2023-2024学年九年级上学期期中复习原卷版（苏科版）期中复习07：弧长及扇形面积、圆锥侧面积

弧长及扇形面积、圆锥侧面积专题复习三

知识点5:求侧面展开图圆心角

知识点6:圆锥实际应用

【考纲解析】

弧长及扇形面积是考试的必考内容，可以是选择，填空也可以是解答题，同时可以考察基础，也可以考

察压轴的内容；基础内容的考察一般都是求弧长、圆心角、规则的扇形面积问题，这些内容只要掌握基本

公式就可以计算，在中等题或压轴题中考察的一般是某点的轨迹，扫过的面积，不规则图形的面积，这里

最常考的就是不规则图形的面积问题，对于学生知识点的应用能力要求更多，一些解题的思路问题；比如

不规则图形面积问题常用的割补法问题，转化法问题，所以学生要熟练掌握基础知识，还要学会同类型题

的解题思路和方法。

圆锥侧面积也是常考的知识点，不过它的考察是两极分化的现象，一般基础题考察就是基础的求侧面

积、圆锥地面半径、圆锥高问题，中考也是经常在填空和选择中出现的比较多，只要掌握基本计算公式，

就可以拿分；如果在压轴题或者中等题出现，一把考察新定义或者阅读理解应用的题型居多，这就要求学

生要学会知识点的迁移和灵活应用，建议多做同类题型，找适合自己的做题方法，这样掌握的更好

【考点一：弧长及扇形面积】

1.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，在AABC中，AB=AC,以AC为直径的。。与力B,BC分别交于

点。，E,连接AE,DE,若4BED=45°,AB=2,则阴影部分的面积为（）

2TT

C.D.7t

3

2.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，RtzkABC中，^ACB=90°,^CAB=30°,BC=2,O,〃分别

为边力B,AC的中点，将△ABC绕点8逆时针旋转120。到△&BCI的位置，则整个旋转过程中线段。“所扫过

部分的面积（即阴影部分面积）为（）

A.》一1百B.|n+|V3C.7TD.|n+V3

3.（2023•江苏镇江•校联考一模）如图，菱形2BCD的边长为12,NB=60。，点E为BC边的中点.点M从点E

出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，点N同时从点4出发，以每秒2个单位的速度向点。运动，连接MN,

过点C作CHLMN于点H.当点M到达点B时，点N也停止运动，则点H的运动路径长是（）

4.（2023秋•江苏•九年级专题练习）习近平总书记强调："青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前

途，民族就有希望如图①是一块弘扬"新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图

②所示，它是以。为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角N。=120。形成的扇面，若04=3m,OB=1.5m,

则阴影部分的面积为（）

5.（2023秋,江苏•八年级专题练习）如图，在RtAABC中，NC=90。，分别以各边为直径作半圆，图中阴影

部分在数学史上称为"希波克拉底月牙"，当AC=6,BC=3时，则阴影部分的面积为（）

99

A.-B.-TtC.9TTD.9

22

6.（2022秋・江苏连云港•九年级校考阶段练习）如图，已知N2BC=90°,AB=10,BC=5,半径为2的。。

从点/出发，沿4-C方向滚动到点C时停止，圆心。运动的路程是.

7.（2023・江苏盐城・统考中考真题）如图，在RtAABC中，乙4c8=90。，ZB=6O°,BC=3,将△2BC绕点

C逆时针旋转到AEDC的位置，点B的对应点。首次落在斜边4B上，则点4的运动路径的长为.

8.（2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习）如图，已知。是。。上任意两点，且力。=6,以2D为边

作正方形4BCD,若4D边绕点。旋转一周，则BC边扫过的面积为.

B

b

9.（2022•江苏南京•模拟预测）如图，在RtaAOB中，AAOB=90°,OA=3,OB=2,^RtAAOB^O^

时针旋转90°后得也△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段EO,分别以。，E为圆心，。4、ED长

为半径画弧4F和弧OF,连接ZD,则图中阴影部分面积是.

10.（2021,江苏盐城•统考二模）如图，团。的半径为10,/、。是圆上任意两点，且/。=8,以为边作

正方形4BCD（点C、。在直线4D两侧）若4D边绕点。旋转一周，则3c边扫过的面积为

11.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，扇形/。2中，的。8=90。，04=2,连接/瓦以点2为圆心,

以08的长为半径作弧，交弧于点C,交弦N8于点。，则图中阴影部分的面积为.

12.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，已知。。的半径为3,4B是直径，分别以点4B为圆心，以4B的

长为半径画弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是.

13.（2023秋•江苏盐城•九年级景山中学校考阶段练习）如图1,扇形力OB中，AAOB=90°,。4=13,点尸

在半径。8上，连接4P.

（l）tEA40P沿4P翻折，点。的对称点为点Q.

①当点。刚好落在弧力B上，求弧4Q的长；

②如图2,点。落在扇形4。8外，力Q与弧48交于点C,过点。作QH1CM,垂足为H,4H=3、求AC的

长；

⑵如图3,记扇形AOB在直线2P上方的部分为图形跖把图形沙沿着力P翻折，点8的对称点为点E,弧4E

与CM交于点尸，若。F=3,求P。的长.

14.（2023,江苏,统考中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°.

⑴尺规作图：作O0,使得圆心。在边4B上，。。过点8且与边力C相切于点。（请保留作图痕迹，标明相应

的字母，不写作法）；

⑵在（1）的条件下，若乙4BC=60。,力B=4,求。。与△力BC重叠部分的面积.

15.（2023秋•江苏盐城•九年级景山中学校考阶段练习）如图，在RtzkABC中，ZC=90°.

（1）尺规作图：作O。，使得圆心。在边4B上，。。过点2且与边AC相切于点。（请保留作图痕迹，标明相

应的字母，不写作法）；

⑵在（1）的条件下，若乙48c=60°,AB=6,求O。与△ABC重叠部分的面积.

16.（2023,江苏徐州•校考三模）如图，已知尸是。。外一点.按要求完成下列问题:

⑴作图：（保留作图的痕迹）

①连接OP,与。。交与点/,延长4。，与。。交于点8；

②以点P为圆心，OP长为半径画弧，以点。为圆心，长为半径画弧；

③两弧相交于点C,连接。C,与。。交于点。，连接DP,BD.

（2）证明：DP为。。的切线；

⑶计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧BD与弦BD所围"弓形”的面积为

cm?.（结果保留根号或精确到0.1cm）

17.（2021秋•江苏盐城•九年级统考阶段练习）如图，在AABC中，经过48两点的回。与边3c交于点£,

圆心。在8c上，过点。作。D1BC交回。于点。，连接ND交8c于点尸，S.AC=FC.

（1）试判断NC与回。的位置关系，并说明理由；

（2）若尸C=百，CE=1.求图中阴影部分的面积（结果保留n）.

D

18.（2019秋,江苏盐城•九年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的边长是5,点。在AD上，且的直

径是4.

⑴正方形的对角线BD与半圆O交于点F,求阴影部分的面积;

（2）利用图判断，半圆。与AC有没有公共点，说明理由.（提示：72=1,41）

⑶将半圆。以点E为中心，顺时针方向旋转.

①旋转过程中，回BOC的最小面积是

②当半圆0过点A时，半圆。位于正方形以外部分的面积是.

19.（2023•江苏南京•统考二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的小棒不一

定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？

已知小棒长度为4,宽度不计.

方案1：将小棒绕4B中点。旋转180。到夕4,设小棒扫过区域的面积为Si（即图中灰色区域的面积，下同）;

方案2：将小棒先绕/逆时针旋转60。到4C,再绕C逆时针旋转60。到CB,最后绕8逆时针旋转60。到B'4,

设小棒扫过区域的面积为S2.

（1）①£=,S2=；（结果保留兀）

②比较S1与52的大小.（参考数据：7T«3.14,V3«1.73.）

（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三

次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形.

①补全方案3的示意图；

②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3,求S3.

⑶设计方案4,使小棒扫过区域的面积S4小于S3,画出示意图并说明理由.

20.（2022秋•九年级课时练习）定义：有一个角为45。的平行四边形称为半矩形.

⑴如图1,若EL48CD的一组邻边N8=4,AD=7,且它的面积为14&.求证：EL48CD为半矩形.

（2汝口图2,半矩形/BCD中，EMAD的外心。（外心。在EL4AD内）到48的距离为1,0。的半径=5,求

的长.

（3）如图3,半矩形/BCD中，酎=45。，AD=BD=4

①求证：CD是a4Ao外接圆的切线；

②求出图中阴影部分的面积.

【考点二：圆锥侧面积】

1.（2023春•江苏南通•九年级专题练习）斐波那契螺旋线也称"黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1,1,2,

3,5,...画出来的螺旋曲线.如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1,1,

2,3,5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）

A.-B.2C.-D.4

42

2.（2022・江苏•九年级专题练习）如图所示，矩形纸片4BCD中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片4BFE和

矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形4BF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面

C.6ncm2D.811cm2

3.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，在菱形纸片4BCD中，AB=6,乙4BC=60。，分别剪出扇形ABC和

QO,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面.若点。在BD上，贝加。的最大值是（）

C.3V3+1D.3V3+2

4.（2023春•江苏泰州•九年级统考阶段练习）如图，有一张正方形铁皮，要剪出如图所示的扇形铁皮及半径

为1的圆形铁皮，用扇形和圆形铁皮围成一个圆锥（接头处重合部分忽略不计），则正方形的边长为.

5.（2022春•江苏•九年级期末）设一个圆锥的底面积为10,它的侧面展开后平面图为一个半圆，则此圆锥

的侧面积是.

6.（2022春・江苏•九年级期末）如果圆锥底面圆的半径为3cm,它的侧面积为127rcm2,则这个圆锥的母线

长为cm.

7.（2022秋・江苏•九年级期中）如图，AZBC中，ZC=90°,NB=60。，AC=3,以NC为轴旋转一周得到

一个圆锥，则该圆锥的侧面积为.

8.（2023秋・江苏•九年级专题练习）如图是一张直角三角形卡片，a4cB=90。，AC=BC,点、D、E分别在边

AB、AC±,4D=2cm,DB=4cm,DESAB.若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积

为_cm2.

9.（2023秋,江苏,九年级专题练习）如图，圆锥的轴截面是边长为6c加的正三角形NBC,P是母线NC的中

点.则在圆锥的侧面上从3点到P点的最短路线的长为

10.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，在一张四边形4BCD的纸片中，AB||DC,AD=AB=BC=2叵

AD=45。，以点4为圆心，2为半径的圆分别与力B、4。交于点E、F.

DC

（1）求证：DC与02相切；

（2）过点2作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

⑶若用剪下的扇形4EF围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆

锥的底面？

11.(2022秋•九年级课时练习)如图，等腰三角形/8C中，当顶角曲的大小确定时，它的对边(即底边

BC)与邻边(即腰Z8或NC)的比值也就确定，我们把这个比值记作7(/),即7缶)=个鬻^)=第

乙A的邻边(腰］AB

如T(60°)=1.

(1)理解巩固：T(90")=,T(120°)=；

(2)学以致用：如图2,圆锥的母线长为9,底面直径P0=8,一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到

点Q-

①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；

②求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1).(参考数据：T(160°)=1.97,T(80°)=1.29,T(40°)=0.68)

弧长及扇形面积、圆锥侧面积专题复习三

弧长及扇形面积是考试的必考内容，可以是选择，填空也可以是解答题，同时可以考察基础，也可以考

察压轴的内容；基础内容的考察一般都是求弧长、圆心角、规则的扇形面积问题，这些内容只要掌握基本

公式就可以计算，在中等题或压轴题中考察的一般是某点的轨迹，扫过的面积，不规则图形的面积，这里

最常考的就是不规则图形的面积问题，对于学生知识点的应用能力要求更多，一些解题的思路问题；比如

不规则图形面积问题常用的割补法问题，转化法问题，所以学生要熟练掌握基础知识，还要学会同类型题

的解题思路和方法。

圆锥侧面积也是常考的知识点，不过它的考察是两极分化的现象，一般基础题考察就是基础的求侧面

积、圆锥地面半径、圆锥高问题，中考也是经常在填空和选择中出现的比较多，只要掌握基本计算公式，

就可以拿分；如果在压轴题或者中等题出现，一把考察新定义或者阅读理解应用的题型居多，这就要求学

生要学会知识点的迁移和灵活应用，建议多做同类题型，找适合自己的做题方法，这样掌握的更好

【考点一：弧长及扇形面积】

1.（2023秋・江苏•九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC,以4c为直径的。。与AB,BC分别交于

点。，E,连接力E,DE,若NBED=45。，AB=2,则阴影部分的面积为（）

2兀

C.D.71

3

【答案】A

【分析】连接。氏0D,证明Su。。=S-ED，可得S阴影=S扇形040,求解乙4。。=90。，再利用扇形的面积

公式计算即可.

【详情解析】解：连接。氏OD,

•・FC为。。的直径，

Z.AEC=90°,

9：AB=AC,

：.BE=CE,

即点E是BC的中点，

•・•点O是47的中点，

・・・。£是△ABC的中位线,

J.OE//AB,

••S“oo=SLAED，

，S阴影=S扇形0/0,

•・ZEC=90°,

：.^AEB=90°,

■:(BED=45°,

：.Z.AED=45°,

：.Z.AOD=90°,

・s_90TTX12_71

・・3扇形O/O=360="

故选：A.

【提优突破】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的证明S阴影=

S扇形。4D是解本题的关键・

2.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，RtAZBC中，乙4cB=90。，^CAB=30°,BC=2,O,“分别

为边AB,AC的中点，将AABC绕点2逆时针旋转120。到AAiBCi的位置，则整个旋转过程中线段。H所扫过

部分的面积（即阴影部分面积）为（）

A

A.—兀—V3B.—itH—V3C.nD.—it+y[3

38383

【答案】C

【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为以点B为圆心，OB、BH为半径的两

个扇形组成的一个环形，分别求出OB、BH,即可求出阴影部分面积.

【详情解析】解：连接BH,BH「

VO>H分别为边AB,AC的中点，将AABC绕点B逆时针旋转120。到AA1BC1的位置，

•■△OBH=△O]BH],

.•.线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为以点B为圆心，OB、BH为半径的两个扇形组成的一个环形,

WACB=90°,ZCAB=30°,BC=2,

.,.AB=2BC=4,

.*.AC=VAB2-BC2=V42-22=2V3,

为边AC的中点，

.".CH=-AC=V3,

2

BH=VBC2+CH2=J22+(V3)2=V7,

...阴影部分面积=12OM?H：-BC2）120nx(7-4)

360

故选：c.

【提优突破】本题考查的是扇形面积的计算，涉及到直角三角形的性质及旋转的性质，根据题意作出辅助

线，构造出全等三角形是解题的关键.

3.（2023・江苏镇江•校联考一模）如图，菱形ABCD的边长为12,NB=60。，点E为BC边的中点.点M从点E出

发，以每秒1个单位的速度向点B运动，点N同时从点力出发，以每秒2个单位的速度向点。运动，连接MN,

过点C作CH1MN于点当点M到达点B时，点N也停止运动，则点”的运动路径长是（）

AND

ME

C2遮n46

A.6B.12C.----TCD.——71

33

【答案】D

【分析】如图,连接AE、AC、BD,设AC、BD交于点P,AE交MN于点F,连接CF,设CF中点为0,连接OP、

0E,根据菱形及等边三角形得性质可得AE，BC,AANF-AEBF,可得出累=；,可得MN必经过点F,根据

AF2

ZFEC=ZCHF=90°,可得点H在以CF为直径的圆上，根据M、N的速度及菱形性质可得当点M达到点B时,

点N达到点D,AC1BD,可得点H点运动路径长是EP的长，利用勾股定理可求出CF的长，根据圆周角定理可

得NE0P=120°,利用弧长公式即可得答案.

【详情解析】如图，连接AE、AC、BD,设AC、BD交于点P,AE交MN于点F,连接CF,设CF中点为0,连接

,菱形ABCD的边长为12,ZB=60°,

AAB=BC=12,AABC是等边三角形，

•.•点E为BC边的中点，

.♦.AE1BC,BE=CE=^AB=6,AE=6百，

2

•・,点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位,

.ME_1

**AN-2f

VAN||ME,

.,.△ANF~AEBF,

.EF_ME_1

••AF一AN-2'

FE=|AE=2V3,CF=VFE2+CE2=4A/3,

；.MN必经过点F,

VCH1MN,AE1BC,

二点H在以CF为直径的圆上，且F、E、C、H四点共圆，

・・•当点M达到点B时，点N达到点D,AC1BD,

・••点H点运动路径长是EP的长，

VzBCA=60°,EP=EP,

.,.ZEOP=2ZBCA=120°,

.,.EP=粤等=竽加即点H点运动路径长是竽it.

18033

故选：D.

【提优突破】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理

及弧长公式，正确得出点H的运动轨迹是解题关键.

4.（2023秋•江苏•九年级专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前

途，民族就有希望”.如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图

②所示，它是以。为圆心，。8长分别为半径，圆心角4。=120。形成的扇面，若。4=3m,OB=1.5m,

则阴影部分的面积为（）

【答案】A

【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据S阴影=S大扇形-S小扇形即可求解.

【详情解析】解：根据题意可得：

•.20=120°,OA=3m,OB=1.5m,

・c120nx32r/2、c12011X1.523,八

.•S大扇形==3mm2）,S小扇形=360=1Mm2）,

'S阴影=S大扇形一S小扇形=3豆_]=*（1112）,

故选：A.

【提优突破】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式S扇形=喘.

5.（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在RtA4BC中，NC=90。，分别以各边为直径作半圆，图中阴影

部分在数学史上称为“希波克拉底月牙"，当AC=6,BC=3时，则阴影部分的面积为（）

c

AB

99

A.-B.-7tC.9兀D.9

22

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出AB,然后根据S阴影=S半圆AC+S半圆BC+SAABC-S半圆AB计算即可。

【详情解析】解：根据勾股定理可得AB=VAC2+BC2=3V5

,•S阴影=S半圆AC+S半圆BC+SAABC—S半圆AB

222

=1K/AC\+1K/BC\11/AB\

2(T)2(T)+-AC-BC--n(T)

2

1/6\21/3\211/3V5\

+亦x(?+/6X3-尹x亍

9945

=-IT+-n4-9——71

288

=9

故选：D.

【提优突破】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角

形的面积公式是解决此题的关键.

6.（2022秋•江苏连云港•九年级校考阶段练习）如图，已知乙48c=90°,AB=10,BC=5,半径为2的。。

从点A出发，沿AtB-C方向滚动到点C时停止，圆心。运动的路程是

【答案】15+TT

【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：001，0］。2,。2。3,分别计算出各部分的长再相加

即可

【详情解析】解：圆心O运动路径如图：

V00t=AB=10；弧。1。2的长度为^^=兀；。2。3=BC=5,

圆心O运动的路程是10+TT+5=15+n.

故答案为：15+TT.

【提优突破】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键.

7.（2023•江苏盐城•统考中考真题）如图，在Rt△力BC中，^ACB=90°,zB=60°,BC=3,将△ABC绕点C逆

时针旋转到△EDC的位置，点8的对应点D首次落在斜边48上，则点4的运动路径的长为.

【答案】A/3TT

【分析】首先证明△BCD是等边三角形，再根据弧长公式计算即可.

【详情解析】解：在R3ABC中，VzACB=90°,ZB=60°,BC=3,

.".AB=2BC=6,

由旋转的性质得CE=CA=VAB2-BC2=3V3,zACE=zBCD=900-zACD,

CB=CD,

；.△BCD是等边三角形，

."BCD=60°=Z.ACE,

...点A的运动路径的长为笔子=V3TT.

故答案为：V3n.

【提优突破】本题考查了旋转变换，含30。直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，

解题的关键是证明△BCD是等边三角形.

8.（2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习）如图，已知/、。是O0上任意两点，且4。=6,以AD为边

作正方形力BCD,若4。边绕点。旋转一周，贝UBC边扫过的面积为

B

【答案】9n

【分析】如图所示，连接OD、0C,过点。作0E1AD于点E,延长0E交BC于点F.则BC边扫过的面积为以

0C为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出DE=AE=3,进而可得出CF=DE=3,

再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出BC边扫过的面积.

【详情解析】解：如图所示，连接OD、0C,过点。作OE1AD于点E,延长0E交BC于点F.

由垂径定理可得DE=AE=|AD=3.

•..四边形ABCD为正方形，

.♦.BCIIAD,AD=BC=6,ZCDA=90°,

."CFO=ZDEO=90°,

四边形DEFC为矩形，CF=DE=3.

；AD边绕点。旋转一周，则BC边扫过的图形为以0C为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，

二圆环面积为S=ir-OC2--rrOF2=ir(OC2-OF)2=it-CF2=9Tt.

故答案为：91T.

【提优突破】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AD边的旋转，找

出BC边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键.

9.(2022•江苏南京•模拟预测)如图，在Rt△力。B中，AA0B=90°,0A=3,0B=2,将RtAAOB绕。顺

时针旋转90°后得FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以。，E为圆心，。4ED长

为半径画弧4尸和弧。F,连接4D,则图中阴影部分面积是.

【答案】8-1T

【分析】作DHLAE于H,根据勾股定理求出AB,根据阴影部分面积=AADE的面积+AEOF的面积+扇形

AOF的面积一扇形DEF的面积计算即可得到答案.

【详情解析】解：作DHLAE于H,

VZAOB=90°,0A=3,0B=2,

AAB=VOA2+OB2=V13,

由旋转得△EOF0ZXBOA,

ZOAB=ZEFO,

ZFEO+ZEFO=ZFEO+ZHED=90°,

ZEFO=ZHED,

；./HED=/OAB,

ZDHE=ZAOB=90°,DE=AB=V13,

AADHE^ABOA(AAS),

DH=OB=1,AE=AO+OE=3+2=5,

阴影部分面积=AADE的面积+AEOF的面积+扇形AOF的面积一扇形DEF的面积=|x5x2+|x3x

c.9011X329011X13

24----------------------=8—TT,

360360

故答案为：8-n.

【提优突破】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公

式和旋转的性质是解题的关键.

10.（2021•江苏盐城・统考二模）如图，。。的半径为10,A,。是圆上任意两点，且/。=8,以ND为边作

正方形488（点C、。在直线4D两侧）若4D边绕点。旋转一周，则3c边扫过的面积为

【分析】连接OD、OC,过点O作OELAD于点E,延长OE交BC于点F.则BC边扫过的面积为以OC

为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，禾I］用垂径定理即可得出DE=AE=4,进而可得出CF=DE=4,再根

据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出BC边扫过的面积.

【详情解析】解：如图所示，连接OD、OC,过点O作OELAD于点E,延长OE交BC于点F.

：AD为弦，OEXAD,

由垂径定理可得DE=AEgAD=4.

•••四边形ABCD为正方形，

；.BC〃AD,AD=BC=8,

ZCFO=ZDEO=90°,

二四边形DEFC为矩形，CF=DE=4.

：AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，

.••圆环面积为S=7r・OC2-7i・OF2=7t（OC2-OF2）F・CF2=16兀.

故答案为：16兀.

【提优突破】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AD边的旋转,

找出BC边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键.

11.（2023秋・江苏•九年级专题练习）如图，扇形/O8中，NNO8=90。，OA=2,连接以点8为圆心,

以的长为半径作弧，交弧于点C,交弦于点。，则图中阴影部分的面积为

【答案】fir-V3

6

【分析】连结BC、0C先求出ABOC是等边三角形，然后分别求出扇形BOC、扇形OBD和弓形ODC的面积，最

后根据S弓形COD=S扇形BOC一S/^BOC计算，即可求出结果.

【详情解析】解：如图，连结BC、0C,

/0C=OB=BC,

••△BOC是等边三角形，

\ZBOC=60°,

,«_60OXTTX4_2TI

・'扇形BOC=360。=T，

・"ABO=45。，

・c_45°X7TX22_TT

,3扇形OBD=-360。=2f

S-X2X

S弓形COD=S扇形BOC_ABOC=y|V3=y-V3,

=+__=_

S阴影=S扇形B0C+s弓形C0D-s扇形OBDTT^7T^-

故答案为：—V3.

6

【提优突破】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，掌握用割补法求面积和熟记扇形面积公

式是解题的关键.

12.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，已知。。的半径为3,4B是直径，分别以点力、B为圆心，以的

长为半径画弧.两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是

B

【答案】15TT-18V3

【分析】连接BC,先判断△ABC是等边三角形，由图可得S阴=4S弓形BC+2SAABC-SOO.

【详情解析】解：连接BC,如图所示，

由题意可得：AB=BC=AC,

」.△ABC是等边三角形，

.\ZBAC=60°,

二S弓形BC=S扇形BAC—SAABC>

,,5阴=4s弓形BC+2S&ABC-SQO

4

=（S扇形BAC_SAABC）+2S&ABC-SQ0

=4s扇形BAC—2SAABC-soo

60-rtx621、

=4x----------2x-x6x6xcos600-itx3，

3602

=15TT-18A/3

故答案为：15n-18V3.

【提优突破】本题考查了求阴影部分的面积，利用面积分割法是解题的关键.

13.（2023秋•江苏盐城•九年级景山中学校考阶段练习）如图1,扇形40B中，4OB=90。，。4=13,点尸

在半径0B上，连接4P.

HA0

图2图3

(1)把44OP沿AP翻折，点O的对称点为点Q.

①当点。刚好落在弧力B上，求弧4Q的长；

②如图2,点0落在扇形4。8外，4Q与弧4B交于点C,过点0作QH104,垂足为H,4"=3、求47的

长；

(2)如图3,记扇形40B在直线4P上方的部分为图形M把图形沙沿着2P翻折，点8的对称点为点E,弧4E

与。4交于点足若。F=3,求P。的长.

【答案】(1)①AQ弧长为£TT；②AC=6

⑵弓

【分析】(1)①连接0Q,根据折叠的性质可得AQOA是等边三角形，可得NQOA=60。，再根据弧长公式即

可求解；

②过点O作OG1AQ,垂足为点G,则AG=GC,根据AAS可得AAOG三AAQH,由此即可求解；

(2)将AAOP沿着AP翻折得AAQP,过点Q作QH1AF,垂足为点H,过点P作PDLOH,垂足为点D,则

四边形OHDP是矩形，RSQHA中，可求出QH=12,在RtZkQPD中，再根据勾股定理即可求解.

【详情解析】(1)连接0Q,由翻折得OA=AQ

VOQ=OA,

.♦.△AOQ为等边三角形

ZAOQ=60°

；.AQ弧长为：—X2TTX13=—TT

3603

②过O作OG1AQ

H

AAG=GC

•••翻折

.".AO=AQ

在△AOG与△AQH中

ZAGQ=ZAHQ=90°

zOAQ=zQAO

,AO=AQ

△AOG三△AQH(AAS)

AAG=AH

.".AC=2AH

VAH=3

.".AC=6

(2)如图所示，将AOP沿着AP翻折得△AQP

过点Q作QH1AF,垂足为点H,过点P作PD1OH,垂足为点D

VzAOB=90°

...四边形OHDP是矩形

由折叠和(1)可知，AH=FH

VOF=3,

AAH=FH=5

；.OH=PD=8,

R3QHA中，

QH2=AQ2-AH2=132-52=144

QH=12

设OP=x,则DH=PQ=x

DQ=12-x

PQ2=PD2+QD2

x2=82+(12-x)2

26

X=T

.♦.PO的长为g.

【提优突破】本题考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，勾股

定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键.

14.（2023•江苏•统考中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°.

c

（1）尺规作图：作O。，使得圆心。在边42上，O。过点B且与边4C相切于点。（请保留作图痕迹，标明相应

的字母，不写作法）；

⑵在（1）的条件下，若N4BC=60。,48=4,求。。与△ABC重叠部分的面积.

【答案】（1）见解析

⑵竺兀+逋

,,279

【分析】（1）作NABC的角平分线交AC于点D,过点D作DO，AC,交AB于点0,以0为圆心，0B为半径作。0,

即可；

（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设。0交BC于点E,连接0E,可得△OBE是等边

三角形，进而根据O0与△ABC重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解.

【详情解析】（1）解：如图所示，O0即为所求；

⑵解：VzABC=60°,AB=4,0D是00的切线,

."A=30°,

/.DO=OB=-AO,

2

则AO+OB=30B=4,

解得：0B=*

如图所示，设O0交BC于点E,连接OE,

VZ.ABC=60°,OB=OE,

」.△OBE是等边三角形，

如图所示，过点E作EF1B0于点F,

c

.,.ZOEF=30°

1I4

AOF=-OE=-x-

223

222

在RtAOEF中，EF=VOE-OF=-Qx0=|X|XV3,

SAOEB=-xOBxEF=-x^xix^xV3=—x(-Y,

△UEB223234\3/'

AzBOE=60°,贝此AOE=120。，

o0与4ABC重叠部分的面积为施Tix(J+Fxg)2=*+字

【提优突破】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的

关键.

15.(2023秋•江苏盐城•九年级景山中学校考阶段练习)如图，在Rt△力BC中，ZC=90°.

(1)尺规作图：作O。，使得圆心。在边4B上，。。过点8且与边力C相切于点。(请保留作图痕迹，标明相

应的字母，不写作法)；

⑵在(1)的条件下，若乙4BC=60。,48=6,求。。与△4BC重叠部分的面积.

【答案】(1)见解析

(2)^TT+V3

【分析】(1)作NABC的角平分线交AC于点D,过点D作DO1AC,交AB于点O,以O为圆心，0B为半径

作O0,即可；

(2)设O。交BC于点E,交0A于点H,连接OE,过点E作EF1B0于点F,利用重叠部分的面积等于〃EOB+

S扇形EOH进行计算即可•

【详情解析】(1)解：作NABC的角平分线交AC于点D,过点D作DO1AC,交AB于点O,以。为圆心，0B为

半径作O0,如图所示；

c

由作图可知：DO1AC,NCBD=NOBD,

."ODA=NC=90°,

AOD||BC,

zODB=zCBD=Z.OBD,

.*.OB=OD,

；.OD是OO的半径，且ODJLAC,

；.AC为00的切线，

•••。0即为所求；

(2)解：VzABC=60°,AB=6,OD是。0的切线,

."A=30°,

ADO=OB'AO,

2

AAO+OB=3OB=6,

AOB=2,

如图所示，设。。交BC于点E,交OA于点H,连接OE,

VZABC=60。，OB=OE,

:•△OBE是等边三角形，

AzEOB=60°,

AZ.AOE=120°,

如图所示，过点E作EFlBO于点F,

i

AOF=-OE=1

2

，EF=VOE2-OF2=V3,

SAEOB=|XOBXEF=V3,

o0与4ABC重部分的面积为SAEOB+S扇形EOH=B+ItX22X翔=(TT+V5.

【提优突破】本题考查复杂作图，圆与三角形的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，含30度角的直

角三角形，等边三角形的判定和性质，扇形的面积.解题的关键是掌握切线的判定方法和性质.

16.(2023•江苏徐州校考三模)如图，已知尸是。。外一点.按要求完成下列问题：

(1)作图：(保留作图的痕迹)

①连接0P,与O。交与点/,延长40,与O。交于点2；

②以点尸为圆心，0P长为半径画弧，以点。为圆心，长为半径画弧；

③两弧相交于点C,连接。C,与O。交于点。，连接。P,BD.

(2)证明：DP为。。的切线；

(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧BD与弦BD所围“弓形”的面积为

cm2.(结果保留根号或精确到0.1cm)

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)y-V3

【分析】(1)根据题意完成作图即可；

(2)先连接CP,得到△OCP是等腰三角形，点D是0C的中点，再利用等腰三角形“三线合一”证明N0DP=90°

即可；

(3)测量出圆的半径和扇形OBD的圆心角NB0D,再根据面积公式计算即可；数据仅供参考，以实际测量

为准.

【详情解析】(1)解：依题意画图如下：

C

(2)如下图：连接CP,依题意得：CP=OP,0C=AB；

VCP=OP,

.♦.△OCP是等腰三角形，

VOC=AB,OD=^AB,

2

AOD=-OC

2

.•.点D是OC的中点，DP是AOCP中底边OC上的中线，

；.DP是AOCP中底边OC上的高，即OC1DP,

AzODP=90°,

...DP为O0的切线；

(3)经测量得到NBOD=120。，半径OB=2cm,(数据仅供参考，以实际测量为准)

过点。作OE_LBD于E,则由垂径定理可知BE=DE,

VOB=OD,ZBOD=120°,

ZOBD=ZODB=30°,

AOE=-OB=lcm,

2

JBE=DE=VOB2-OE2=V3cm

/.BD=BE+DE=2V3cm

弧BD与弦BD所围“弓形”的面积为：S弓形BD=S扇形0BD-SA°BD=y产-齐D-OE=噬产乐x

2A/3X1=等一V3(cm2).

【提优突破】本题考查用尺规作圆的切线的方法，圆切线的证明，弓形面积的求法等知识，根据题意正确

作出图形是解题的关键.

17.(2021秋・江苏盐城•九年级统考阶段练习)如图，在AABC中，经过/,2两点的。。与边5C交于点E,

圆心。在8c上，过点。作。D1BC交。。于点。，连接/。交8c于点尸，S.AC=FC.

(1)试判断NC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若F。=百，CE=1.求图中阴影部分的面积(结果保留兀).

A

D

【答案】（1）AC与。。相切，理由见解析；（2）

34

【分析】（1）先等腰三角形的性质可得ND=ZOAD,ZCAF=NCFA,再根据角的和差、等量代换可得NCAF+

ZOAD=90°,然后根据圆的切线的判定即可得出结论；

（2）过点A作AM_LBC于点M,设OA=OB=OE=r,先在RtAAOC中，利用勾股定理求出r的值，再利用

直角三角形的性质可得ZC=30o,zA0B=120，AM=当，然后利用扇形OAB的面积减去△AOB的面积即可得.

【详情解析】（1）AC与相切，理由如下：

OA=0D,

Z.D=Z.OAD,

•・•FC=AC,

•••Z.CAF=zCFA,

又・・•Z0FD=ZCFA,

・•.zCAF=ZOFD,

,:OD1BC,

・•.ZOFD+ZD=90°,

・•.ZCAF+ZOAD=90°,BRzOAC=90°,

・•・OA1AC,

•••OA是。。的半径，

••.AC是OO的切线，

即AC与O0相切；

（2）如图，过点A作AM1BC于点M,

D

设OA=OB=OE=r,

FC=V3,CE=1,

AOC=OE+CE=r+1,AC=FC=V3,