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文档简介

二、无界函数的反常积分一、无穷限（区间）的反常积分5.5定积分在几何上的应用表示为一、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某分布f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法

(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值面积：二、平面图形的面积1.1直角坐标之一般情形面积元素：

xoycdyy+dy类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线与两直线与所围成的平面图形的面积为面积元素面积：类似地可得，由区间[c,d]上的两条连续曲线与

，（当）

以及两直线与所围成的平面图形的面积为

xoycdyy+dy【解Ⅰ】两曲线的交点面积元素选x为积分变量【解Ⅱ】选y为积分变量面积元素【问题】积分变量只能选x吗？【问题】多条曲线围成的曲面怎么求解？将图像的面积分割进行处理。分割后每一部分都是前面所学的简单图形的面积，分别求其面积，再求和。【解】两曲线的交点选x为积分变量于是所求面积【说明】注意各积分区间上被积函数的形式．【解】两曲线的交点如果选x为积分变量的话，分割为两部分之和若选x为积分变量，则如下故选y为积分变量由此我们看到，积分变量选取适当，则可使计算简便.例

4求y=sinx，y=cosx，解由上述公式知所围成的平面图形的面积.也可以先作出该平面图形的草图，如图，就不必用公式了.则直接可得y=cosxxOy=sinx1y例

5求椭圆x=acost，y=bsint的面积，其中a>0，b>0.

解因为图形关于x轴、y轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，把x=acost，y=bsint代入上述积分式中，上、下限也要相应地变换(满足积分变量t

).由定积分的换元公式得即xyO三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有例6.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)【解】直线OP方程为【解】直线OP方程为例8.

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