北京市首都师范大学附属回龙观育新学校2025届高一下数学期末经典试题含解析

北京市首都师范大学附属回龙观育新学校2025届高一下数学期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若展开式中的系数为-20，则等于（）A．-1 B． C．-2 D．2．己知向量，，，则“”是“”的()A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形4．若，均为锐角，且，，则等于（）A． B． C． D．5．已知平行四边形对角线与交于点，设，，则（）A． B． C． D．6．直线与直线的交点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．数列的首项为，为等差数列，且（），若，，则（）A． B． C． D．8．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x图象上所有的点()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．（）A． B． C． D．10．在递增的等比数列an中，a4，a6是方程x2A．2 B．±2 C．12 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列中，已知，50为第________项.12．已知数列的首项，，.若对任意，都有恒成立，则的取值范围是_____13．在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．14．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.15．把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则________.16．若函数的反函数的图象过点，则________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（注：，）19．某百货公司1～6月份的销售量与利润的统计数据如下表：月份123456销售量x（万件）1011131286利润y（万元）222529261612附：（1）根据2～5月份的统计数据，求出关于的回归直线方程（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（参考公式：，）20．2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0,5),第二组[5,10)，第三组[10,15)，第四组[15,20)，第五组[20,25]，绘制了频率分布直方图如下图所示．已知第三组的频数是第五组频数的3倍．（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”．经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．21．如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、．并测量得到以下数据，，，，，米，米．求、两点的距离．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.2、A【解析】

先由题意，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为，，所以，若，则，所以；若，则，所以；综上，“”是“”的充要条件.故选：A【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，以及命题的充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.3、C【解析】

将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.【详解】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C为△ABC的内角故答案选C【点睛】本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.4、B【解析】

先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.【详解】解：，因为，则，故，故选：B.【点睛】本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.5、B【解析】

根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题.6、B【解析】

联立方程组，求得交点的坐标，即可得到答案.【详解】由题意，联立方程组：，解得，即两直线的交点坐标为，在第二象限，选B.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7、B【解析】由题意可设等差数列的首项为，公差为，所以所以，所以，即=2n-8,=,所以,选B.8、A【解析】

由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵，故要得到的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可，故选:A．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9、B【解析】

根据诱导公式和两角和的余弦公式的逆用变形即可得解.【详解】由题：故选：B【点睛】此题考查两角和的余弦公式的逆用，关键在于熟记相关公式，准确化简求值.10、A【解析】

先解方程求出a4，a6，然后根据等比数列满足【详解】∵a4，a6是方程x2-10x+16=0的两个根，∴a4+a6=10,a4【点睛】本题考查等比数列任意两项的关系，易错点是数列an为递增数列，那么又q>1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解析】

方程变为，设，解关于的二次方程可求得。【详解】，则，即设，则，有或取得，，所以是第4项。【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。12、【解析】

代入求得，利用递推关系式可得，从而可证得和均为等差数列，利用等差数列通项公式可求得通项；根据恒成立不等式可得到不等式组：，解不等式组求得结果.【详解】当时，，解得：由得：是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公差的等差数列，恒成立，解得：即的取值范围为：本题正确结果：【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等关系.13、6.【解析】

根据题意可将问题转化为等比数列中，已知和，求解的问题；利用等比数列前项和公式可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为设第层悬挂红灯数为，向下依次为且即从上往下数第二层有盏灯本题正确结果；【点睛】本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题，属于基础题.14、【解析】

根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.15、【解析】

第行有个数知每行数的个数成等比数列，要求，先要求出，就必须求出前行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由可知，每一行数的分母成等差数列，可求出，令，即可求出.【详解】由第行有个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是，公比是，所以，前行共有个数，所以，第行第一个数为，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.16、【解析】

由反函数的性质可得的图象过，将代入，即可得结果.【详解】的反函数的图象过点，的图象过，故答案为．【点睛】本题主要考查反函数的基本性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）A=；（2）.【解析】

（1）由正弦定理将角关系转化为变关系，再利用余弦定理得到答案.（2）利用余弦定理得到，代入面积公式得到答案.【详解】解：（1）因为所以由正弦定理可得整理可得左右同除以得到,即A=(2)由余弦定理，得，故，所以三角形的面积.【点睛】本题考查了是正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.18、(1)见解析.(2).(3)吨.【解析】

（1）直接描点即可（2）计算出的平均数，，及，，利用公式即可求得，问题得解．（3）将代入可得，结合已知即可得解．【详解】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；（2）计算，，，，∴回归方程的系数为：.，∴所求线性回归方程为；（3）利用线性回归方程计算时，，则，即比技改前降低了19.65吨.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，考查计算能力，还考查了线性回归方程的应用，属于中档题．19、(1)；（2）见解析.【解析】

（1）求出，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到关于的线性回归方程；（2）将月份和月份的销售量值代入回归直线方程，求出预测值，并计算预测值与实际值之间的误差，结合题意来判断（1）中所得回归直线方程是否理想。【详解】（1）计算得，，，则，；故关于的回归直线方程为．（2）当时，，此时；当时，，此时．故所得的回归直线方程是理想的．【点睛】本题考查回归直线方程的应用，解题的关键就是弄清楚最小二乘法公式，并准确代入数据计算，着重考察计算能力，属于中等题。20、（1）a=0.06，平均值为12.25小时（2）【解析】

（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，从而得到这2人来自不同组别的概率．【详解】（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为，第三组的频率为∴该样本数据的平均数所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时．（2）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为，则从该6人中选拔2人的基本事件有：共15种，其中来自不同的组别的基本事