=2,所以P[m<1.9）==0.01,所以10（）袋牛肉干中，质量低于19kg的袋数大约是100x0.01=1袋.

故答案为：1

【点睛】

本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.

【解析】

由近0-方），解得加=4,进而求出cosRB"],即可得出结果.

【详解】

解：因为北色一杨，所以（1,3）•（加一1,-1）=加一1-3=0,解得加=4,所以85（叫=-广，，（；'?2=立

\42+22-V12+322

7T

所以向量“与5的夹角的大小为「

都答案为：5

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题.

15.2x-y-2-0

【解析】

设直线/的方程为y=2x+f,4（%,,）,3（%,为），联立直线/与抛物线c的方程，得到A,8点横坐标的关系式,

代入至“4尸|+忸耳=4中，解出/的值，即可求得直线/的方程-

【详解】

设直线l:y=2x+t,,yj,％)•

由题设得

F(1,O),^\AF\+\BF\=X1+X2+2,

由题设可得尤i+々=3.

y=2x+t,r/、，

由＜,,4可得4f+4«—1)%+厂=0,

贝%々=1一，，

从而l-r=3,得r=-2,

所以/的方程为y=2x-2,

故答案为：2x—y-2=0

【点睛】

本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

16.叵

5

【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得加，西■.由空间向量的夹角求法即可求得异

面直线EF与BG所成角的余弦值.

【详解】

根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系:

设正方体的棱长为1,则E(0,0,30,11,8(1,0,0),G(l,1,1).

所以前=西=(0,1,1).

EF\=

EF•BQVw

所以cos<EF,BC\>=亨,

xV2

4

所以异面直线EF与BC,所成角的余弦值为粤,

故答案为：叵

5

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)(e2+l)x-y+2=O；(II)见解析

【解析】

(I)求函数的导数，利用x=2是/(%)的一个极值点，得/(2)=0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求

解即可；

(II)利用参数法分离法得到。="0=叵出，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形

x-lnx

结合转化为图象交点个数进行求解即可.

【详解】

(I)因为/(x)=(2-x)e、+公，则/'(x)=(l-x)e*+a,

因为x=2是4X)的一个极值点，所以/(2)=0,即。-2)e2+a=0,

所以a=e?,

因为/(0)=2,r(0)=/+1,

则直线方程为k2=卜2+1卜，即(e2+l)x-y+2=0；

(II)因为/(x)=alnx,所以(x-2)e'+alnx-ar=0,

所以(x-2)e*=—a(lnx—x),设g(x)=lnx-x(x>0),则g(x)=，-l(x>0),

所以g(x)在(0,1)上是增函数，在。,内)上是减函数，

故g(x)<g⑴=一1<。,

(冗_2)/

所以a=〃(元)=，所以〃(x)=

x-\nx

2?II

设，〃(九)=XH----lnx-1,贝h"'(x)=l——=—(x-2)(x+l),

所以m(x)在(0,2)上是减函数，(2,物)上是增函数,

所以m(x)>m(2)=2-ln2>0,

所以当0<x<l时，/?'(%)<0,函数〃(x)在(0,1)是减函数，

当%>1时，〃'(x)>0,函数〃(x)在。,内)是增函数，

因为0<x<l时，/i(x)<0,=〃(2)=0,

所以当a<-e时，方程无实数根，

当-e<a<0时，方程有两个不相等实数根，

当。=一e或时，方程有1个实根.

【点睛】

本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.

18.(1)(-co,—5)U(11,+00)；(2)加4一|■或7W>

【解析】

(1)分段讨论得出函数f(x)的解析式，再分范围解不等式，可得解集；

(2)先求出函数/(X),g(x)的最小值，再建立关于加的不等式，可求得实数〃，的取值范围.

【详解】

3—x,x«-2

(1)因为/(幻=|21|一卜+2|=<—3x—1,—2<x<—(0,0),

x—3,x一

2

所以当xW—2时，3-x>8=>x<-5；

当—2<x<，时，-3%-1>80%<-3,.・.无解;

2

当了之不时，%-3>8=>%>11；

2

综上，不等式的解集为（F,-5）口（11,故）；

3—x,尢<—2

5

(2),/f(x)=<-3x-1,-2<xv/./(x)>

2

x—3,xN一

2

又；g(x)=|x+，”一卜一同>-2|nj|,二一2同4-g..,.同>：,

5

m<——或m>—.

44

【点睛】

本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.

19.（1）。“=士O（2）证明见解析

2

【解析】

123nn

（1）N-7+7；--+---+•-+--=T,①当〃22时，

26一52a2—52a,-52an-53

123n—1n—1,,

商行+干+汇r…+不二？=亍,②两式相减即得数列｛叫的通项公式；⑵先求出

144(11)

-----=石一赤—3rza——oh再利用裂项相消法求和证明.

anan+l(3〃+5)(3〃+8)313〃+53n+8)

【详解】

123nn

(i)解.------+-------+-------+…+-------,①

吟2^-52g-52a,-52a,-53

当〃=1时，q=4.

123n-\n-\

-------------4----------------+---------------+・,・+----------------=-----------

2q—52/—52%—52。〃_]-53

由①-②，得%—-（九22）,

因为q=4符合上式，所以％=即产.

144（11>

（2）IiF明.------=-----------------=----------------

*anan+i（3〃+5）（3〃+8）3（3〃+53〃+8,

4a2。2〃3anan+\

4

=­X1__

383〃+8）

因为。＜『二所以

3〃+811226

【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

出

20.(1)见证明；(2)

T

【解析】

(D取8'的中点K,连EK,BK.可证得EK±CD',BK1CD',于是可得CDrl平面BKE,进而可得结论成

立.(2)运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值.

【详解】

(1)证明：取CD'的中点K,连EK,BK.

B

VAE=EC,

:.EKIIAD'.

又AD'_LCD',

:.EKVCD'.

在ABC。'中，BC=BD',

：.BKLCD'.

又EKcBK=K,

CD'，平面BKE,

又BEu平面BKE,

ABELCD'.

(2)解法1：取AD'的中点F,连结ERB/，

VAE=EC,

:.EF//CD',

又CDUAD',

:.AD'VEF.

又由题意得❷ABD'为等边三角形，

AAD,±BF,

VBFcEF=F,

二AU，平面BEF.

作EHLBF,则有团，平面ABD,

:.NE8F就是直线BE与平面所成的角.

设C£>'=1,则族=’,

2

在等边❷儿?。'中，BF=BX2=6

2

故BE：）与二平

又在-ABC中，AB=BC=2Z=亚,

在❷EBF中,由余弦定理得cos/EBF

sinNEBF=—

6

，直线与平面ABD'所成角的正弦值为—.

6

解法2：由题意可得E8,平面AC。'，建立如图所示的空间直角坐标系Epz.

不妨设CQ=1,则在直角三角形AC。'中，可得AD'=2,AC=J^,

作。'GJ_AC于G,则有平面几何知识可得。'G=25,EG=EC-CG=^-

510

\

,0.

/

设平面的一个法向量为m=(x,y,z),

一E4近275..

m-AD=------y+-------z=0屈

55但x----------y

由＜11

m--A磊B=---而--x-\---由---y=0J.z=-2y

22

令y="T,则得用=(一后,而,一2VHy

、

又丽=,0,0/,

设直线B£与平面A6D所成的角为仇

贝"小值国卜靠(邛

所以直线班与平面A3。所成角的正弦值为且.

6

【点睛】

利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量.解

题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取

其余角就是斜线与平面所成的角.求解时注意向量的夹角与线面角间的关系.

21.(1)；⑵9.

【解析】

(1)设顾客获得三等奖为事件A,因为顾客掷得点数大于4的概率为g,顾客掷得点数小于4,然后抽将得三等奖的

4

概率为不，求出P(A)；

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为100,300,400,相应求出概率，求出期望，化简得

E(X)奏+200/+2200根+1600…100200m2+2200m+1600一、_

,由题意可知,E（X）<150,即——+-------------77------；-<150,求

3（m+2）（m+l）'）33（7w+2）（m+l）

出m的最小值.

【详解】

(1)设顾客获得三等奖为事件A,

因为顾客掷得点数大于4的概率为g,

2C264

顾客掷得点数小于4,然后抽将得三等奖的概率为言—x—

31515

143

所以P(A)=§+石=二；

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为10(),300,400,

且P(X=100)=LM立」+

33C,t233(根+2)(，〃+l)

?ClCl8m

P(X=300)=-x^r^=

3C〃+23(m+2)(m+l)*

?C24

P(X=400)=-x-^=

3C5+23(加+2)(m+1)'

所以随机变量X的数学期望,

18，ns八4

£(X)=100x+300x----------------+400x

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