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文档简介
2023年高考文科数学模拟试卷及答案(四)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.已知集合A={xx2-X-2<0},B={x|y=ln(1-|x)},则AG([
RB)=()
A.(1,2)B.[1,2)C.(-1,1)D.(1,2]
2.已知命题p:若a,b是实数,则a>b是a2>b2的充分不必要条
件;命题q:'勺x£R,x2+2>3x”的否定是"Vx£R,x2+2<3xw,则下
列命题为真命题的是()
A.pAqB.]p/\qC.pA-'qD.-'pA^q
1V3.
3.已知i是虚数单位,若复数2二3可1,则z2+z+l的值为()
A.-1B.1C.0D.i
4,设向量W=(2,1),b=(0,-2).则与W+2E垂直的向量可以是
()
A.(3,2)B.(3,-2)C.(4,6)D.(4,-6)
22
xy
5.已知双曲线而一鼠二1上有一点M到左焦点Fi的距离为18,则
点M到右焦点F2的距离是()
A.8B.28C.12D.8或28
2
6.等比数列{aj的各项均为正数,且ai+2a2=4,a4=4a3a7,则a5=()
11
A.亘B.正C.20D.40
7.现有编号为①、②、③的三个三棱锥(底面水平放置),俯视图分
别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三
棱锥的所有编号是()
图1图2图3
A.①B.①②C.②③D.①②③
141
8.已知a>0,b>0,a+b=gW,则的最小值为()
A.4B.2亚C.8D.16
9.如图所示是一个算法程序框图,在集合A={x|-IOWXWIO,xe
R)中随机抽取一个数值作为x输入,则输出的y的值落在区间[-5,
3]内的概率为()
/三/
10.已知函数f(x)=sin(mx+巾)(u)>0)的图象关于直线x=4对称
16
且f(-2)=0,如果存在实数Xo,使得对任意的X都有f(Xo)Wf
16
(x)Wf(xo+子),则3的最小值是()
A.2B.4C.6D.8
22
11.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆彳+年=1上的一个动点,点
A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为()
A.5B.4C.3D.2
12.已知函数f(x)=x-ex(e为自然对数的底数),g(x)=mx+l,
(m£R),若对于任意的2],总存在x°£[-1,1],使得
成立,则实数的取值范围为()
g(x0)=f(xi)m
A.(-8,-e]U[e,+8)B.[-e,e]
C.(-8,-2-白U[-2+p+8)D.[-2-p-2+-]
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.已知点A(L0),过点A可作圆x2+y2+mx+l=0的两条切线,则
m的取值范围是.
y*Cx-ly_
14.已知实数x,y满足卜《3,则受的取值范围是.
x+y》2
15.如图所示,直四棱柱ABCD-AiBiGDi内接于半径为«的半0,
四边形ABCD为正方形,则该四棱柱的体积最大时,AB的长
为•
16.意大利数学家列昂那多・斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数
列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,即F
(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n23,n£N*),止匕
数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此
数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn},b2017=•
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.已知数列国}为等差数列,其中az+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{aj的通项公式;
(2)记bn——,设{bn}的前n项和为Sn・求最小的正整数n,使
anan+l
得S>空弛
付n2017,
18.已知某企业的近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下
面的折线图所示:
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高?
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模
式估测第3年8月份的利润.
月份x1234
利润V(单位:百万4466
元)
E(Xj-x)(y「y)£Xiyj-nxy
相关公式:=11nZ=JTT__,=-x.
22
£(x「x)2£xi~n(x)
i=li=l
19.如图,直三棱柱ABC-AiBiJ中,AC±BC,AC=BC=yAAi=l,D是
棱AAi上的点,DCilBD.
(I)求证:D为AAi中点;
(H)求直线BCi与平面BDC所成角正弦值大小.
Xv
20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆C:T+T=1
的一个焦点重合,点A(xo,2)在抛物线上,过焦点F的直线I交抛
物线于M、N两点.
(1)求抛物线C的方程以及|AF|的值;
.-----♦
(2)记抛物线C的准线与x轴交于点B,若MF"FNJBM12+1BN12=40,
求实数人的值.
21.已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(aGR,e为自然对数
的底数,e=2.7181281.„).
(1)当a=-l时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)仅有一个极值点,求a的取值范围.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中,直线I的参数方ly=程2+ts是inQ°(t为参
数),以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲
94
2
线c的极坐标方程为p=7_c;s2e.
(1)求曲线c的普通方程;
(2)若直线I与曲线C交于不同两点A,B,求tana的取值范围.
[选修4-5]
23.已知函数f(x)=|2x-1|+2x-3|,x£R.
(1)解不等式f(x)W5;
(2)若不等式m2-m<f(x),VxGR都成立,求实数m的取值范
围.
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.已知集合人=仅仅2-*-2V0},B={x|y=ln(1-|x|)},则AG([
RB)=()
A.(1,2)B.[1,2)C.(-1,1)D.(1,2]
【考点】1H:交、并、补集的混合运算.
【分析】求出集合A中不等式的解集,确定出集合A,求出集合B中
函数的定义域,确定出集合B,找出R中不属于B的部分,求出B的
补集,找出A与B补集的公共部分即可.
【解答】解:由集合A中的不等式x2-x-2V0,解得:-1VXV2,
;.A=(-1,2),
由集合B中的函数y=ln(1-|x|),得到即集VI,
解得:-lVxVl,
B=(-1,1),又全集R,
.*.CRB=(-8,-1]u[1,+8),
则An(CRB)=[1,2).
故选B
2.已知命题p:若a,b是实数,则a>b是a2>b2的充分不必要条
件;命题q:Tx£R,x2+2>3x”的否定是"Vx£R,x2+2<3xw,则下
列命题为真命题的是()
A.pAqB.^pAqC.pA-'qD.-'pA^q
【考点】2E:复合命题的真假.
【分析】分别判断出p,q的真假,再判断出复合命题真假即可.
【解答】解:命题P:若a,b是实数,则a>b是a2>b2的充分不必
要条件;是假命题;
比如:a=l,b=-2,
勺x£R,x2+2>3x"的否定是"Vx£R,x2+2^3xw,
故命题q:"3xGR,x2+2>3x”的否定是"Vx£R,x2+2V3x”是假命题,
故「pA「q是真命题,
故选:D.
3.已知i是虚数单位,若复数则z2+z+l的值为()
A.-1B.1C.0D.i
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】先求出Z2的值,然后代入Z2+Z+1计算.
【解答】解:i,
.2,1.73.^21V3.31\[3.
••z=(工F);不亍丁方丁》
贝!Jz2+z+l=-y--i-1-Hy-i+l=O.
故选:C.
4.设向量4(2,1),工(0,-2).则与1+2芯垂直的向量可以是()
A.(3,2)B.(3,-2)C.(4,6)D.(4,-6)
【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】求出,+2b=(2,-3),由此利用向量垂直的性质能求出与'+2b
垂直的向量的可能结果.
【解答】解:..•向量三(2,1),b=(0,-2).
—•—♦
a+2b=(2,-3),
(2,-3)・(3,2)=6-6=0,
—♦—•
.,.与a+2b垂直的向量可以是(3,2).
故选:A.
22
xy
5.已知双曲线元方=1上有一点M到左焦点Fi的距离为18,则点M
到右焦点F2的距离是()
A.8B.28C.12D.8或28
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】求得双曲线的a,b,c,运用双曲线的定义,可得||1\/^1|-
|MF2||=2a=10,解方程可得所求值,检验M在两支的情况即可.
22
xy1庐”我
【解答】解:双曲线而一的a=5,b=3,c==,
由双曲线的定义可得IIMF/-IMF2I|=2a=10,
即为118-|MF2||=10,解得|MF2I=8或28.
检验若M在左支上,可得|MFi|2c-a=a-5,成立;
若M在右支上,可得|MFi|2c+a="'%+5,成立.
故选:D.
6.等比数列63的各项均为正数,且ai+2a2=4,a42=4a3a7,则a5=()
A.当B.表C.20D.40
【考点】8G:等比数列的性质.
【分析】根据通项公式列方程组解出首项和公比,再计算as.
【解答】解:设公比为q,则q>0,
+2a।Q—4
由题意得:26f26,
q_4alqa】q
a1=2
解得_1as=2X=,
q=T
故选A.
7.现有编号为①、②、③的三个三棱锥(底面水平放置),俯视图分
别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三
棱锥的所有编号是()
图1图2图3
A.①B.①②C.②③D.①②③
【考点】L7:简单空间图形的三视图.
【分析】根据题意,画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图,判断
是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可.
【解答】解:编号为①的三棱锥,其直观图可能是①,
⑦
其侧棱VC,底面ABC,.•.侧面VAC_L底面ABC,满足条件;
编号为②的三棱锥,其直观图可能是②
其侧面PBC_L平面ABC,满足条件;
编号为③的三棱锥,其直观图可能为③,
其中不存在侧面与底面互相垂直的情况.
综上,满足题意的序号是①②.
故选:B.
I1I9
8.已知a>0,b>0,a+b=—则的最小值为()
2近
A.4B.C.8D.16
【考点】7F:基本不等式.
19
【分析】先求出ab=l,从而求出:看的最小值即可.
【解答】解:由a+b=¥f号,有ab=l,
贝*哈%=2亚,
故选:B.
9.如图所示是一个算法程序框图,在集合A={x|-IOWXWIO,xG
R)中随机抽取一个数值作为x输入,则输出的y的值落在区间[-5,
3]内的概率为()
【考点】EF:程序框图.
【分析】可得x的取值共21中可能,由程序框图可得x共17个,由
概率公式可得.
【解答】解:集合A={x|-IOWXWIO,x£R}中随机地取一个数值共
有21种可能,
x+3x<0
再由程序框图可知y=x-5x>。,
0x=0
要使y值落在区间[-5,3]内,需x=0或{其或{H_543,
解得x=0,或x=-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,x=l,2,
3,4,5,6,7,8,共17个,
17
•••所求概率P=元y0.8.
故选:A.
71
10.已知函数f(x)=sin(u)x+4))(u)>0)的图象关于直线*=正对称
冗一
且f(-正)=0,如果存在实数xo,使得对任意的x都有f(xo)Wf
K
(x)Wf(Xo+彳),则U)的最小值是()
A.2B.4C.6D.8
【考点】HW:三角函数的最值;H6:正弦函数的对称性.
71
【分析】由题意直线x=是对称轴,对称中心为(-而,0),根据三
角函数的性质可求U)的最小值.
JT
【解答】解:函数f(x)=sin(UJX+巾)(u)>0)的图象关于x=正对称
且f(-强=0,
兀71兀3兀兀
「•3正+。=1<71+〒…①,-3正+4)=klL.•②,3X0-+9W亏+2kn且
/、兀C
(3XO+4))三--+2kn...(3)
冗
由①②解得a)=4,4)=kn+-^~,(kez)
兀
当k=0时,u)=4,巾=彳,③成立,满足题意.
故得U)的最小值为4.
故选B.
yx
11.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆才+T=1上的一个动点,点
A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为()
A.5B.4C.3D.2
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】根据椭圆的方程,算出它的焦点坐标为B(0,-1)和B'
(0,1).因此连接PB。AB',根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+
(2a-lPB'1)=4+(|PA|-|PB'|).再由三角形两边之差小于第三边,
得到当且仅当点P在AB'延长线上时,|PA|+|PB|=4+|AB'|=5达到最
大值,从而得到本题答案.
y2x2
【解答】解:•••椭圆彳+玄=1,
,焦点坐标为B(0,-1)和夕(0,1),
连接PB'、AB',根据椭圆的定义,
得|PB|+|PB'|=2a=4,可得|PB|=4-|PB'|,
因此|PA|+|PB=|PA|+(4-IPB'I)=4+(|PA-|PB'|)
|PA|-|PB'||AB'|
A|PA|+|PB|^2a+|AB'|=4+l=5.
当且仅当点P在AB,延长线上时,等号成立.
综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.
故选:A.
12.已知函数f(x)=x-ex(e为自然对数的底数),g(x)=mx+l,
(m£R),若对于任意的2],总存在x°£[-1,1],使得
g(xo)=f(xi)成立,则实数m的取值范围为()
A.(-8,-e]U[e,+8)B.[-e,e]
C.(-8,-2-U[-2+~,+8)D.[-2-p-2+-]
【考点】3R:函数恒成立问题.
【分析】利用导数求出函数f(x)在[-1,1]上的值域,再分类求出
g(x)在[-1,1]上的值域,把对于任意的xi£[-1,1],总存在xo
e[-l,1],使得g(xo)=f(xi)成立转化为两集合值域间的关系
求解.
【解答】解:由f(x)=x-ex,得f(x)=1-ex,
当x£[-l,0)时,fz(x)>0,当乂£(0,1]时,f(x)<0,
/.f(x)在[-1,0)上为增函数,在(0,1]上为减函数,
Vf(-1)=-1-pf(0)=T,f(2)=1-e.
,f(x)在[-L1]上的值域为[1-e,-1];
当m>0时,g(x)=mx+l在[-1,1]上为增函数,值域为[1-m,
1+m],
要使对于任意的xie[-1,1],总存在xo£[-1,1],使得g(x0)
=f(xi)成立,
则[1-e,-l]c[1-m,1+m],
(1irrC1-e
解得m^e;
当m=0时,g(x)的值域为{1},不合题意;
当m<0时,g(x)=mx+l在[-1,1]上为减函数,值域为[1+m,1
-m],
对于任意的XiG[-1,1],总存在xO£[-1,1],使得g(xo)=f(xi)
成立,
则[1-e,-l]c[1+m,1-m],
(l+irr<l-e
解得mW-e.
11-m〉-1'
综上,实数m的取值范围为(-8,-e]U[e,+8).
故选:A.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.已知点A(l,0),过点A可作圆x2+y2+mx+l=0的两条切线,则
m的取值范围是(2,+8).
【考点】J7:圆的切线方程.
【分析】过点A可作圆x2+y2+mx+l=0的两条切线,即为A在圆外,
把已知圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标和半径r,列出关于
2
m的不等式,同时考虑4-1大于0,两不等式求出公共解集即可得
4
到m的取值范围.
2
【解答】解:把圆的方程化为标准方程得:(X+5)2+丫2=4一1,所以
____乙4
IDC2-
—/mv
圆心坐标为(-2,0),半径同丁工
由题意可知A在圆外时,过点A可作圆x2+y2+mx+l=0的两条切线,
2
所以d>r即l+m+l>。,且以-l>0,解得:m>2,
4
则m的取值范围是(2,+8).
故答案为:(2,+8).
VCx-1y__1_2_
14.已知实数x,y满足卜43,则■的取值范围是[3可
x+y》2
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,再由会的几何意义,即可行域内的
动点与定点0(0,0)连线的斜率求解.
【解答】解:由约束条件,x<3作出可行域如图,
x+y)2
会的几何意义为可行域内的动点与定点0(0,0)连线的斜率,
联立方程组求得A(3,-1),B(3,2),
又卜0人二?,koB=y-
・•.(的取值范围是[=,1].
故答案为:[专1乳9
15.如图所示,直四棱柱ABCD-AiBiCiDi内接于半径为«的半0,
四边形ABCD为正方形,则该四棱柱的体积最大时,AB的长为2.
命
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】设AB=a,BBi=h,求出a2=6-2h2,故正四棱柱的体积是
V=a2h=6h-2h3,利用导数,得到该正四棱柱体积的最大值,即可得
出结论.
【解答】解:设AB=a,BBi=h,
贝0B=^a,连接OBi,0B,贝OB2+BBI2=OBI2=3,
2
a_+h2=3,
2
/.a2=6-2h2,
故正四棱柱的体积是V=a2h=6h-2h3,
"=6-6h2,
当OVhVl时,Vz>0,lVh<\"时,Vz<0,
...h=l时,该四棱柱的体积最大,此时AB=2.
故答案为:2.
16.意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数
列":1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,即F
(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n23,n£N*),lit
数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此
数列被3整除后的余数构成一个新数列{bj,b?oi7=1.
【考点】F4:进行简单的合情推理.
【分析】由题意可得数列从第三项开始,后一项为前两项的和,再分
别除以3得到一个新的数列,该数列的周期为8,即可求出答案.
【解答】解:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,
3779...9
此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn},
则{bn},1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,
其周期为8,
故b2017=b227x8+l=bi=l,
故答案为:1
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.已知数列{aj为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
2
(2)记设{bn}的前n项和为Sn.求最小的正整数n,使
anan+l
付,n2017,
【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.
【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,运用等差数列的通项公式
可得首项和公差的方程,解方程可得首项和公差,进而得到通项公式;
2211
(2)求得1京7=⑦-1)(291)=不F-而「运用数列的求和方法:
裂项相消求和,再解不等式,即可得到所求n的最小值.
【解答】解:(1)设等差数列{aj的公差为d,
依a2+a3=8,a5=3a2>
‘2a1+3d=8
>
有]a1+4d=3a1+3d
解得ai=l,d=2,
从而{an}的通项公式为an=2n-l,n€N*,
/八E、I,_2211
(2)因为bn=anan+「(2n-l)(2n+l)=2n-l-2n+「
所以Sn=(K)+普蒋)+…+(2n'氏)
=1'2n+l,
口2n+l2017,
解得n>1008,
故n的最小值为1009.
18.已知某企业的近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下
面的折线图所示:
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高?
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模
式估测第3年8月份的利润.
月份x1234
利润y(单位:百万4466
元)
z**
£n——n—
ayb
£(Xi-x)(y「y)£XjyjFxy
相关公式:~ZT=-X.
£(x「x)之£Xj-n(x)
i=li=l
【考点】BK:线性回归方程.
【分析】(l)结合图象读出结论即可;(2)根据图象累加判断结论即
八Z*.
可;(3)分别求出对应的系数,13的值,代入回归方程即可.
【解答】解:(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.…
(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),...
第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元),…
第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元),...
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.…
2222
(3),.•K=2.5,y=5,1+2+3+4=30,1X4+2X4+3X6+4X6=54,
,律二9■咨5午
人30-4X2.52
.第
••5-2.5X8=3,・・・
•••y=0.8x+3,・・・
当X=8时,k88X8+3=9.4(百万元),
估计8月份的利润为940万元.…
19.如图,直三棱柱ABC-AiBiCi中,AC±BC,AC=BC=yAAi=l,D是
棱AAi上的点,DCilBD.
(I)求证:D为AAi中点;
(H)求直线BCi与平面BDC所成角正弦值大小.
【考点】Ml:直线与平面所成的角;LX:直线与平面垂直的性质.
【分析】(I)由已知可得AC,BC,CCi两两互相垂直,分别CA、CB、
CCi所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,结合DJ_LBD,
利用向量垂直的坐标运算求得D的竖坐标,可得D为AAi的中点;
(H)求出面BDC的法向量,利用向量法能求出直线BCi与平面BDC
所成角正弦值.
【解答】证明:(I)由已知可得AC,BC,CCi两两互相垂直,分别
以CA、CB、CCi所在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
VAC=BC=1AAi=l,D是棱AAi上的点,
AD(1,0,h),Ci(0,0,2),B(0,1,0),Bi(0,1,2),
DC1=(-1,o,2-h),BD=(1,-1,h),
VDCi±BD,.•.DC[・BD=0,得-i+h(2-h)=0,解得h=l,
.\D为AAi的中点;
解:(II)BC1=(0,-1,2),
—♦
设面BDC的一个法向量为"=(x,y,z),
n•CB=y=0
则i;a=x+z=(r取x=L得=(L。,-1),
设直线BJ与平面BDC所成角为&
G•西|-2_VTo
则皿=而鬲产赤5・
直线BCi与平面BDC所成角正弦值大小为手.
x.y
20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆C:TT=1
的一个焦点重合,点A(xo,2)在抛物线上,过焦点F的直线I交抛
物线于M、N两点.
(1)求抛物线C的方程以及|AF|的值;
(2)记抛物线C的准线与x轴交于点B,若诬二人而,|BM12+jBN12=40,
求实数人的值.
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】⑴依题意F(1,0),故学1,则2P=4,可得抛物线C的
方程.将A(xo,2)代入抛物线方程,解得xo,即可得|AF|的值
(2)依题意,F(1,0),设I:x=my+l,设M(xi,yi)>N(x2,丫2),
y2=4x
联立方程1=叩+1,消去x,得y2-4my-4=0,则
222222222222
|BM|+1BN|=BM+BN=(x1+l)+y1+(x2+l)+y2-x1+x2+2(x1+x2)+2+y1+y2
=(m2+l)(16m2+8)+4m«4m+8=16m4+40m2+16=40,解得人.
22
【解答】解:(1)依题意,椭圆C':^"+?=1中,a2=6,b2=5,故c2=a2
7=1,故齐1,则2p=4,
可得抛物线C的方程为y2=4x.
将A(xo,2)代入y2=4x,解得x0=l,故1即|=1+~2.
(2)依题意,F(1,0),设I:x=my+l,设M(xi,y。、N(x2,丫2),
y2=4x
联立方程%=叩+1,消去x,得y2-4my-4=0.
,=
y1+y24iT
所以'了1丫2=一4'①且x2=my2+r
又诬二入FN,则又J],-yi)=入(X2-l,y2),即yi=-M,
,2i
力》小汨J-入丫2=-4酒土由4m2=入巧^--2
代入①得$八、、(,消去丫2得人,
(1-A.)y2=4m
易得B(-1,0),则BM=(X[+1,y>,BN=(X2+1,y2)5
则
IBM|+1BN|^=BM+BN=(x1+l)2+yj2+(x2+l)^+y22-xi^+x2^^2(x|+x?)+2+y1'y2'
_(myi+l),(my2+I)2+2(my]+my2+2)+2+V12+乃2
222
=(m+l)(y1+y2)+4m(y1+y2)+8
=(m2+l)(16m2+8)+4m*4m+8=16m4+40m2+16,
当16m4+40m2+16=40,解得/总,故人会土丘.
21.已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(a^R,e为自然对数
的底数,e=2.7181281...).
(1)当a=-l时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)仅有一个极值点,求a的取值范围.
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数
的极值.
【分析】(1)根据导数和函数的单调性的关系即可求出,
(2)先求导,再令f'(x)=0得到x=-1或aex-2a+2=0(*),根据
aex-2a+2=0(*)无解即可求出a的范围.
【解答】解:(1)由题知,f(x)=-xex+2(x+1)2,
f'(x)=-ex-xex+4(x+1)=(x+1)(4-ex),
由f'(x)=0得到x=-1或x=ln4,
而当xVln4时,(4-ex)>0,x>ln4时,(4-ex)<0,列表得:
X(-8,-1)-1(-1,In4)In4(In4,+8)
f'(x)-0+0-
f(x)极大7极小
值值
所以,此时f(x)的减区间为(-8,-1),(In4,+8),增区间为
(-1,In4);
(2)f'(x)=aex+axex-2(a-1)(x+1)=(x+1)(aex-2a+2),
由f'(x)=0得到x=-1或aex-2a+2=0(*)
由于f(x)仅有一个极值点,
关于x的方程(*)必无解,
①当a=0时-,(*)无解,符合题意,
②当aWO时,由(*)得ex=苧,故由苧W0得OVaWl,
由于这两种情况都有,当
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