2023年广东省河源市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年广东省河源市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.从1,2,3,4,5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共有

()O

A.4O个B.8O个C.3O个D.6O个

已知卜+十)展开式中各项系数的和等于512,那么()

(A)10(B)9

2(C)8(D)7

3.

第1题设集合乂={1,2,3,4,5},N={2,4,6},T={4,5,6},贝IJ(MCT)

UN()

A.{4,5,6}B.{2,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6}D,{2,4,6)

/不等式即二1m1的解集是()

4.

A.'1A，<21

B二i二2；

CtIx>2或.xW；

D.

5.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为()

A.x/5+y/5=lB.x/5+y/5=l或y=3/2xC.x+y=5D.y-3=3/2(x-2)

a巳如u—y,/»«崛,且：用它的焦点坐标为

6.-

A(里0)B.(.苧.0)

C.(。割可，-党人.如图

B.如上图C.如

上图所示D.如上图示

7.若a是三角形的一个内角，则必有()

A.sin.VOB.cosa>0C.cot-^->0D.tanaVO

4L

8.由平面直角坐标系中Y轴上所有点所组成的集合是)

A.A.{(x,y))B.((x,0))C.((0,y))D.{(x,y)|xy=0)

9.下列函数()是非奇非偶函数()

A.f(x)=x

B.f(x)=x2-2|x|-l

C.f(x)=2冈

D.f(x)=2x

10.设函数f(x+2)=2x[2-5,则f(4)=()

A.-5B.-4C.3D.1

11.命题甲：Igx,Igy,Igz成等差数列；命题乙：y2=x-z则甲是乙的

（）

A.A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.既充分又必要条件D.

既非充分也非必要条件

12.过点（0,1）目与直线x+y+l=O垂直的直线方程为（）。

A.y=x+1B.y=2x+1C.y=xD,y=x-1

13.设A、B、C是三个随机事件，用A、B、C的运算关系是（）表示

事件。B、C都发生，而A不发生

D.ABC

A.AUBUCB.KBCC.AUBUC

若sintt>tanff.a€(-y.y).J||fle

A

-B.(--5-.0)C.(0.子)

14..4(f.f)

15.若平面向量a=(3,x),B=(4,-3),且a，b,则x的值等于

()

A.A.lB,2C,3D.4

下列函数中，为减函数的是

[6(A)j=x3(B)j=sinx(C)y=-x3(D)y=cosx

函数，•严一的•小正周期是

7.「3

A.-yB.w

C2vD.”

设0<a<6V1,则

(A)log,2<1叫2(B)1082a>log/

(C)a+>6+⑼同吗)'

18.

19.下列函数中，为偶函数的是（）

C_21

D.>=lg*x

A.A.AB.BC.CD.D

函数1工)=亡仪Wr的定义域是

20.Md)

A.(1.3]

C.(2,3]D.(l,2)u(2.3]

21.设集合M={X£R|XS-1},集合N={£R|ZN-3},则集合MnN=(

A.{XeRB—3<X<-1}C.{ZeRD.Z<-l}E,{XeRF.X>—3}G.(p

22.设甲：△>().乙：°有两个不相等的实数根，则

A.A.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是必要条件

C.甲是乙的充分必要条件

D.甲是乙的充分条件，也不是必要条件

£1_t=]

23.设双曲线I；”的渐近线的斜率为k,则|k|=()。

24.把点A(-2,3)平移向量a=(l,-2),则对应点A，的坐标为种不同的报名

方法.()

jx=2*

25.关于参数t的方程=2〃的图形是()

A.圆B.双曲线C.抛物线D.椭圆

“函数门，的公小人周初让()

26.

A.A.4兀B.2兀C.兀D.7i/2

27.正方形边长为a,围成圆柱，体积为（）

A.a3/4;i

B.7ia3

C.兀/2a3

D&/2兀

已知a,6eIT,且ab=a+b+3,则ab的取值范围是()

(A)a6W9(B)abN9

2g(C)3WabW9(D)aiN3

若名<夕<n^sinff=5，则coM=

29.24

A"

A.4B.-4

C—D./15

,16IF

3O.i为虚数单位，贝l+i?+i3的值为（）

A.A.lB,-lC.iD.-i

二、填空题（20题）

31.已知i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

32.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的

余弦值等于

33.设，3+2。3成等比数列.则，，=

34.已知向■<!,瓦若l<d=2.Wa-八36,则Vo.b>N

35.以点(2,-3)为圆心，且与直线X+y-l=O相切的圆的方程为

(18)从T袋装食品中抽取5袋分则称重,结果(单位：。如下：

98.6,100.1,101.4,99.5,102.2.

“求样本的方差为_________________(/)(精•到0.1/)•

36.

37.已知a=(6,2),b=(-4,1/2),直线i过点A(3,-1),且与向量a+2b

垂直，则直线i的一般方程为

38.某运动员射击10次，成绩(单位：环)如下

8、10、9、9、10、8、9、9、8、7

则该运动员的平均成绩是环.

已知球的半径为I,它的一个小圆的面积是这个球表面积的!.则球心到这个小

0

39.阅所在的平面的距离是

40.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下（单位：h）：

245256247255249260

则该样本的样本方差为———（保留小数点后一位）.

41.在5把外形基本相同的钥匙中有2把能打开房门，今任取二把，则能

打开房门的概率为.

2力+1>0

42.不等式的解集为112/

43.已知A（-1,-1）B（3,7）两点，则线段AB的垂直平分线方程为

44.直线3X+4y-12=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则aOAB的周长为.

45.

从某公司生产的安全带中随机抽取10条进行断力测试，测试结果（单位：kg）

如下：

3722、3872、4004、4012、3972、3778、4022、4006、3986、4026

则该样本的样本方差为

（精确到0.1）.

46.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

47.

甲乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是。，乙解决这个问题的

4

概率是:，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是.

校长为a的正方体ABCDA'C'D'中，异面宜线氏,与DC的距离

48.

49.

函数的图像与坐标轴的交点共有个.

50|yi8i+-|V8i-f/50i=

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

已知等比数列；a/中,a,=16.公比g=

（1）求数列la.l的通项公式；

（2）若数列的前n项的和S,=124.求n的优

52.(本小题满分13分)

从地面上A点处测山顶的仰角为a,沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为仇求山高.

53.

(本小题满分13分)

如图，已知椭B8=1与双曲线G：。-丁=1(">1)•

aa

⑴设0，的分别是G.G的离心率,证明e,e3<1;

⑵设4A是G长轴的两个端点/(颉,九>。)在J上，直线P4与C1的

另一个交点为。,直线尸名与G的另一个交点为&.证明QR平行于产轴.

54.

(本小题满分12分)

已知参数方程

'x="1-(e,+e")cosd.

y=-e*1)sind.

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若由e0y.AeN.)为常量.方程表示什么曲线?

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点♦

55.(本小题满分12分)

设数列1a.I满足5=2,az=3a.-2(“为正嚏数)，

Q*-1

⑴求q~p：

a,-1

(2)求数列ia.l的通项•

56.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

(2)过这些点的切线与直线y=x平行.

57.

(本小题满分12分)

已知等比数列｛an｝的各项都是正数,al=2,前3项和为14.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设bn=log2an,求数列｛bn｝的前20项的和.

(23)(本小题满分12分)

设函数/(z)=/-2x2+3.

(I)求曲线y=/-2d+3在点(2,H)处的切线方程;

(H)求函数八%)的单调区间.

58.

59.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

(I)求d的值；

(H)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项？

60.(本小题满分12分)

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少1。件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

四、解答题(10题)

设函数八工)=3+生，曲线y=/■)在点p(l,a+4)处切线的斜率为-3,求

(I)。的值；

(n)函数,外在区间［1,8］的最大值与最小值.

61.

62.已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA为过点A而垂直于正六边

形所在平面M的垂线，且PA=a求：

(1)点「到八：8、BC、CD各边的距离；

(II)PD与平面M所成的角.

已知函数〃*)=X+—.

X

(1)求函数人外的定义域及单调区间；

(2)求函数在区间［1,4］上的最大值与最小值.

63.

已知等比数列的各项都是正数0=2.前3项和为14.

求KQ的通项公式

64.

65.某城有东西方向的街道七条，相邻两街的距离为b南北方向的街道

八条，相邻两街的距离为a,形成一个矩形。

I.从A到D的最短途径有多少条？解析：每一条最短途径有6段b及

7段a,因此从A到D的最短途径共1716条。II.从A经B和C到D的

最短途径有多少条？

66.双曲线的中心在原点0,焦点在x轴上，且过点(3,2),过左焦点且

斜率为的直线交两条准线于M,N,OMXON,求双曲线方程.

67.

已知等差数列中.ai=9.ai+s。，

(I)求数列匕.)的通项公式：

CII)当“为何值时，数列(aj的前”项和S.取得最大值，并求出该最大值.

68.已知椭圆x2/16+y2/9=l,问实数m在什么范围内，过点(0,m)存在

两条互相垂直的直线都与椭圆有公共点.

2

69.已知等差数列前n项和Sn=2n-n.

(I)求这个数列的通项公式；

(II)求数列第六项到第十项的和.

70.1.求曲线y=lnx在(1,0)点处的切线方程

II.并判定在(O,+00)上的增减性。

五、单选题(2题)

71.根据连续函数的定义，下列函数在指定点或开区间上不连续的是()

A.f(x)=2x+1,点x=-l

B.f(x)=ax2+bx+c,点x=0

2x+3

C.12x=l

D.f(x)=l/(x-2),开区间(0,2)

六、单选题(1题)

»为虚数单位，则(2-30(3+2»)=

(A)12-13i(B)-5.

73(C)12+5i(D)12-5»

参考答案

l.D

该小题主要考查的知识点为排列组合。【考试指导】此题与顺序有

关，所组成的没有重复数字的三位数共有'1■360（个）.

2.B

3.B

4.A

5.B选项A中，x/5+y/5=l,在轴上截距为5.但答案不完整,选项B中

有两个方程，y=3/2x在X轴上横截距与y轴上的纵截距都为0,也是相等

的.选项C,虽然过点（2,3）,实质上与选项A相同.选项D,转化为y=3/2x,

答案不完整.

6.C

C那新:克朝蛾方阳町W化"标濡形式J

4

7.C

V0<a<K>0<

A借误，sin

B错误，①0Va〈£•，即a为蜕角cosa>0.

②费-VaVxJPa为钝角cosa<0,

两种情况都有可能出现••••《>««不能瑞定・

I）错误,tana=旦％，sina>°而cosa不能确定.

cosa

，D不确定.

选项C.v®0<a<y.coty>0.

义,②号—，coty>0

此两种情况均成立，故逸C.

8.C

由平面直角坐标系中y轴上所有点所组成的集合是{(0,y)}.(答案为

9.D：A,f(-x)=-x=-f(x)为奇函数.B,f(-x)=(-x)2-2卜x卜l=f(x)为偶函数.C,

f(-x)=2网=2闵=烬)为偶函数.D,f(-x)=2华f(x)#(x)为非奇非偶函数.

10.B利用凑配法，就是将函数的解析式写成关于(x+2)的函数式；

11.A

因为lfcr,kv.l信成等差畋列「丁丁•幻则甲是乙的充分而非必要条件.(谷室为A)

12.A该小题主要考查的知识点为直线的性质.【考试指导】与直线

x+y+l=0垂直的直线的斜率为1,又因为该直线过(0,1)点，故该直线

方程为y-l=lx(x―0)=>y=x+l.

13.B

选项A表示A与B发生或C不发生。选项C表示A不发生B、C不

发生。选项D表示A发生且B、C不发生

14.B

首先做出单位圆，然后根据问题的约束条件，利用三角函数线找出满

足条件的a角取值范围.

2题答案图

Vsina>tana.a€（—

又sin«=MP,tana=AT»

（1）OVa<£,sinaVtana.

（2）----VaVO<sina>tana.

故选B.

15.D

16.C

17.C

2M«

C斛析:y■产-----2——故届小正周期为手=2俅

IE—；）f

18.D

19.C

根据函数的奇偶性的定义可知y-r）为偶函数.（琴案为C）

20.D

3-«>O

{.,尸卜-1>0=>定义域为（1,2川（2.31

lx-II

21.A

22.C

甲：AXJO乙tax1+6z+c=0有两

个不相等的实数根.

23.D

该小题主要考查的知识点为双曲线的渐近线.【考试指导】

双曲线渐近线的斜率为A=士上_,故

a

本题中k=±即।A।=W.

24.A已知点A(xo,yo),向量a=(ai,a2),将点平移向量a到点A，(x,

(X=JCo+。1

V+。2,x=-2+l=-Ly=3-2=l,

y),由平移公式解，如图，由

・•・(x,y)为(-1,1).1"2

25.C由参数方程知为抛物线，可用消参法消去参数t.

6・2”(DxI：

2’,为顶点在原点的抛物线.

26.D

27.A

欲求圆柱的体积，由体积公式可知，必须知道圆柱的高(即正方形的

边长)、半径.半径可由圆柱的周长等于正方形的边长求出.如图，•・•

C=2nr=a—>r=a/27r,V柱=7rr2xa=7rx(a/2元)2=7rxa2/4兀2xa=a3/4?r.

28.B

29.B

该小题主要考查的知识点为三角函数式的变换.【考试指导】

因为2V。Vn♦所以co3^V0«cos0=

-/1-sin2^=-V1-(+y=-弯.

30.D

31.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得：

"一＜/"=公=1,i,j=j•k=i•k=0

a=i+j,b=_i+j_k,得;

a*b=(i+j)(_i+j-)

=~i2+j2

=-1+1

=0.

32.

(20)【参考答案】4

n

设三棱锥为P-ABC,0为底面正三角形.48C的中心，则〃/，±面AHC.^PCO即为梭与底

面所成角.

-48=1,则PC=2,OC哼.所以

◎

codZ,.PCO=—OC=—,

【解题指要】本题考查三棱锥的知识及线面角的求法.

正三棱锥的底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面正三角形的中

心，这是解题中应使

用的条件.

求线面角通常的方法是利用线面角的定义，求斜线和斜线在平面内的射

影所成角的大小.

33.

34.

由于cosVa.gH舟%=祟=条所以.(答案为由

35.

(一2/+6+3)'=2

36.gl.7

37.

2z—3y—9=0【解析】直线上任取一点P(z,

y)»则PA=(3—x»—1—»).因为a+2b=

(一2,3),由题知琪・(a+2b)=O,即一2(3-

a)+3(—1—1y)=0,整理得2x—3y—9=0.

38.8.7

【解析】本题主要考查的知识点为等比数列。

J=8+10+9+9+10+8+9+9+8+7

10

=87

【考试指导】

39.

20.专

40.

1-252,?=28.7（使用科学计算器计算）.（善案为28.7）

41.

在5把外形基本相同的钥匙中在2把能打开房门,今任取二把.则能打开房门的概率为

p=5dJr/，（番案为记）

42.

.【答案】《工|--/VwV}}

2x4-1.2z+l>°

尸石>0=»彳①或

U-2x>0

(2J-+1<0

②

U—2x<0

①的解集为一•1•V•rV；・②的解集为0.

(1I—十Viv+}U0={工I—十。<十〉

43.答案：x+2y-7=0解析：设线段的垂直平分线上任一点为P（x,y）

«IPA|=|PB|,ffp

〃L（-D」'+[y-（一1）了

=y（jr-3）?+（5»-7）:.

整理存，X+2y—7=0.

44.

45.

10928.8

【解析】该小题主要考查的知识点为方差.

【考试指导】

3722+3872+4004+4012+

3972+3778+4022+4006+

X~-_-3-9-8-6--+--4-02-6-----------

10

(3722—3940)2+(3872—3940)?4----H

3940,?=(、26-3940)，_________

-io

10928.8.

46.

设正方体的校长为H,6i=a一工=3,因为正方体的大对角线为球体的直径.用2r=v

=gu,即一所以这个球的表面枳是s=4/=4x•(号—'=彳/(答案为拜

48.

梭氏为a的正方体ABCD-A'B'C'D冲屏面比线与DC的距离为冬.（答案为冬

49.

【答案】2

【解析】该小题主要考查的知识点为函数图像与坐标轴的交点.

【考试指导】

当x-0时91y=2°—2=—1,故函

数与y轴交于（0,-1）点；令y=0•则有k一2=

0=工=1,故函数与工轴交于（1,0）点，因此函数

y=2,一2与坐标轴的交点共有2个.

50.答案：2心i

i+y#i一i=

1Q

目乂3⑶+^X2〃i—1x572i=272i.

51.

(I)因为a,=。］/.即16=5x},得at=64.

所以,该数列的通项公式为a.=64x(/)“-'

...64(1-

(2)由公式S,---得124=------:

If

化博得2*=32,解得n=5.

52.解

设山高CO=%则RS4DC中,40=%coia.

RtZiBDC中・8〃=”0叫3.

48=AD―80.所以asxcota-xcol/3所以x=--------

cota-cotfl

答:山离为二-a…我.

oota-col^

53.证明：（1）由已知得

将①两边平方.化简得

(*0+a),y?=(X)+a)2yj.④

由②③分别得y：=%(4-aJ),y；=^?(02-*?).

代人④整理得

同理可得盯=仁.

所以*=H/O,所以3?平行于，轴.

54.

(I)因为"0,所以e'+e-^O.e^-eVO.因此原方程可化为

~T~^=cm0'①

：立.=sin9.②

,e-e

这里e为参改①1+②1,消去参数心得

4%:31的Jq」.

(e'+e-)1-,■(«•-e-)1"，(e'-^e'7)1"(e-e-*)3='

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

(2)由“竽,&eN.知""0.。,而r为参数，原方程可化为

+e",①

cow

红/X-e”,②

Isme

①3-②,得

cos6sin。

因为2e'e'=2J=2,所以方程化简为

聂一扁

因此方程所表示的曲线是双曲线.

⑶证由(1)知，在椭圆方程中记/=运普二工."=』产工,

则C-6,=1,c=I,所以焦点坐标为(士1.0).

由(2)知.在双曲线方程中记a'=8e，.配=$而、

-则J=『+〃=l,c=l.所以焦点坐标为(±1.0).

因此(I)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

55.解

⑴a..t=3%-2

a..।-1=3a.-3=3(a.-1)

•iT-3

O.-1

(2)|a.-lI的公比为g=3,为等比数列

a,-1=(%-I)尸=g"“=3-'

a.=3"'+1

56.

(1)设所求点为(，0.)。)・

y，=-6父+2，5s+1

由于*轴所在直线的斜率为。.则-&+2=0,%=/

1+4

因此y0=-3•(y)+2*J=y-

又点(上•号)不在x轴上'故为所求.

(2)设所求为点(q.%).

由(1)，［=-6x,+2.

由于y=N的斜率为1.M-6*i>+2=I.f=干

11|7

因此九=-3•芯+2•6+4=不

又点佶吊不在直线…上.故为所求.

57.

(I)设等比数列；a」的公比为q,则2+2q+2g：=14,

即g'+g-6=0,

所以gi=2.%=-3(舍去).

通项公式为a.=2\

(2也=log,a.slog,!*=n,

设%=8+与+…+%

=I+2++20

=yx20x(20+l)=210.

(23)解：(I)/(%)=4/-4%

58,八2)=24,

所求切线方程为y-U=24(x-2),BP24x-y-37=0.……6分

(口)令/(工)=0,解得

X|="19X2=0tx3=1.

当"变化时JG)4幻的变化情况如下表：

X(-®,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+«)

7(*)-00-0

232Z

/(4)的单调增区间为(+8),单调减区间为(-8,-1),(0,

1).……12分

59.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dta,a+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)2=a2+(a-d)).

a=4(/,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d-\,

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=L

(II)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

4=3+(n-1),

3+(…1)=102,

n=100,

故第100项为102.

60.

利润=梢售总价-进货总价

设每件提价X元(M>0),利润为y元,则每天售出(100-lOx)件,销售总价

为(10+z)•(100-l0*)x

进货总价为8(100-10*)元(0<x<10)

依题意有h=(10+x)•(100-lOx)-8(100-10x)

=(2+s)(100-l0x)

=-10/+80x+200

y--20x+80,令y=0得x=4

所以当X=4即俗出价定为14元一件时,■得利润最大，♦大利润为360元

解：(1)/(*)=。-*,由题设知/(1)=-3,即。-4=-3,

所以。=】•

(n)f(*)=1令/⑴=0,解得x=±2.

/⑴=5/(2)=4/(8)=争

所以;(工)在区间［1,8］的最大值为?，最小值为4.

61.

62.

《I》皿阳所示.

・•.点P到AB的电■为a.

过A作BC的金线交CB的RK线于(；.建站N；，

：.BC1平面APG.BPPGXAB.

VAG-ya.PA-a.

二在RtAAPG中，/，A，+；a・因此PHC的*育为4*

•：PA_L平面M,

••.ACJRPC在平面M上的射影，

又TAD是正六边形ABCDEF外相II的鱼泾•

/.ZACD-W.

因此AC_LCD.所以CD_L¥l«ACP.WPC是P到CD的田陶.

•：AC-V3a.PA^a,

:.PC-/iFF-Zii.因此P到CD的距周为2。・

(口>设PD与DA所失的角力。•在Ru»AD中足2=黑.含■至'

«=・rctan-y为PD与平面M所失的利

4

解(1)函数/(X)的定义域为｛xeRbKO1/(«)=1-4

X

令/(x)=0,解得阳=-2,x2=2.

当x变化时/(》)J(x)的变化情况如下表:

X(-8,-2)-2(-2,0)(0,2)2(2,48)

r(«)0--0+

/(«)/-4、4

因此函数/(*)=x+：(x#O)在区间(-8,-2)内是增函数，在区间

(-2,0)内是减函数,在区间(0,2)内是减函数,在区间(2,+8)内是增

函数.

(2)在区间［1,4］上，

当>1时J(x)=5,当z=2时4工)=4；当x=4时/(“)=5,

因此当IWXW4时,4W(x)w5.

63.即/(*)在区间［1.4］上的最大值为5,最小值为4.

64.

CI)设等比数列M的公比为q,由题设可得2+2产2,=14.即

所以S二2・%=-3(舍去)•该数列的逋项公式为＜*・一2工

(II