八年级数学-第十四章-整式的乘法 -教案

第十四章整式的乘法

14.1.1同底数塞的乘法

教学目的：

1、能归纳同底数塞的乘法法则，并正确理解其意义；

2、会运用同底数基的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有

充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用；

教学重点：同底数幕的乘法法则

难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程

教具与实验：用于拼图的长方形硬纸板

一、创设情境，激发求知欲

课本第95页的引例

二、复习提问

1.乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫乘方

2.指出下列各式的底数与指数：

(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23.

其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2”与-24呢？

三、讲授新课

1.利用乘方概念计算：1014x1()3.

2、计算观察,探索规律：完成课本第95页的“探索”，学生“概括"a"'Xa"="=a”2

3、观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同,进行乘法运算；

右边的底数与左边相同,指数相加

4、归纳法则：同底数的基相乘，底数不变，指数相加。

三、实践应用，巩固创新

例1、计算：

(l)x2•x5⑵a・a6(3)2X2*X23(4)xm-x3m+1

练习：

1.课本第96页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则)

2.随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。

①a6,a6=c2a6②^a2+a4=a6(3^)a2,a4=a8

例2、计算：

(1)(-2)x(-*x(-2)、(2)x3(-/)(3)(-x).?.(-x)2.

(4)3"(-9)x275(5*工-才(x-力(工-才；(6)(x-j)3(x-7)(y-x)2

要点指导：底数中负号的处理；能化为同底数幕的数字底数的处理；多项式底数及符号的

处理。

例3、(1)填空：⑴若xM'xxXZx1贝ijm=；

、mnr.m+n

(2)2=16,2=8,则2=。

四、归纳小结，布置作业

小结：1、同底数基相乘的法则；

2、法则适用于三个以上的同底数幕相乘的情形；

3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式；

4、要注意与加减运算的区别。

14.1.2塞的乘方

教学目标：

(1)经历探索幕的乘方的运算性质的过程，进一步体会塞的意义；

(2)了解塞的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

教学重点：幕的乘方的运算性质及其应用.

教学难点：幕的运算性质的灵活运用.

一：知识回顾

1.讲评作业中出现的错误

2.同底数幕的乘法的应用的练习

二：新课引入

探究：根据乘方的意义及同底数塞的乘法填空，看看计算的结果有

什么规律：

(1)(32)3=32X32X32=3(1

(2)(a):二a

(/3)xz\am)\3:am.am,am-a()

“个”,

(4)(a")”=….""==an.

--

观察结果，发现塞在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算.

引导学生归纳同底数幕的乘法法则：

基的乘方，底数不变，指数相乘.

即：(a)〃=才(仄刀都是正整数).

二、知识应用

例题：(1)(103)5；(2)(a1)4；(3)(as)2；(4)—(4)

说明：一(/)3表示(、')3的相反数

练习：课本第143页(学生黑板演板)

补充例题：

(1)(/)3-y(2)2(a2)6-(才)1(3)(ab2)3

(4)-(-2a2b)4

说明：(1)(/)Ly中既含有乘方运算，也含有乘法运算，

按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，(/)

=/；

(2)2(/)6—(3)4按运算顺序应先算乘方，最后再化简.所

以，2(a2)6—(3)4=23X6—a3X4=2j2—J2=y.

三寨的乘方法则的逆用cr=(amy=(〃)".

⑴/・V=X()=()5=()4=())

(2)a2m=()2=()"(力为正整数).

练习：

1.已知3义9"=31求〃的值.

2.已知护=5,片，=3,求才少的值.

3.设〃为正整数，且六=2,求9(产)2的值.

四、归纳小结、布置作业

小结：事的乘方法则.

14.1.3积的乘方

教学目标：

(1)经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幕的意义；

(2)了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

教学重点：积的乘方的运算性质及其应用.

教学难点：积的乘方运算性质的灵活运用.

教学过程：

一.创设情境，复习导入

1.前面我们学习了同底数嘉的乘法、幕的乘方这两个运算性质，请同学们通过

完成一组练习，来回顾一下这两个性质：

344

(])。XX。=(2)团

(3)2夕)葭1(4)1xJxax口y=

2.探索新知，讲授新课

(1)(3X5)7——积的乘方

二(3x5)x(3x5)x---x(3x5)一一累的意义

~7个&x5)-

二(3x3x…x3)X(5x5x…x5)——乘法交换律、结合律

7个37个5

=37X57；——乘方的意义

(2)(ab)2=(ab),(ab)=(a•a),(b•b)=a')b11

(3)(a2bD3=(a2b3)•(a2b3)•(a2b3)=(a2•a2•a2)•(b3•b3•b3)

=a*b(1

⑷(")"

二(ab)•(ab).....(ab)一一累的意义

〃个就

二(a•a•a......a)•(hhb......b)——乘法交换律、结合律

”个a”个b

nin

-aD.——乘方的意义

由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：

积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的寨相乘.

BP：(ab)n=an*bn

二、知识应用，巩固提高

例题3计算

(1)(2a＞；(2)(—503；(3)(犷此

(4)(-2/3f)1(5)(一2孙尸(6)(2X103)2

说明:(5)意在将(")"=///'推广，得到了

判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？

①(一『=，②位『)3=9*3,3③(-z/)2=-4a，

练习：课本第98页

三.综合尝试，巩固知识

补充例题：计算：

(1)/.九+町+(_2日

(2)2口卜/邛可+㈤…

四.逆用公式:(而"=〃/，即。方=(寺)"

预备题：(1)aV=(『⑵*4=(户

例题：(1)0.12516•(-8)17；(2)I-I211

(2)已知2"'=3,2"=5,求23—20的值.

(注解)：23m+2,,=23Hf>22,,=(2m)3•(2fl)2=33•52=27X25=675.

四、归纳小结、布置作业

作业：习题14.1

14.1.4整式的乘法(单项式乘以单项式)

教学目标：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的

运算。

教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则的探索.

教学难点：灵活运用法则进行计算和化简.

教学过程：

一.复习巩固：

同底数毒，基的乘方，积的乘方三个法则的区分。

二.提出问题，引入新课

(课本引例)：光的速度约为3x105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的

时间大约是5xl()2秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

(1)怎样计算(3x105)x(5X102)?计算过程中用到哪些运算律及运算性

质？

(2)如果将上式中的数字改为字母，比如•a2怎样计算这个式子？

说明：(3X1O5)X(5X102),它们相乘是单项式与单项式相乘.

•儿2是两个单项式45与。相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及

同底数累的运算性质来计算：ac5*bc2=(a・b)•(c5*c2)=abc'+2=abc1.

三.单项式乘以单项式的运算法则及应用

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

例4(课本例题)计算：(学生黑板演板)

(1)(—5a%)(—3a)；(2)(2x)3(—5x)2).

练习1(课本)计算：

(1)3X25X3；(2)4y(—2xy2)；

(3)(3x2y)3,(—4x)；(4)(—2a)3(-3a)2.

练习2(课本)下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)3a3.2〃=6J；(2)2x2,=6x4；

(3)3?•4/=⑵2；(4)5y3・；/=15yl5.

四.巩固提高

(补充例题)：

1.(-2x2y),(l/3xy2)

2.(-3/2ab)•(-2a)・(-2/3a2b2)

3.(2XIO'5)2•(4X103)

4.(-4xy)•(-x2y2)•(l/2y3)

5.(-l/2ab2c)2•(-l/3ab3c2)3•(12a3b)

6.(-ab3),(~a2b)3

7.(~2xn+lyn),(-3xy),(-l/2x2z)

8.-6m2n,(x-y)3,l/3mn”,(y-x)2

五.小结作业

方法归纳：

(1)积的系数等于各系数的积，应先确定符号。

(2)相同字母相乘，是同底数塞的乘法。

(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注

意不要把这个因式丢掉。

(4)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

(5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

作业：课本104页3

14.1.4整式的乘法(单项式乘以多项式)

教学目标：经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行

整式相乘的运算。

教学重点：单项式与多项式相乘的运算法则的探索.

教学难点：灵活运用法则进行计算和化简.

教学过程：

复习旧知

1.单项式乘单项式的运算法则

R3

2.练习：9x2y•(-2xy2)(-3ab)•(l/3abz)

3.合并同类项的知识

二、问题引入，探究单项式与多项式相乘的法则

(课本内容)：三家连锁店以相同的价格"2(单位：元/瓶)销售某种

商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)分别是“、尻C.你能

用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

学生独立思考，然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求

出三家连锁店的总销量，再求总收入，为：m(a+b+c).

另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的

和，即：ma+inb+inc.

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

m(。+力+c)=ma-\-mb-\-mc.

学生归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每

一项，再把所得的积相加.

引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单

项式与单项式相乘,

三.讲解例题

1.例题5(课本)计算：

9i

(1)(—4f)(3x+l)；(2)(-cib~—2ab)•—cib

2.补充例题1：

化简求值：(-3x)2_2x(x+3)+x•x+2x,(-4x+3)+2007

其中：X=2008

练习：课本100页1、2

3.补充练习：

计算

1.lab(5ab2+3a2b)i2.(-ab2—lab},-ab\

32

3.-6x(x-3y)；4.—la(-ab+b2).

2

5.(-2a2)•(l/2ab+b2)

6.(2/3x2y—6xy)•l/2xy2

7.(-3x2)・(4x2-4/9x+1)

83ab•(6a2b4-3ab+3/2ab3)

9.l/3xny,(3/4x2—l/2xy—2/3y—l/2x2y)

10.(—ab)2,(-3ab)2,(2/3a2b+a3•a2•a—l/3a)

四.小结归纳，布置作业:

作业：课本第105页4

14.1.4整式的乘法（多项式乘以多项式）

教学目标：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行

整式相乘的运算.

教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索

教学难点：灵活运用法则进行计算和化简.

教学过程：

一.复习旧知

讲评作业

二.创设情景，引入新课

（课本）如图，为了扩大街

心花园的绿地面积，把一块原长

。米、宽加米的长方形绿地，增

长了〃米，加宽了〃米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?

一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，

即（am+an+bm+bn）米

另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽

得出大长方形的面积，即Ca+b）（机+〃）米2.

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

(«+/>)(，〃+〃)=am+an+bm+bn.

教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（。+8）

（m+n）=am+an+bm+bn进行分析，可以把m-\~n看做一个整体，

运用单项式与多项式相乘的法则，得

(a+b)(m+〃)=a(m+〃)+b(TW+M),

再利用单项式与多项式相乘的法则，得

a(m+〃)+Z»(zw+n)=am+an+bm+bn.

学生归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一

项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

三、应用提高、拓展创新

例6(课本)：计算

(1)(3x+l)(x+2);(2)(x—8y)(x—y);

(3)(x+y)(x2—xy+y2)

进行运算时应注意：不漏不重，符号问题，合并同类项

练习：(课本)102页12

补充例题：

1.(a+b)(a—b)—(a+2b)(a—b)

2.(3x*—3X2+1)(X*+X2—2)

3.(x—1)(x+1)(x2+l)

4.当a=~l/2时,求代数式(2a—b)(2a+b)+(2a—b)(b—4a)+2b(b

—3a)的值

四.归纳总结，布置作业

课本105页5

14.2.1平方差公式

教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行

简单的运算.

教学重点：平方差公式的推导和应用.

教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题.

过程：

一.创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1知识复习

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项

乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(a+6)(m+n)-am+an+bm+bn

活动2计算下列各题，你能发现什么规律？

(1)(x+1)(x—1)；(2)(a+2)(a—2)；

(3)(3—x)(3+x)；(4)(2/w+〃)(2m-n).

再计算：(a+方)(a—h)=a1—ah+ab—Z?2=a2—h2.

得出平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.

活动3请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为匕的小正方形(如

图1),然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

图1中剪去一个边长为人的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为

(a2-b2).

在图2中，长方形的长和宽分别为(a+。)、(a-b),所以面积为

(a+b)(a-b).

这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a-b)=a2-b2.

二、知识应用，巩固提高

例1计算：

(1)(3x+2)(3x—2)；(2)(~x+2y)(—x-2y)

(3)(b+2a)(2a-b)；(4)(3+2。)(-3+2。)

练习：加深对平方差公式的理解（课本110页练习1有同种题型）

下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）

(1)(x+1)(1+x)；(2)3+(/?-1«)；

2。)2

(3)(—a+b)(〃一人)；(4)(f—y)(x+J)；

2222

(5)(—a-b)(Q—8)；(6)(c-J)Cd+cy

例题2：计算

(1)102X98

(2)(y+2)(y-2)—(y—1)(方5)

(3)Qa+b+c)(a—b+d)(补充)

22

(4)2004-2003(补充)

2

(5)(a+3)(a—3)(a+9）（补充）

说明：(3)意在说明公式中的a,）可以是单项式，也可以是多项式

(4)意在说明公式的逆用

练习：课本110页2

四、归纳小结、布置作业

课本习题112页习题1；5

14.2.2完全平方公式（第1课时）

教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何背景；体会公式

中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式.

教学重点：(1)完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；

(2)完全平方公式的应用.

教学难点：完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用.

教学过程：

一、激发学生兴趣，引出本节内容

活动1探究，计算下列各式，你能发现什么规律？

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=；

(2)(w+2)2=(w+2)(〃z+2)=；

(3)(/?—1)W(/?—1)(p—1)=；

(4)(m-2)2=(m—2)(m—2)=.

答案：(1)p1+2p+1；(2)m2+4m+4；(3)p?—2p+l；(4)m2—4m+4.

活动2在上述活动中我们发现(0+8)2=42+2。/；+〃，是否对任意的

b,上述式子都成立呢？

学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般

性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得

(a+b)2=(a+。)(a+/7)=a(a+b)+bQa+b)-cr+ab+ab+b2

=a+2ab-^b.

(a-/7)2=(«―/?)(〃一”)=a(aT?)~bQa—b)=c^-ab-ah+h2

=cr—2ab+b2.

二、问题引申，总结归纳完全平方公式

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍,

即

(a+6)2=a2+2ab+b2,

(a~b)2=a2—2a6+62.

在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：

(1)左边为两个数的和或差的平方；

(2)右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍.

活动4你能根据教材中的图15.2-2和图15.2-3中的面积说明完全平

方公式吗？

三.例题讲解，巩固新知

例3：(课本)运用完全平方公式计算

(1)(4m+n)2;(2)(y—1/2)2

补充例题：运用完全平方公式计算

(1)(—x+2y)2；(2)(—x—y)2；(3)(x+y)2—(x—y)~.

说明：(1)题可转化为(2y—x)2或(尤一2y)2,再运用完全平方公式；

(2)题可以转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；

(3)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式

进行计算.

例4：(课本)运用完全平方公式计算

(1)1022；(2)992.

思考：(a+匕)2与(一&—〃)2相等吗？为什么？

(«-/?)2与(b—a)2相等吗？为什么？

Qa-b)2与一一一相等吗?为什么？

练习：课本110页1；2

补充例题：

(1)如果X2+kxy+9y2是一个完全平方式，求k的值

(2)已知％+)=8,孙=12,求f+y2；(X—y)2的值

92

(3)已知a+1/a=3,求a+1/a

四、归纳小结、布置作业

小结：完全平方公式.

作业：课本112页习题2；6；7

14.2.2完全平方公式(第2课时)

教学目标：熟练掌握完全平方公式及其应用，理解公式中添括号的方法

重点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用

难点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用

内容：

一复习旧知，引入添括号法则

去括号法则：a+(b+c)=a+b+ca—(b+c)=a—b—c

添括号法则：a+b+c=a+(b+c)a—b—c=a—(b+c)

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前

面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

练习：(课本111页练习1有同种类型题)

a+b—c=a+(b—c)=a—(-b+c)

a—b+c=a+(-b+c)=a—(b—c)

二讲解例题，巩固新知

例题5运用乘法公式计算：(课本)

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)

2

(2)(a+b+c).

练习：课本111页练习2

三补充例题，开阔眼界

1利用乘法公式化简求值题

(2x+y)2—(x+y)(x-y),其中x=1,y=-2

2乘法公式在解方程和不等式中的应用

①已知(a+b尸=7,(a—b尸=4求a?+b?和ab的值

②解不等式：

(2x—5)(-5—2x)+(x+5)>3x(-x+2)

3与三角形知识相结合的应用

已知三角形ABC的三边长a、b、c,满足a?+b?+<?-ab-be-ac=0,试判断

三角形的形状。

四总结归纳，布置作业

添括号法则

作业：课本112页3；4；5；8；9；(根据学生情况酌定)

14.3.1同底数塞的除法

教学目标：

1、经历探索同底数暴的除法的运算性质的过程，进一步体会累

的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

2、了解同底数事的除法的运算性质，并能解一些实际问题。

教学重点：公式的实际应用。

教学难点：a°=l中aNO的规定。

教学过程：

一、探索同底数塞的除法法则

1、根据除法的意义填空，并探索其规律

(1)5=53=5,)

(2)1074-105=10(>

(3)a64-a3=a()

推导公式：am^a"=(awo,n为正整数，且m>n)

归纳：同底数塞相除，底数不变，指数相减。

2、比较公式

a,a=a(a)=a

(ab)m=ambmam4-a=ara-n

比较其异同，强调其适用条件

二、实际应用

例1:计算

(1)X84-X2(2)a4-a(3)(ab)54-(ab)

例2：一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M

=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

解：26M=26X2l0K=2l6K

2164-28=28(张)=256(张)

三、探究a°的意义

根据除法的意义填空，你能得什么结论？

(1)32^-32=

(2)1034-103=

(3)af(aWO)

由除法意义得：a^an=l(a#0)

如果依照菰+工=2『"=£

于是规定：a°=l(a/0)

即任何不等于0的数的0次幕都等于1

四、练习：PM1、2、3

五、作业：P104习题14.31、4、5、7

14.1.4整式的除法(1)

教学目标：

经历探索单项式除以单项式法则的过程，会进行单项式除以单项

式的运算。

教学重点：运用法则计算单项式除法

教学难点：法则的探索

教学过程：

一、提出问题，引入新课］

问题：木星的质量约是1.90X102,吨，地球的质量约是5.98X1021

吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

如何计算：(1.90X1024)4-(5.98X1021),并说明依据。

二、讨论问题，得出法则

讨论如何计算：

(1)8a34-2a(2)6x3y4-3xy(3)12a3b3x34-3ab2

［注：8a=2a就是(8aD+(2a)］

由学生完成上面练习，并得出单项式除单项式法则。

单项式除以单项式法则：

单项式相除，把系数与同底数塞分别相除，作为商的因式，对于

只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

三、法则的应用

例1：计算

(1)28x4y24-7x3y(2)-5a5b3c-M5a4b

练习：P1041>2

例2：计算下列各题

(1)(a+b)44-(a+b)2

(2)[(x-y)3]3+：(y-x)2]4

(3)(—6x2y)3-r(—3xy)3

例3：当x=-2,y=l/4时，求代数式：

(—4x2)4-(-4x)2+12x3y2-7-(-4x2y)—24x4y34-(-4x3y2)的值

例4：已知5m=325m=11,求5舐-2n的值。

四、归纳小结，布置作业

本节所学法则可与前面所学的三个法则比较，理解并记忆。

五、学校作业：Pio42、4、5、6

补充作业：

1、月球距离地球大约3.84Xl()5km,一架飞机的速度约为

8X10Wh,如果坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多长时

间？

2、观察下面一列式子，根据你所看到的规律进行填空：

a,-2a2,4a2,-8a2,……，第10项为,第n项

为o

3、已知a=4,an=3,a=2

则a'"-3k，如=____________________

4、16",4-4n4-2等于()

(A)(B)22U*2(C)231"2"1(D)24m-2n-1

14.1.4整式的除法(2)

教学目标：

经历探索多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项

式的运算。

教学重点：运用法则计算多项式除以单项式。

教学难点：

(1)法则的探索；

(2)法则的逆应用；

教学过程：

一、复习旧知：

计算：

(1)am4-m+bm-i-m

(2)a2-j-a+ab+a

(3)4x2y4-2xy+2xyJ4-2xy

二、探索多项式除以单项式法则

计算：(am+bm)+m,并说明计算的依据

(a+b)m=am+bm

(am+bm)+m=a+b

又am-j-m+bm4-m=a+b

故(am+bm)4-m=am4-m+bni-7-m

用语言描述上式，得到多项式除以单项式法则：

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,

再把所得的商相加。

根据法则：(a~+ab)+a=+

三、实践应用

例1：计算

(1)(4x2y+2xy2)+2xy

(2)(12a3-6a2+3a)4-3a

(3)(21xy3—35x3y2+7x2y2)4-(—7x2y)

(4)[(x+y)2—y(2x+y)—8x]4-2x

练习：Pi。’(1)(2)(3)(4)

例2:计算

(1)(2/5a3x4-0.9ax3)4-3/5ax3

(2)(2/5xy2-7xy2+2/3y3)4-2/3y2

例3：化简求值

(1)(X5+3X3)4-X3-(X+1)2其中x=-l/2

(2)[(x+y)(x—y)—(x—y)2+2y(x-y)]4-4y

其中x=2,y=l

四、归纳小结，布置作业Pios38

思考题：

(1)4-(-4x2)=-3x2+4x—2

(2)长方形的面积为4a2—6ab+2a,若它的一个边长为2a,则

它的周长是o

(3)已知g+ir能被10整除，求证：3n+4+n*能被10整除。

14.4.1提公因式法

教学目标：

1、理解因式分解的概念。

2、会确定多多项式的公因式。

3、会用提公因式法分解因式。

教学重点：用提公因式法分解因式

教学难点：公因式的确定

教学过程：

一、分解因式(因式分解)的概念

计算：

(1)x(x+1)(2)(x+1)(x-1)(学生练习，并演板)

X(x+1)=x2+x(x+1)(X—1)=X2—1

上面二式都是整式乘法，即把整式的乘积化为多项式的形式。

反过来：x2+x=x(x+1)X2—1=(x+1)(X—1)

即把多项式化为整式积的形式。

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫

做这个多项式因式分解(或分解因式)。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。

判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解：

(1)6=2X3(2)a(b+c)=ab+ac

(3)a2—2a+l=a(a—2)+1

(4)a2—2a=a(a—2)(5)a+l=a(1+1/a)

二、提公因式法

1、公因式

多项式ma+mb+mc中，各项都有一个公共的因式m,称为该多

项式的公因式。

一般地,一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公

因式。

指出下列各多项式的公因式

(1)8a3b2+12ab!c(2)8m2n+2mn

(3)—6abc+3ab2—9a2b

通过以上各题，你对确定多项式的公因式有什么方法？(学生归

纳、总结)

2、提公因式法

由m(a+b+c)=ma+mb+mc,得至Uma+mb+mc+=m(a+b+c),

其中，一个因式是公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc

除以m所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

三、例1：把(1)2a2b—4ab2(2)8ab+12ab3c分解因式

解：(1)2ab-4ab2

=2abXa_2abX2b

=2ab(a—2b)

(2)8a3b2+12ab3c

=4ab2X2a2+4ab2X3bc

=4ab?(2a2+3bc)

练习：P“51(1)(2)

例2：把2a(b+c)—3(b+c)分解因式

练习：P“51(3)(4)2

例3：用简便方法计算

(1)9992+999(2)20072-2006X2007

练习：P⑹3

四、归纳小结，布置作业

(1)分解因式(2)确定公因式(3)提公因式方法

Pu9习题14.316

补充练习：

1、分解因式：

(1)m2(a—2)+m(2—a)(2)m—n—mn+1

(3)a2n-an

(4)(3a-4b)(7a-8b)+(Ila—12b)(8b-7a)

2、计算：210-29-28

3、已知a—b=3,ab=-1,求a'b—ab-'

4、若a为实数，则多项式aYa?-1)—a?+1的值()

A、不是负数B、恒为正数

C、恒为负数D、不等于0

5、证明：817—279—90能被45整除

6、若关于x的二次三项式3x2—mx+n分解因式结果

为(3x+2)(x—1),则m=,n=。

14.3.2公式法(1)

教学目标：

(1)进一步理解分解因式的概念。

(2)能熟练运用平方差公式分解因式。

教学重点：把符合公式形式的多项式写成平方差的形式，并分解

因式。

教学难点：(1)确定多项式中的a、b;(2)分解彻底；

教学过程：

一、复习巩固

1、什么叫分解因式？

2、用提公因式法分解因式

(1)2xy—4y(2)—2x(x+1)+(x+1)'

二、用平方差公式分解因式

把公式(a+b)(a—b)=a?-b?反过来就得到

a~-b2=(a+b)(a—b)

该公式用语言叙述为：

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积。

注：(1)使用平方差公式分解因式时，必须先把原多项式写成两

“数”平方差的形式，再分解因式，即用公式分解因式时，必须认准

其中的“a”与“b”。

(2)公式中的a、b即可以是单项式，也可以是多项式。

三、公式的应用

例1：分解因式

(1)4xJ—9(2)(x+p)(x+q)-

解：(1)4x之一9

—(2x)2-32

=(2x+3)(2x-3)

(2)(x+p)2-(x+q)2

=[(x+p)+(x+q)][(x+p)—(x+q)]

——(2x+p+q)(p—q)

练习Pil712

例2：分解因式

(1)x1—y4(2)a3b—ab

注：分解因式，必须进行到每一个进行因式都不能再分解为止。

练习：分解因式

(1)a3—a(2)—(1+xy)2+(1—xy)2

(3)x2(x—y)+y2(y—x)(4)1—x4

(5)2x‘一8(6)m2(a—2)+m(2—a)

(7)mJ-n2+2m-2n

四、小结

(1)应用平方差公式分解因式，必须认准的a与b。

(2)分解因式必须彻底。]

(3)有公因式的先提公因式，再用公式分解。

五、作业：Pn927

14.3.2公式法(2)

教学目标：熟练应用完全平方公式分解因式

教学重点：把多项式写成符合公式的形式，并分解因式。

教学难点：(1)辨认多项式中的“a”与"b”；(2)分解到底。

教学过程：

一、复习平方差公式，并练习下列各题

(1)—a2+b2(2)(x+2)'—(x—2)2(3)2a—8a2

二、用完全平方公式分解因式

把整式乘法的完全平方公式:

(a+b)2=a?+2ab+b~(a—b)2=a'—2ab+b2

反过来，得到：aL，+2ab+b2=(a+b)2

a2—2ab+b2=(a—b)2

注：(1)形如a?12ab+b2的式子叫做完全平当式,说出它们的特点。

(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。

(3)上面两个公式用语言叙述为：

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两

个数的和(或差)的平方。

三、例题或练习：

1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？

(1)a'—2a+1(2)a2—4a+4(3)a2+2ab—b2

(4)a2+ab+b2(5)9a2—6a+1(6)a2+a+1/4

2、分解因式

(1)16X2+24X+9(2)—x2+4xy—4y2

解：16X2+24X+9

=(4x)2+2-4x•3+32

[a2+2•a•b+b2]

(4x+3)2

：(a+b)2]

3、分解因式

(1)3ax2+6axy+3ay2(2)(a+b)2—12(a+b)+36

练习：P(i92(1)-----(6)

四、归纳小结，布置作业

(1)用完全平方公式分解因式时，必须认准a与b。

(2)分解因式要“完全彻底”。

作业：P,20359

14.3.4习题课

教学目标：综合应用提出因式法和公式法分解因式

教学重点：(1)熟练应用分解因式的两种方法分解因式；

(2)两种方法的综合应用；

教学难点：(1)选择恰当的分解方法；(2)把多项式分解彻底；

教学过程：

一、分解因式有哪些方法？你认为在使用这些方法时，应注意什么？

二、例题或练习

1、下边从左到右的变形，是因式分解的有。

(1)X2—4y2=(x+2y)(x—2y)

(2)a2—2ab+b2=(b—a)2

(3)X2-4X+5=(X-2)2+l

(4)x2—4x+5=x(x—4)+5

(5)(x+3)(x—3)=x2—9

(6)—ma+mb-mc=­m(a+b+c)

2、—m(a—x)(x—b)—mn(a—x)(b—x)的公因式是()

3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是()

A、x2+4y2B、X2—2xy+4y2

C、—x2—4xy+4y2D、(x—y)2—10(y—x)+25

4、填空:

(1)-l/9a2+l/4=()2-()2

(2)4X2+1+=(+1)2

(3)1/9X2++1打=(9/3x-l/2y)2

(4)若x?+kx+64是完全平方式，则k的值为o

(5)X2+5X+=()2

5、把下列各式分解因式：

(1)a4+3a2(2)5(a—2)3—3(2—a)2

(3)(x—2)2—x+2(4)a(a-b—c)+b(b+c—a)

(5)(a—b)2(a+b)3—(b—a)3(b+a)2

(6)—2xy+6x2y2-8x2y

6、把下列各式分解因式：

(1)l/2x2—2y2(2)—6a—a2—9

(3)(l/36x—1/3)x+1(4)(a+b)2—4(a+b—1)

(5)X2+8X(X+1)+16(x+1)2

(6)2(a2+b2)(a+b)2—(a2—b2)2

(7)X3+X2+0.25X

(8)(x2—x)2+1/2(x2—x)+1/16

(9)x3—X2+4

7、(1)求证对于任意自然数n,2n+4—211是30的倍数。

(2)求证：248—1可以被63和65整除。

作业：Pn946810

课外作业：P122数学活动12

14.3.5十字相乘法（二次项系数为1）

教学目标：

使学生理解并掌握二次项系数为1的二次三项式的因式分解。

教学重点：准确、迅速进行十字相乘分解因式。

教学难点：p与q异号的情形。

教学过程：

一、复习巩固

,观察规律，得到

(x+p)(x+q)=x?+(p+q)x+pq

反过来，有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

它告诉我们：对于二次项系数为1的二次三项式，如果它的常数

项能够分解成两个因数，并且它们的和恰好等于一次项系数，那么，

它就可以分解成两个一次因式的积。

如：x?+(1+2)x+lX2=(x+1)(x+2)

X2+(—1+2)x+(—1)*2=(x—1)(x+2)

二、例题与练习

例1：分解因式X2+6X+8

解：X2+6X+8=X2+(2+4)x+2X4

=(x+2)(x+4)

熟练后，中间步骤可省去。

练习：分解因式

(1)X2+7X+12(2)X2+12X+20

例2：分解因式X2-8X+15

分析：因为一8为负数，所以15应分解为两个负数之积。

解：X2—8x+15

=x2+[(—3)+(—5)]x+(—5)X(—3)

—[x+(—3)][x+(-5)]

=(x—3)(x—5)

练习：分解因式：（1）x2—3x+30(2)X2-8X+12

例3：分解因式（1）X2—3X—10(2)X2+9X—10

分析（由学生分析，解答）

练习：分解因式(1)X2—3x—4(2)X2+10X-24

(3)a2+a—20(4)a2—9a—36

例4：分解因式(1)X2—7xy—18y2(2)x2y2+7xy—44

(3)x2—20xy+96y2(4)a4—21a2—100

例5：分解因式(1)—a2+6ab—9b2(2)—x2—3x+4

(3)x—X2+42(4)x2(x2—20)+64

(5)3x2y2—9xy—12

(6)(x2+x)2—14(x2+x)+24

(7)(x2+x)(x2+x—1)~2

例6：求证：四个连续自然数的乘积与1