2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷附答案解析

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.）

1.（3分）一元二次方程无2=9的根是（）

A.3B.±3C.9D.±9

2.（3分）如图，以A8为直径的。。上有一点C,且/BOC=50°,则NA的度数为（)

C.30°D.25°

3.（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身

高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4,则下列说法正确的是（）

A.甲、乙两队身高一样整齐

B.甲队身高更整齐

C.乙队身高更整齐

D.无法确定甲、乙两队身高谁更整齐

4.（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的

概率是（）

A.小于工B.等于工C.大于工D.无法确定

222

5.（3分）下列方程有两个相等的实数根是（）

777?

A.x-x+3=0B.x-3x+2=0C.x-2x+l=0D.x-4=0

6.（3分）如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，下列说法中不正确的是（）

RADAE

ABAC

C.D.DE=1^C

2

7.（3分）如图，已知O。的内接正方形边长为2,则。。的半径是（）

A.1B.2C.A/2D.272

8.（3分）已知RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=2,BC=3,则下列各式中，正确的是（）

A.sinB=AB.cosB=—C.tanB=-D.以上都不对

333

9.（3分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,8C=8,点M是AB上的一点，

33

10.（3分）如图1,S是矩形ABC。的A。边上一点，点E以每秒此相的速度沿折线BS-

SD-DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且

点F运动到点B时点£也运动到点C.动点E,尸同时停止运动.设点E,F出发f秒时，

△EBF的面积为ye%?.已知〉与/的函数图象如图2所示.其中曲线。加，NP为两段抛

物线，为线段.则下列说法：

①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点。时共用了4秒

②矩形ABCD的两邻边长为BC=6cm,CD=4cm；

@smZABS=^-；

2

④点E的运动速度为每秒2c〃z.其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分.）

11.（2分）二次函数y=-（X+5）2-3,图象的顶点坐标是.

12.（2分）一元二次方程无2=彳的解为.

13.（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中

14.（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数

据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是小时.

睡眠时间（小时）6789

学生人数8642

15.（2分）已知圆锥的底面半径为3,母线长为7,则圆锥的侧面积是.

16.（2分）如图，半径为«的OO与边长为8的等边三角形ABC的两边A3、都相切,

连接OC,贝Usin/OC8=.

17.（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=-2龙+8与坐标轴分别交于A,B两点,

点C在x正半轴上，且OC=O8.点P为线段（不含端点）上一动点，将线段。尸绕

点0顺时针旋转90。得线段OQ,连接CQ,则线段C。的最小值为

18.（2分）如图，直线A,B,C分别为直线/1，b，/3上的动点，连接AB，BC,

AC,线段AC交直线/2于点D设直线/i，/2之间的距离为小直线8/3之间的距离为

n,若NA8C=90°,BD=3,且典=■1,则m+n的最大值为

n2

三、解答题（本大题共10题，共84分.）

19.（8分）（1）计算：4sin30°-（2-«）°+2tan45°；

（2）解方程：x-6尤=7.

20.（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项

成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是

小张和小王两位同学的成绩记录：

完成作业单元测试期末考试

小张709080

小王6075—

若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定期末评价成绩.

（1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？

（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？

21.（6分）己知△ABC三顶点的坐标分别为A（0,2）、B（3,3）、C（2,1）.

（1）画出△ABC；

（2）以2为位似中心，将aABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图

形△A1BC1；

（3）写出点A的对应点4的坐标：.

yA

01

22.（8分）某市有A、B、。三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩.

（1）甲去A公园游玩的概率是;

（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率.（请用“画树状图”或“列表”或“列举”

等方法给出分析过程）

23.（8分）如图，在矩形A2CD中，已知在边上取点E,连结CE.过点E

作EFLCE,与边AB的延长线交于点F.

（1）求证：AAEFsADCE.

24.（8分）己知：如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的。。交于点。，过点

。作。E_LAC于点E.

（1）求证：DE是的切线.

（2）若O。的半径为3c",NC=30°,求图中阴影部分的面积.

25.（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5CM,

两个车轮的圆心的连线A8与地面平行，测得支架AC.CO所在直线与

地面的夹角分别为30°、60°,CD=50cm.

(1)求扶手前端。到地面的距离；

(2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点”到点C的距离为

10cm,DF=20cm,EF//AB,ZEHD=45°,求坐板的宽度.(本题答案均保留根号)

26.(10分)某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元.在试销期间，购买不超

过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售

单价均降低5元，但最低销售单价为2600元.请解决下列问题：

(1)直接写出：购买这种产品件时，销售单价恰好为2600元；

(2)设购买这种产品尤件(其中x>10,且尤为整数)，该公司所获利润为y元，求y与

尤之间的函数表达式；

(3)该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多,

公司所获利润反而减少这一情况.为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最

低销售单价调整为多少元？(其它销售条件不变)

27.(10分)在平面直角坐标系中，二次函数y=o?+bx+2的图象与无轴交于A(-3,0),

B(1,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y<0?

(2)点尸是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点尸，使△ACP面积最大？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点。，使以A、C、M、。为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

28.（10分）【问题发现】如图1,半圆。的直径AB=10,点P是半圆。上的一个动点，则

△PAB的面积最大值是

【问题探究】如图2所示，AB,AC,左是某新区的三条规划路，其中42=6加，AC=

3km,ZBAC=60°,前所对的圆心角为60°.新区管委会想在前路边建物资总站点P,

在A3、AC路边分别建物资分站点E、F,即分别在前、线段AB和AC上选取点P、E、

F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按尸一E-F-P的路径进行运输，因

此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和EP.显然，为了快捷环保和节约成本，就

要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）.可

求得APEF周长的最小值为km；

【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形048中，ZAOB=90°,。4=12米，

在围墙04和02上分别有两个入口C和。，且AC=4米，。是的中点，出口石在益

上.现准备沿CE、OE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形COOE内种花，在剩

余区域种草.

①出口£设在距直线0B多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小

路宽度不计）

②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石

材每米的造价是400元.

请问：在源上是否存在点E,使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低

总造价和出口£距直线的距离；若不存在，请说明理由.

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.）

1.（3分）一元二次方程，=9的根是（）

A.3B.±3C.9D.±9

【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案.

【解答】解：；）=9,

；.x=±3,

故选：B.

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属

于基础题型.

2.（3分）如图，以A8为直径的上有一点C,且/BOC=50°,则/A的度数为（）

A.65°B.50°C.30°D.25°

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【解答】解：•••/8OC=50°,

AZA=AX50°=25°.

2

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

3.（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身

高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4,则下列说法正确的是（）

A.甲、乙两队身高一样整齐

B.甲队身高更整齐

C.乙队身高更整齐

D.无法确定甲、乙两队身高谁更整齐

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案.

【解答】解：.••甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4,

甲2Vs薯2,

•••甲队身高更整齐；

故选：B.

【点评】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，

表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这

组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

4.（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的

概率是（）

A.小于工B.等于工C.大于工D.无法确定

222

【分析】利用概率的意义直接得出答案.

【解答】解：因为每次抛掷概率相同，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：1,

2

故选：B.

【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键.

5.（3分）下列方程有两个相等的实数根是（）

7???

A.x-x+3=0B.x-3x+2=0C.x-2x+l=0D.x-4=0

【分析】先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的内容判断即可.

【解答】解：A、，-x+3=0,

△=（-1）2-4X1X3=-11<0,

所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；

9

B、x-3x+2=0,

△=（-3）2-4XlX2=l>0,

所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

C、x-2X+1=0,

△=（-2）2-4X1X1=。，

所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；

7

D、x-4=0,

△=O2-4X1X（-4）=16>0,

所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键.

6.（3分）如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，下列说法中不正确的是（）

RADAE

ABAC

C.AADEsAABCD.DE=1-BC

2

【分析】由。，E分别是A8,AC的中点，可得出DE是△ABC的中位线，进而可得出

DE//BC,他=3殳=迈=工，由DE//BC可得出再利用相似三角形

ABACBC2

的性质可得出也处=工，此题得解.

,△ABC4

【解答】解：E分别是AB,AC的中点，

是△ABC的中位线，

C.DE//BC,9=坐=迈=上，

ABACBC2

AADE^AABC,DE=1^C,

2

■SAADE_（AD）2=（工）2=工

^AABC研24

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形

的性质找出也些=工是解题的关键.

,△ABC4

7.（3分）如图，己知O。的内接正方形边长为2,则。。的半径是（）

A.1B.2C.A/2D.2V2

【分析】根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及A22+B1=A^,进而得到结论.

【解答】解：如图所示，

,四边形ABC。是正方形，ZB=90°,

；.AC是O。的直径，

\"AB2+BC2=AC2,AB=BC,

.'.AB2+BC2=22+22=8,

；.AC=2%，

，o。的半径是J5，

故选：c.

【点评】此题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出A^+BduAC2是

解题关键，此题难度一般.

8.（3分）已知Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,则下列各式中，正确的是（）

A.sinB=—B.cosB=—C.tanB=—D.以上都不对

333

【分析】根据勾股定理求出A8,根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得

出答案.

A

由勾股定理得：48=4^^^=电^^=6互，

所以8$8=旦~=3"1。,sinB=2上上乂13,tanB=3C=2,所以只有选项C正确；

AB13AB13BC3

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题

的关键.

9.（3分）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=9Q°，AC=6,BC=8,点M是A8上的一点，

33

【分析】可分两种情况：①当NCAN=/8时，△C4Ns/\C8A,设CN=3k,BM=4k,

可得型解出左值即可；②当/CAN=/MC8时，过点M作MHLCB,可得△8M77

ACCB

S/XBAC,得出则CH=8-四,证明△ACNs/\c”M,得出

555

方程求解即可.

【解答】解：•/ZCMB>ZCAB>ZCAN,

:./CAN丰/CAB,设CN=3k,BM=4k,

①当NCAN=/B时，可得△CANs^CBA,

•••C-N~--A-C,

ACCB

•・•—3k=—6,

68

:.k=3,

2

:.BM=6.

②当NCAN=NAfC8时，如图2中，过点M作必/_LCB,可得△BMHS^BAC,

•MB_MH^BH；

*'AB=AC"BC'

•4kMHBH

"Io"6"8'

55

：.CH=S-^-k,

5

VZMCB=ZCAN,ZCHM=ZACN=90°,

△ACNs^CHM,

•••C-N=--M-H,

ACCH

12,

.3k-k

••一，

k—1或0,

：.BM=4.

综上所述，8M=4或6.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是

学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

10.（3分）如图1,S是矩形ABC。的边上一点，点E以每秒反机的速度沿折线BS-

SO-OC匀速运动，同时点尸从点C出发点，以每秒1c机的速度沿边C8匀速运动并且

点厂运动到点2时点E也运动到点C.动点E,尸同时停止运动.设点E,尸出发/秒时，

△EB尸的面积为yew?.已知y与/的函数图象如图2所示.其中曲线OM,NP为两段抛

物线，为线段.则下列说法：

①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点。时共用了4秒

②矩形ABCD的两邻边长为BC=6cm,CD=4cm；

③sin/ABS=^A；

2

④点E的运动速度为每秒2c〃z.其中正确的是（）

图1图2

A.①②③B,①③④C.①②④D.②③④

【分析】①正确，根据图象即可判断.

②正确，设A8=C£）=〃on,BC=AD=bcm,列出方程组即可解决问题.

③错误，由8S=2.5k,SD=15k,得空■=旦，设SD=3x,BS=5x,在R7YXABS中,由

SD3

AB2+AS2=BS2列出方程求出X,即可判断.

④正确，求出8S即可解决问题.

【解答】解：由图象可知点E运动到点S时用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒.故

①正确.

设AB=CQ=ac»i,BC=AD=bcm,

(b-2.5)=7

由题意,

y'a(b-4)=4

解得a=4

b=6

所以AB=CQ=4CTn,BC=AD=6cm,故②正确,

,:BS=25k,SD=\5k,

.•.段=上，设S£)=3x,BS=5x,

SD3

在RTAABS中，,/AB2+AS2=BS2,

.'.42+(6-3x)2=(5x),

解得x=l或-1A(舍)，

4

:.BS=5,SD=3,AS=3,

sin/ABS=^J=3故③错误，

BS5

：BS=5,

.".5—2.5k,

.,.k—2cm/s,故④正确，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象

问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问

题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分.）

11.（2分）二次函数y=-（x+5）2-3,图象的顶点坐标是（-5,-3）.

【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标.

【解答】解：••，=-（x+5）2-3,

...二次函数y=-（无+5）2-3的图象的顶点坐标是（-5,-3）

故答案为:（-5,-3）.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

12.（2分）一元二次方程/=彳的解为,=0,尤2=1.

【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案.

【解答】解：，=X,

移项得：,-x=0,

.*.x（x-1）=0,

x=0或x-1=0,

••X\~~0,X2~~1•

故答案为：Xl=0,X2—1.

【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为0.

13.（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中

的数字为偶数的概率是1.

~4~

【分析】由1占圆50%,2与3占25%,可得把数字为1的扇形可以平分成2部分，即

可得转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1,1,2,3；然后由概率公式即可求

得.

【解答】解：：1占圆50%,2与3占25%,

...把数字为1的扇形可以平分成2部分，

•••转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1,1,2,3；

...当转盘停止后，指针指向的数字为偶数的概率是：1.

4

故答案为：1.

4

【点评】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

14.（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数

据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是」^小时.

睡眠时间（小时）6789

学生人数8642

【分析】根据中位数的定义进行求解即可.

【解答】解：♦..共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11

个数的平均数，

...这些测试数据的中位数是正工=7小时；

2

故答案为：7.

【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后,

最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）.

15.（2分）已知圆锥的底面半径为3,母线长为7,则圆锥的侧面积是21n.

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.

【解答】解：圆锥的侧面积=1X27TX3X7=21IT.

2

故答案为21Tt.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

16.（2分）如图，半径为«的。。与边长为8的等边三角形A3C的两边A3、都相切,

连接0C,则sin/OCB=返1.

一14—

【分析】连接作。OLBC于。，由等边三角形的性质得/ABC=60°,BC=8,由

。。与等边三角形ABC的两边A3、BC都相切，得出。。是。。的半径，ZOBC^ZOBA

=AzABC=30°,由tan/OBC=Q5l,求出3。=3,CD=BC-BD=5,由勾股定理得

2BD

出OC=7OD24CD2=2^即可得出答案•

【解答】解:连接。2,作OOLBC于。，如图所示：

,/AABC是边长为8的等边三角形，

AZABC=60°,BC=8,

：O。与等边三角形ABC的两边A3、BC都相切，

是。。的半径，NOBC=NO8A=JL/ABC=30°,

2

VtanZOBC=^P-,

BD

BD=_05_=裳=3,

tan300V3

3

:.CD=BC-BD=8-3=5,

0C=70D24<D2=V（V3）2+52=2"

sinZOCB=@=2Z2T.

OC2V714

BDC

【点评】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟

练掌握切线的性质是解题的关键.

17.（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=-2x+8与坐标轴分别交于A,B两点,

点C在x正半轴上，且OC=O8.点P为线段（不含端点）上一动点，将线段。尸绕

点。顺时针旋转90。得线段OQ,连接C。，则线段C。的最小值为—国代_.

5

【分析】证明△EOP四△B。。，可得。£=。尸，PE=FQ,设PG,2尤+8）,贝I］。（2x+8,

-x）,即可求得。所在的直线，根据垂线段最短可知当CQLMN时，C。的长最短，根

据三角形相似的性质即可求得线段CQ的最小值.

【解答】解：•..直线/：y=2x+8与坐标轴分别交于A,2两点，

AA（0,8）,B（-4,0）,

:点尸为线段AB（不含端点）上一动点，将线段。尸绕点。顺时针旋转90°得线段O。,

作轴于E,QF_Ly轴于F,

由旋转可知，OP=OQ,ZPOQ=ZAOB=90°,

：.ZEOP=ZFOQ,

在△EOP和△R9Q中，

，ZPE0=ZQF0

<NEOP=/FOQ，

tOP=OQ

：.^EOP^/\FOQ（AAS）,

；.OE=OF,PE=FQ,

设尸（x,2x+8）,贝I。（2x+8,-x）.

.♦.Q点是直线y=--v+4上的点，

2

设直线y=-/x+4与x，y轴的交点为N、M点，则M(0,4),N(8,0),

•,匹=山2+82=4旄

根据垂线段最短可知当CQ，MN时，CQ的长最短，

如图，'：CQ±MN,

：.ZCQN=ZMON=90°,

'：ZCNQ^ZMNO,

：./\CNQ^/\MNO,

•CQ=CN

"OMMN，

OC=OB=4,ON=8,OM=4,

:.CN=4,

•CQ=4

"Ty'

：.

5

线段c。的最小值为延■,

5

故答案为延

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题,

属于中考压轴题.

18.(2分)如图，直线/1〃/2〃/3,A,B,C分别为直线/1，h，，3上的动点，连接A3,BC,

AC,线段AC交直线/2于点D设直线/］，/2之间的距离为直线勿/3之间的距离为

n,若NABC=90°,BD=3,且典=工，则根+”的最大值为生.

n2—4一

【分析】过3作于延长E8交石于R过A作AALL/2于N,过C作CM，％

于M,设AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,得至！JDM=y-4,DN=4-x,根据相似三角

形的性质得到孙=根〃，y=9-2x,由卫1=工可得(加十几)最大=3m，由mn=xy=x(9-2x)

n2

=9%-2，=2M2,由二次函数的性质可求M的最大值，即可求解.

【解答】解：解：过5作于E,延长血交七于R过A作ANL/2于N,过。作

CM_L/2于M，

设AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,

VBZ)=4,

：.DM=y-4,DN=4-x,

・.,ZABC=ZAEB=ZBFC=ZCMD=ZAND=90°,

AZEAB+ZABE=ZABE+ZCBF=90°,

：.ZEAB=ZCBF,

：.AABEsABFC,

•AEBEpnxm

BFCFny

»•xy=mn,

•・・ZADN=ZCDM,

：・ACMDs丛AND,

•ANDNgpjn1

，y=9-2x,

n2

・・〃2Hz,

（m+n）最大=3根,

mn=xy=x（9-2x）=9x-2^=2m2,

：.2m=-2（x-旦）2+11,

48

.,.当x=2时，m最大=—,

44

/.m+n的最大值=3»J=ZL

4

故答案为：21

4

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，二次函数的性质，正确

的作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本大题共10题，共84分.）

19.（8分）（1）计算：4sin30°-（2-、R）O+2tan45°；

（2）解方程：尤2-6尤=7.

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）利用因式分解法求解可得.

【解答】解：（1）原式=4x1_-1+2义1=2-1+2=3；

2

（2）VX2-6X-7=0,

（x-7）（x+1）=0,

贝Ux-7=0或无+1=0,

解得：x=7或x=-1.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

20.（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项

成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是

小张和小王两位同学的成绩记录：

完成作业单元测试期末考试

小张709080

小王607585

若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定期末评价成绩.

（1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？

（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？

【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得；

（2）根据加权平均数的定义计算可得.

【解答】解：（1）小张的期末评价成绩为狗*1+90X2+80X7=81（分）；

1+2+7

（2）设小王期末考试成绩为尤分，

根据题意，得：60X1+75X2+7x^80,

1+2+7

解得x284.2,

小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀.

故答案为：85.

【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

21.（6分）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0,2）、B（3,3）、C（2,1）.

（1）画出△ABC；

（2）以8为位似中心，将AABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图

形△AM；

（3）写出点A的对应点小的坐标：（-3,1）

3）、C（2,1）.在坐标系中找出连接即可;

⑵根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在

改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案.

（3）利用（2）中图象，直接得出答案.

【解答】解：（1）根据A（0,2）、B（3,3）、C（2,1）.

（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.

所画图形如下所示：

它的三个对应顶点的坐标分别是：（-3,1）、（3,3）、（1,-1）.

（3）利用（2）中图象，直接得出答案.

故答案为：（-3,1）.

【点评】此题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角

的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数.

22.（8分）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩.

（1）甲去A公园游玩的概率是1

一3一

（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率.（请用“画树状图”或“列表”或“列举”

等方法给出分析过程）

【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙恰好在同一个公园游玩的的

结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：（1）:有A、B、C三个公园，

甲去A公园游玩的概率是工；

3

故答案为：1；

3

（2）画树状图如下：

开始

共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有3种，

则甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率图■=』•.

93

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果小

再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或8的概率.

23.（8分）如图，在矩形中，已知在边上取点E,连结CE.过点E

作斯，CE,与边AB的延长线交于点足

(1)求证：△AEFs^DCE.

(2)若AB=3,A£=4,DE=6,求线段8尸的长.

【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可.

（2）利用相似三角形的性质解决问题即可.

【解答】（1）证明：•••四边形ABCQ是矩形,

AZA=ZD=90°,

：.ZAEF+ZF=90°

\'EF±CE,

：.ZCED+ZAEF^1SO°-90°=90°,

：.ZCED=ZF,又•.•/A=/O=90°,

AAFEsADEC.

(2):△AFEs/XDEC,

•AE=AF

*'DCED)

'：AB=CD=3,AE=4,DE=6,

•••—4_3--+-B-F-,

36

解得BF=5.

答：线段8尸的长为5.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

24.(8分)己知：如图，在△ABC中，AB^AC,以A2为直径的。。交BC于点。，过点

。作。瓦LAC于点E.

(1)求证：。£是。。的切线.

(2)若。。的半径为3cZC=30°,求图中阴影部分的面积.

【分析】(1)由等腰三角形的性质证出NODB=NC得出ODHAC.由已知条件证出

DELOD,即可得出结论；

(2)由垂径定理求出。凡由勾股定理得出。R求出3。，得出△2。。的面积，再求出

扇形30。的面积，即可得出结果.

【解答】(1)证明：连接0D如图1所示：

•：0D=0B,

：.ZB=Z0DB.

VAB=AC,

：.ZB=ZC.

：.ZODB=ZC.

：.OD//AC.

VZ)E±AC,

：.DE±OD,

・・・OE是。。的切线.

(2)解：过。作。口LBD于R如图2所示：

VZC=30°,AB=AC,OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=ZC=30°,

：.ZBOD=120°,

在Rt△。/。中，ZFDO=30°,

OF——OD=^-cm,

22

'DF=VOD2-OF2=-^^777-

/.BD=2DF=3y/~2icm,

S^BOD=-XBDXOF=1-X3yx3=2^77/，

2224

2

«_120Hx32

S扇形30。-------------3ncm，

360_

••S阴=S扇形BOD-SABOD==(31T--)cm.

图2

c

图1

【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、勾股定理、三角

形和扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由垂径定理和勾股定理求出。尸和

。产是解决问题（2）的关键.

25.（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm,

两个车轮的圆心的连线A8与地面平行，测得支架AC=2C=60c〃z,AC.CO所在直线与

地面的夹角分别为30°、60°,CD=5Qcm.

（1）求扶手前端。到地面的距离；

（2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为

10cm,DF=20cm,EF//AB,ZEHD=45°,求坐板EF的宽度.（本题答案均保留根号）

【分析】（1）如图2,过C作CM_LA2,垂足为M,又过。作。N_LA8,垂足为N,过

C作CGLON,构造Rt^AMC和RtACGO中，通过解这两个直角三角形求得相关线段

的长度；

（2）由平行线的性质知/EFH=NQCG=60°；根据题意得到CD=50cs,DF=20cm,

FH=20cm,如图2,过E■作垂足为。，设厂。=无，通过解RtZ\EQF和RtA

EQH,根据等量关系HQ+FQ=m=20c7w列出方程愿x+x=20,通过解方程求得答案.

【解答】（1）如图2,过C作垂足为M,

又过。作OV_LAB,垂足为N,过C作CG_L£W,垂足为G,则/OCG=60°.

'：AC=BC=60cm,AC、CQ所在直线与地面的夹角分别为30°、60°,

AZA=ZB=30°,

则在RtAAA/C中，CM=-^AC=30cm.

•.•在RtZkCGD中，sin/OCG=运，CD=50cm,

CD

.*.Z)G=CD-sinZZ)CG=50sin60°=