第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析10

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析§7-1动态电路的方程及其初始条件§

7-2一阶电路的零输入响应§

7-6二阶电路的零状态响应和全响应§

7-3一阶电路的零状态响应§

7-4一阶电路的全响应§

7-5二阶电路的零输入响应§

7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应§

7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应1、掌握一阶电路的零输入响应分析思路；章节知识要点:2、掌握一阶电路的零状态响应分析思路；3、掌握一阶电路的全响应分析（三要素法）思路。一、名词术语:1、动态元件：元件的电压和电流的约束关系是导数（微分）或积分的关系。2、动态电路：含有动态元件的电路称为动态电路。§7-1动态电路的方程及其初始条件3、一阶电路：能够用一阶微分方程描述的动态电路。通常含有一个动态元件。4、二阶电路：能够用二阶微分方程描述的动态电路。通常含有两个动态元件。5、时域分析是指在时间域内（即以时间为自变量），研究系统在一定输入信号作用下，其输出信号随时间变化的情况。当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。6、过渡过程7、稳定状态指系统在某一典型信号输入作用下，当时间趋于无穷大时的电路状态。8、换路：电路结构或元件参数变化引起的电路变化。+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路（1）S未动作前（原稳态）iC

=0,

uC

=0i

C=0,uC=Us二、动态电路基本特征：（电容电路）iC+–uCUsRC

稳态分析（开关改变前后对应两个稳态）S+–uCUsRCiC

t=0（2）S接通电源后很长时间（新稳态）S+–uCUsRCiC初始状态原稳态过渡状态新稳态t1USuc/it0i

当动态电路的结构或元件的参数发生变化时（例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等）可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，而这种动态电路的电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。工程上称为过渡过程（动态响应或瞬态响应或暂态响应）。三、过渡过程产生的原因（条件）（1）电路内部含有储能元件L、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成（2）电路结构、状态发生变化支路接入或断开，参数变化换路（1）动态电路换路后产生过渡过程，描述电路的方程为微分方程，动态电路中的电压、电流仍然受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约束。

。iC+–uCUsRC四、动态电路的分析方法：——经典法（2）求出微分方程的解，从而得到所求变量。1、t=0+与t=0-

的概念换路在t=0时刻进行0-

换路前一瞬间（最终时刻）

0+

换路后一瞬间（最初时刻）五、动态电路方程的初始条件电路中的u，i及其各阶导数在t=0+时的值。0-0+0tf(t)初始条件（初始值）：电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件（电阻的电压和电流、电容电流、电感电压等）。

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)qc(0+)=qc

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)2、换路定律：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。或：在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变——换路定律（换路定则）若一电容的uC(0-)=UO，根据换路定律，则有uC

(0+)=uC(0-)=UO，则可认为此电容在换路的瞬间，相当于一个电压值为UO的电压源；——替代定理的应用

同理，对uC(0-)=0的电容，根据换路定律，则有uC(0+)=uC(0-)=0，则可认为此电容在换路的瞬间，相当于短路。电容电路换路定律应用思路：电容电路初始值求取练习：(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=10V*40K/（10K+40K）=8V(3)由0+等效电路求

iC(0+)iC(0--)=0iC(0+)例：+-10ViiC+uC-S10k40k求

iC(0+)iC(0-)=00-等效电路（换路前的稳态）ic(0-)uc(0-)ic(0+)（换路后的瞬间）若有一电感iL(0-)=IO，根据换路定律，则有iL(0+)=iL(0-)=IO，则可认为此电感在换路的瞬间，相当于一个电流值为IO

的电流源；——替代定理应用

同理，对iL(0-)=0的电感，根据换路定律，则有iL(0+)=iL(0-)=0，则可认为此电感在换路的瞬间，相当于开路。电感电路换路定律应用思路：iL+uL-L10V1

4

iL(0+)=iL(0-)=2A例：t=0时闭合开关S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS1

4

由0+电路求uL(0+)：+uL-10V1

4

2A先求iL(0-)由换路定律:0-等效电路0+等效电路电感电路初始值求取练习：uL(0+)iL(0-)求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态），画0-等效电路，求出uC(0-)

和iL(0-)。2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。（2）若uC(0+)

或iL(0+)

不为零，电容用电压源替代；

电感用电流源替代。电压源（电流源）取0+时刻值，其方向同原标定的电容电压、电感电流的参考方向一致。电容相当于开路；电感

相当于短路。（1）若uC(0+)

或iL(0+)

为零，电容用短路替代；电感用开路替代。iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=–RIS求iC(0+),uL(0+)0+等效电路uL+–iCRISRIS+–例：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC+–uLiLC+–uCRISiC0-等效电路1.求uC(0-)和iL(0-)iL(0-)=ISuC(0-)=RIS2.求uC(0+)和iL(0+)3.求iC(0+)和uL(0+)电容、电感混合电路初始值求取练习iRuC(0-)iL(0-)+uL(0+)-iC(0+)§7-2一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应已知uC

(0-)=U0iCS(t=0)+–uRC+–uCR

uR=RiC零输入响应：UO（RC放电电路）换路后，动态电路中无外施激励（独立电源为零）

，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应。一阶微分方程tU0uC0iCS(t=0)+–uRC+–uCR令

=RC

,称

为一阶电路的时间常数。I0ti0电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积。

uR=RiCtU0uC0iCS(t=0)+–uRC+–uCR时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大过渡过程时间的长

小

过渡过程时间的短电压初值一定：R

大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C

大（R不变）W=1/2CUO2

储能大工程上认为,经过3

-5

,过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%(0.368UO)所需的时间。t0

2

3

4

5

uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.0067U00…ReqC

=ReqC时间常数

的求解：R即Req，是电路换路后从动态元件两端看进去的等效电阻。能量关系：C不断释放能量被R吸收,直到全部消耗转换为热能。设uC(0+)=U0电容放出能量电阻吸收（消耗）能量uCR+-C例1：电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。

t=0闭合开关，求t>0的电容电压和电容电流。

解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到

连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其电阻值为

得到图(b)所示电路，其时间常数为

Req用与iC(t)同样数值的电流源代替电容（替代定理），用电阻并联的分流公式求得iR(t)二、RL电路的零输入响应iL

(0-)=iL

(0+)=iLS(t=0)USL+–uLRR1令

=L/R,称为一阶RL电路时间常数能量释放慢

大-RI0uLtI0ti0注意：时间常数

的求解：

=L/Req=L/(R1//

R2)+-R1R2LR1R2L举例:ReqiL

(0+)=iL(0-)=10V/R=1AuV

(0+)=-10000V

造成V损坏。例：iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10Vt=0时,打开开关S，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V分析：总结：1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=ReqC

,RL电路

=L/Req3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。零状态响应：换路后电路中动态元件初始能量为零，电路在外施激励作用下产生的响应。列t≥0时刻方程：iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0§7-3一阶电路的零状态响应

非齐次线性常微分方程解分两部分：齐次方程的通解非齐次方程的特解一、

RC电路的零状态响应（电容充电过程）强制分量与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量。变化规律由电路参数和结构决定齐次方程的通解：特解（强制分量）=US：通解（自由分量，暂态分量，瞬态分量）iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0=uC(∞)

iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0能量关系:电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US例：电路如图

(a)所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0

打开开关，求t

0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以及

电阻电流i1(t)。uC(∞)

分析：解：

电路的时间常数为：

uC(∞)

为以电容两端为端钮的一端口网络的开路电压Req

为以电容两端为端钮的一端口网络去源后的等效电阻

当电路达到新的稳定状态时，电容相当于开路

为了求得i1(t)，根据图（a）所示电路，用KCL方程得到i1(t)二、

RL电路的零状态响应iL(0-)=0求:电感电流iL(t)已知tuLUStiL00iLS(t=0)US+–uRL+–uLR例：电路如图

(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。

t=0闭合开关，求t

0的电感电流和电感电压。

iL(∞)

解：iL(∞)为以电感两端为端钮的一端口网络的短路电流Req

为以电感两端为端钮的一端口网络去源后的等效电阻:24Ω//12Ω=8Ω

当电路达到新的稳定状态时，电感相当于短路§7-4一阶电路的全响应全响应：一、

一阶电路的全响应及其表达形式变换iS(t=0)US+–uRC+–uCR稳态解uC'=US全解为：uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齐次方程

=RC暂态解1、全响应的解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

–US由起始值定A由储能元件的初始储能和外施激励（独立电源）共同引起的响应。强制分量(稳态分量)自由分量(瞬态分量)uC"-USU0瞬态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0（1）

全响应=强制分量(稳态分量)+自由分量(瞬态分量)2、全响应全解的两种表达方式（2）全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应零状态响应iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiS(t=0)+–uRR等效图示例：零输入响应零状