浙江省宁波市六校联考2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

浙江省宁波市六校联考2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．若，均为锐角，且，，则等于（）A． B． C． D．3．已知是圆上的三点，（）A． B． C． D．4．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A．1 B． C． D．5．已知数列满足，，，则的值为（）A．12 B．15 C．39 D．426．函数的一个对称中心是（）A． B． C． D．7．在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知圆经过点，且圆心为，则圆的方程为A． B．C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．已知点到直线的距离为1，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知直线平面，，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有________条.12．已知数列，其中，若数列中，恒成立，则实数的取值范围是_______.13．已知：，则的取值范围是__________．14．数列的前项和,则的通项公式_____.15．方程在区间内解的个数是________16．△ABC中，，，则=_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，．（1）若，求的值．（2）记，在中，满足，求函数的取值范围．18．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．（1）求b；（2）求∠A．19．设向量，，.（1）若，求实数的值；（2）求在方向上的投影.20．已知、、是的内角，且，.（1）若，求的外接圆的面积：（2）若，且为钝角三角形，求正实数的取值范围.21．已知四棱锥中，平面，，，，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）试在线段上确定一点，使得平面，并加以证明．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若，，则可能，所以不正确.D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.

所以，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.2、B【解析】

先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.【详解】解：，因为，则，故，故选：B.【点睛】本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.3、C【解析】

先由等式，得出，并计算出，以及与的夹角为，然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值．【详解】由于是圆上的三点，，则，，故选C．【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，解题的关键就是要确定向量的模和夹角，考查计算能力，属于中等题．4、D【解析】

根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.【详解】由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:因为直线与平面没有公共点所以平面,即平面,平面平面此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值此时三角形的面积最小故选:D【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.5、B【解析】

根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可．【详解】由题意得所以为等差数列，，，选择B【点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题．6、A【解析】

令，得：，即函数的对称中心为，再求解即可.【详解】解：令，解得：，即函数的对称中心为，令，即函数的一个对称中心是，故选：A.【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，属基础题.7、C【解析】

由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.【详解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.8、D【解析】

先计算圆半径，然后得到圆方程.【详解】因为圆经过，且圆心为所以圆的半径为，则圆的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了圆方程，先计算半径是解题的关键.9、D【解析】

由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径，高的扣在平面上的半圆柱，由此能求出该几何体的体积【详解】由几何体的三视图得：

该几何体是一个底面半径，高的放在平面上的半圆柱，如图，

故该几何体的体积为：故选：D【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．10、D【解析】

根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.【详解】由题,,因为,故.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

利用线面平行的性质定理来进行解答.【详解】过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，故答案为：1.【点睛】本题考查线面平行的性质定理，是基础题.12、【解析】

由函数（数列）单调性确定的项，哪些项取，哪些项取，再由是最小项，得不等关系．【详解】由题意数列是递增数列，数列是递减数列，存在，使得时，，当时，，∵数列中，是唯一的最小项，∴或，或，或，综上．∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查数列的单调性与最值．解题时楞借助函数的单调性求解．但数列是特殊的函数，它的自变量只能取正整数，因此讨论时与连续函数有一些区别．13、【解析】

由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得，所以，又因为，所以，解得，所以，故填.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.14、【解析】

根据和之间的关系,应用公式得出结果【详解】当时,；当时,；∴故答案为【点睛】本题考查了和之间的关系式,注意当和时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题15、4.【解析】分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.详解：，所以或，因为，所以或或或，故解的个数是4.点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.16、【解析】试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此考点：正余弦定理三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）求出数量积，由二倍角公式和两角和的正弦公式化简，求出，然后结合诱导公式和余弦的二倍角公式可求值；（2）应用两角和的正弦公式可求得，得有范围，由（1）的结论得，即其范围．【详解】（1）由题意，，．（2）由（1），由得，三角形中，∴，．则，，∴．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查两角和正弦公式，二倍角公式，考查三角函数的性质．解题中利用三角公式化简变形是解题关键，本题属于中档题．18、（1）；（2）∠A＝120°.【解析】

由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，进而求出∠A的值．【详解】（1）由正弦定理得＝可得，＝＝，所以b＝＝1．（2）由余弦定理得cosA＝＝＝，又因为，所以∠A＝120°．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b的值，是解题的关键．19、（1）；（2）.【解析】

（1）计算出的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值；（2）求出和，从而可得出在方向上的投影为.【详解】（1），，，，，，解得；（2），，在方向上的投影.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.20、（1）（2）【解析】

（1）根据同角三角函数基本关系先求得，再由正弦定理求得即可；（2）因大小不能确定，故钝角不能确定，结合三角形三边关系和余弦定理特点即可判断【详解】（1）由，又，即，故外接圆的面积为：（2），，，根据三边关系有，当为钝角时，可得，即，解得，故；当为钝角时，可得，即，解得，故；综上可得的范围是【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦定理和三角形中形状的判断的关系，属于中档题21、（1）见解析（2）存在线段上的中点，使平面，详见解析【解析】

（1）利用条件判断CM与PA、AB垂直，由直线与平面垂直的判定定理可证.（2）取PB的中点Q，PA的中点F，判断四边形CQF